Aufgaben
Bestimme die Definitionsmenge.
Hinweis zum Eingabefeld: Im Eingabefeld musst du nur die Zahl(en) eingeben, die nicht in der Definitionsmenge enthalten sind. Gib die Zahlen nur durch ein Leerzeichen getrennt ein (also kein Komma oder ähnliches), und ordne sie der Größe nach in aufsteigender Reihenfolge (das heißt, beginne mit der kleinsten).
2x+3=52\displaystyle\frac2x+3=\frac52

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke

Finde die Definitionslücken. Setze hierfür den Nenner des Bruchs gleich 00.
x=0x=0
Du kannst erkennen, dass hier der Nenner 00 wird für x=0x=0 ist.
Schließe die Definitionslücke aus der Definitionsmenge aus.
D=Q\{0}D=\mathbb{Q}\backslash\{0\}.
Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen Q\mathbb{Q} ohne die Zahl 00.
Du kennst vielleicht schon die reellen Zahlen R\mathbb{R}. Dann nimmst du R\mathbb{R} statt Q\mathbb{Q}.
2+xx1=3+2xx+11\displaystyle\frac{2+x}{x-1}=\frac{3+2x}{x+1}-1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke

Finde die Definitionslücken. Setze hierfür die Nenner beider Brüche gleich 00.
  • x1=0                x=1x-1=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;x=1
  • x+1=0                x=1x+1=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;x=-1
Du kannst erkennen, dass der Nenner 00 wird für x=1x=1 und x=1x=-1.
Schließe die Definitionslücke aus der Definitionsmenge aus.
D=Q\{1,1}D=\mathbb{Q}\backslash\{1, -1\}.
Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen Q\mathbb{Q} ohne die Zahl 11 und die Zahl 1-1.
Du kennst vielleicht schon die reelen Zahlen R\mathbb{R}. Dann nimmst du R\mathbb{R} statt Q\mathbb{Q}.
1x3=2x22x\displaystyle\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x^2-2x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke

Definitionsmenge

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Definitionslücke ist und wie du die Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmst.
Finde die Definitionslücken. Setzte den Nenner beider Brüche gleich 00.
1. Bruch:
x3=0                x=3x-3=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;x=3
2. Bruch:
Hier brauchst du einen Trick! Klammere aus und prüfe, wann einer der beiden Faktoren gleich 00 wird.
x22x=0x^2-2x=0
x(x2)=0x\cdot(x-2)=0
Du musst jetzt prüfen, wann einer der beiden Faktoren 00 wird. Setze sie jeweils gleich 00.
  • x=0x=0
  • x2=0                x=2x-2=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;x=2
Du kannst erkennen, dass der Nenner des zweiten Bruchterms 00 wird für x=0x=0 und x=2x=2 und der erste Bruchterm 00 wird für x=3x=3.
Schließe die Definitionslücke aus der Definitionsmenge aus.
D=Q\{0,2,3}D=\mathbb{Q}\backslash\{0, 2, 3\}.
Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen Q\mathbb{Q} ohne die Zahl 00, 22 und 33.
Du kennst vielleicht schon die reelen Zahlen R\mathbb{R}. Dann nimmst du R\mathbb{R} statt Q\mathbb{Q}.
Löse folgende Bruchgleichung 1570x=4\displaystyle\frac{1570}{x}=4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

Der Nenner darf nie 0 werden! Daher muss x=0x=0 ausgeschlossen werden.
D=Q\{0}D=\mathbb{Q} \backslash \{0\}
Bei dieser Aufgabe musst du nur das xx auf die andere Seite bringen. Da xx im Nenner steht, musst du mit xx multiplizieren
1570x=4\frac{1570}{x}=4
Mit xx multiplizieren.
1570=4x1570=4\cdot x
Durch 4 dividieren.
x=15704=392,5x=\frac{1570}{4}=392,5

Da 392,5392,5 in der Definitionsmenge liegt, ist dies die Lösung der Bruchgleichung.

Beim Lösen einer Gleichung der Form %%\displaystyle\frac ab=\frac cd%% muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt %%\displaystyle\frac ab=\frac cd%% ist äquivalent zu %%\displaystyle a\cdot d=b\cdot c%% . Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

%%\displaystyle\frac3{2x+1}=\frac2{2-x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die %%0%% in einem der Nenner ergeben würde.

Verboten sind hier also:

  • %%2x+1=0%%
  • %%2-x=0%%

Erste Gleichung lösen!

%%2x+1=0%%

%%|-1%%

%%2x=-1%%

%%|:2%%

%%x=-\dfrac12%%

Zweite Gleichung lösen!

