Aufgaben zur Kugel

1
Berechne mit den gegebenen Informationen das Volumen der Kugel.
1. Radius $1 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  Für das Volumen einer Kugel gilt:
  $V = \frac{4}{3} r^{3} π$
  Setze den Radius $r = 1 cm$ ein.
  $\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} (1 cm)^{3} π \\ = \frac{4}{3} {π cm}^{3} \\ \approx 4,2 {cm}^{3} \end{array}$
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2. Radius $5 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  $r = 5 cm$
  Setze $r$ in die Formel des Kugelvolumens ein.
  $\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot (5 cm)^{3} \cdot π \\ \approx 523,6 {cm}^{3} \end{array}$
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3. Durchmesser $3 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  $d = 3 cm$
  Errechne den Radius $r$ .
  $\begin{array}{l} r = \frac{1}{2} \cdot d \\ = \frac{1}{2} \cdot 3 cm \\ = 1,5 cm \end{array}$
  Setze den Radius in die Formel für das Kugelvolumen ein.
  $\begin{array}{l} V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π \\ = \frac{4}{3} \cdot (1,5 cm)^{3} \cdot π \\ \approx 14,14 {cm}^{3} \end{array}$
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4. Umfang $7 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  Umfang $U = 7 cm$
  Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.
  $U$ $=$ $2 \cdot r \cdot π$ $: 2 π$
  $r$ $=$ $\frac{U}{2 π}$
  ↓
  Setze $U = 7 cm$ ein.
  $r$ $=$ $\frac{7 cm}{2 \cdot π}$
  $\approx$ $1,114 cm$
  Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf und setze den gefundenen Radius $r$ ein.
  $\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{7 cm}{2 \cdot π})}^{3} \cdot π \\ = \frac{7^{3}}{6 \cdot π^{2}} {cm}^{3} \\ \approx 5,792 {cm}^{3} \end{array}$
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5. Oberfläche $10 {cm}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  Oberfläche $O = 10 {cm}^{2}$
  Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf.
  $O$ $=$ $4 r^{2} π$ $: 4 π$
  $r^{2}$ $=$ $\frac{O}{4 π}$ $\sqrt{}$
  ↓
  Ziehe die Quadratwurzel. Da der Radius nur eine positive Zahl sein kann, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen.
  $r$ $=$ $\sqrt{\frac{O}{4 π}}$
  ↓
  Setze $O = 10 {cm}^{2}$ ein.
  $r$ $=$ $\sqrt{\frac{10 {cm}^{2}}{4 π}}$
  $r$ $=$ $0,8921 cm$
  Stelle nun die Formel für das Volumen einer Kugel auf und setze den gefundenen Radius $r$ ein.
  $\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot {(\sqrt{\frac{5 {cm}^{2}}{2 π}})}^{3} \cdot π \\ = \frac{5 \cdot \sqrt{\frac{10}{π}}}{3} {cm}^{3} \\ \approx 2,974 {cm}^{3} \end{array}$
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2
Berechne mit den gegebenen Informationen die Oberfläche der Kugel.
1. Radius 1cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Radius $r = 1 c m$
  Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.
  $O = 4 \cdot {(1 c m)}^{2} \cdot π$
  $\approx 12,566 c m^{2}$
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2. Radius 5cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Radius $r = 5 c m$
  Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.
  $O = 4 \cdot {(5 c m)}^{2} \cdot π$
  $\approx 314,16 c m^{2}$
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3. Durchmesser 3cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Durchmesser $d = 3 c m$
  Bestimme den Radius. Beachte: Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.
  $r = 3 c m : 2 = 1