%%2-x=0%%

%%|-2%%

%%-x=-2%%

%%|:(-1)%%

%%x=2%%

Daher müssen die Zahlen %%-\dfrac{1}{2}%% und %%2%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-0,5;\ 2\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%% ?

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-0,5;\ 2\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

%%\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}\quad%%

Über-Kreuz-Multiplizieren! %%\dfrac ab=\dfrac cd \Leftrightarrow a\cdot d=c\cdot b%%

%%6-3x=4x+2%%

Löse dann die Gleichung durch Umformen nach %%x%% auf.

%%6-3x=4x+2%%

%%|-2+3x%%

%%4=7x%%

%%|:7%%

%%\dfrac{4}7=x%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=\frac{4}{7}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt %%x=\dfrac{4}{7} \in D%%, also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ \dfrac{4}{7}\right\}%%.

%%\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}%%

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner %%0%% ergeben würde.

Verboten sind hier also:

  • %%3+x=0%%
  • %%2x-3=0%%

Löse die erste Gleichung!

%%3+x=0%%

%%|-3%%

%%x=-3%%

Löse die zweite Gleichung!

%%2x-3=0%%

%%|+3%%

%%2x=3%%

%%|:2%%

%%x=\dfrac 32%%

Daher müssen die Zahlen %%-3%% und %%\dfrac{3}{2}%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%% ?

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

Über-Kreuz-Multiplizieren!

%%(x-2)\cdot(2x-3)=2\cdot x\cdot(3+x)%%

%%2x^2-3x-4x+6=6x+2x^2%%

Löse nun die Gleichung nach %%x%% auf!

%%2x^2-3x-4x+6=6x+2x^2%%

Subtrahiere.

%%2x^2-7x+6=6x+2x^2%%

%%|-2x^2+7x%%

%%6=13x%%

%%|:13%%

%%\dfrac 6{13}=x%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=\dfrac{6}{13}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. %%x=\dfrac{6}{13} \in D%% also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ \dfrac{6}{13}\right\}%%.

%%\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\displaystyle1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner %%0%% ergeben würde.

Verboten ist hier:

  • %%2x-1=0%%
  • %%x+2=0%%

Löse die erste Gleichung.

%%2x-1=0%%

%%|+1%%

%%2x=1%%

%%|:2%%

%%x=\dfrac 12%%

Löse die zweite Gleichung.

%%x+2=0%%

%%-2%%

%%x=-2%%

Daher müssen die Zahlen %%-2%% und %%\dfrac{1}{2}%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%%

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens.:

Zunächst musst du die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Bruch bringen.

%%\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Den Summanden %%1%% mit %%2x-1%% erweitern.

%%\displaystyle\frac{2x-1}{2x-1}+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Brüche auf der linken Seite addieren.

%%\displaystyle\frac{2x-1+2}{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.

%%\displaystyle\frac{2x-1+2}{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Über-Kreuz-Multiplizieren.

%%(2x-1+2)(x+2)=x(2x-1)%%

%%2x^2-x+2x+4x-2+4=2x^2-x%%

%%|-2x^2+x%%

%%6x+2=0%%

%%|-2%%

%%6x=-2%%

%%|:6%%

%%x=-\dfrac26%%

Kürzen.

%%x=-\dfrac13%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=-\dfrac{1}{3}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. Wegen %%x=-\dfrac{1}{3} \in D%% ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ -\dfrac{1}{3}\right\}%%.

Löse die Bruchgleichung:
2+x1x=3x23x\displaystyle \frac{2+x}{1-x}=\frac{3x}{2-3x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über Kreuz multiplizieren

Definitionsmenge bestimmen

Bei jeder Bruchgleichung muss man zu Beginn die Definitionsmenge bestimmen.
2+x1x=3x23x\dfrac{2+x}{1-x}=\dfrac{3x}{2-3x}
Kein Nenner darf 00 werden.
1x=0x=11-x=0 \Leftrightarrow x=1
23x=0x=232-3x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac23
Damit lautet die Definitionsmenge: D=Q\{23,1}D=\mathbb{Q}\backslash\left\{\dfrac23,1\right\}

Bruchgleichung lösen

Bei dieser Bruchgleichung bietet sich das Verfahren Über Kreuz multiplizieren an.
2+x1x\dfrac{2+x}{\textcolor{red}{1-x}}==3x23x\dfrac{3x}{\textcolor{blue}{2-3x}}|(1x)(23x)\cdot (1-x) \cdot (2-3x)
(2+x)(23x)(2+x)\cdot \textcolor{blue}{(2-3x)}==3x(1x)\textcolor{blue}{3x}\cdot \textcolor{red}{(1-x)}
Ausmultiplizieren.
46x+2x3x24-6x+2x-3x^2==3x3x23x-3x^2
44x3x24-4x-3x^2==3x3x23x-3x^2|+3x2+3x^2
44x4-4x==3x3x|+4x+4x
44==7x7x|:7:7
xx==47\frac{4}{7}
Da 47\dfrac47 in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:
L={47}\displaystyle \mathbb{L}=\left\{\dfrac47\right\}

Handelt es sich um eine Bruchgleichung?

%%\displaystyle\frac2{x+3}+3=15%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass eine der Eigenschaften nicht erfüllt ist?

Super! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichung

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Richtig

Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das "=".

Eigenschaft 2 & 3

Richtig

Zudem ist ein Bruch enthalten, nämlich %%\displaystyle\frac2{x+3}%% und dieser hat eine Variable im Nenner.

Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.

Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.

%%\displaystyle\frac{25x}{x^2-4}+35%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass alle Eigenschaften erfüllt sind?

Super! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichung

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Falsch

Hier kannst du erkennen, dass keine Gleichung vorliegt, da kein "=" vorhanden ist.

Folglich musst du die anderen Merkmale garnicht mehr prüfen.

Die Antwort lautet: Nein, es ist keine Bruchgleichung.

%%\displaystyle\frac x{4x-5}=\frac{x^2}{7x-4}+3%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass eine der Eigenschaften nicht erfüllt ist?

Yippie! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichung

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Richtig

Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das "=".

Eigenschaft 2 & 3

Richtig

Zudem sind die Brüche %%\displaystyle\frac{x}{4x-5}%% und %%\displaystyle\frac{x^2}{7x-4}%% enthalten, welche eine Variable %%x%% im Nenner haben.

Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.

Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.

%%\displaystyle\frac{2x^2-x}4=\frac{5x-3}{34}%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass alle Eigenschaften erfüllt sind?

Super! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichungen

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Richtig

Durch bloßes Hinsehen kannst du erkennen, dass eine Gleichung vorliegt.

Eigenschaft 2

Richtig

Zudem sind die Brüche %%\displaystyle\frac{2x^2-x}{4}%% und %%\displaystyle\frac{5x-3}{34}%% vorhanden.

Eigenschaft 3

Falsch

Vorsicht! Keiner der Brüche hat eine Variable im Nenner.

Eine der Eigenschaften ist nicht erfüllt und somit handelt es sich nicht um eine Bruchgleichung.

Die Antwort lautet: Nein, es ist keine Bruchgleichung.

%%\displaystyle31+\frac{2x-1}{x^3+2}=\frac2x%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass eine der Eigenschaften nicht erfüllt ist?

Super! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichung

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Richtig

Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das "=".

Eigenschaft 2 & 3

Richtig

Zudem sind Brüche, nämlich %%\displaystyle\frac2x%% und %%\displaystyle\frac{2x-1}{x^3+2}%%, vorhanden. Diese haben ebenfalls eine Variable im Nenner.

Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.

Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.

Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung mit Hilfe der Grafik!
5x+1=15x3\dfrac5{x+1}=-\dfrac{15}{x-3}
Graphisch Aufgabe Schnittpunkt
L={0}\mathbb L=\{0\}
L={5}\mathbb L=\{5\}
L={0;5}\mathbb L=\{0;5\}
L=\mathbb L=\emptyset

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen ablesen

Die Lösungsmenge besteht aus den xx-Koordinaten aller Schnittpunkte
Die Lösung der Gleichung ist die xx-Koordinate des Schnittpunkts!Die zwei Graphen haben genau einen gemeinsamen Schnittpunkt also gibt es genau eine Lösung! Dieser Schnittpunkt liegt bei (0  5)(0\ |\ 5). Also ist die Lösungsmenge L={0}\mathbb L=\{0\}.
4xx21=1+1x21\dfrac{4x}{x^2-1}=1+\dfrac{1}{x^2-1}
Aufgabe Bruchgleichung Schnittpunkt
L={0;4}\mathbb L=\{0;4\}
L={1;4}\mathbb L=\{1; 4\}
L={0}\mathbb L=\{0\}
L={4}\mathbb L=\{4\}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen ablesen

Die Lösungsmenge besteht aus den xx-Koordinaten der Schnittpunkte!
Die Lösungsmenge besteht aus den xx-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen. Hier gibt es genau zwei Schnittpunkte, nämlich (0  0)(0\ | \ 0) und (4  1615)\left(4\ |\ \dfrac {16}{15}\right). Also besteht die Lösungsmenge L={0,4}\mathbb L=\{0,4\}.
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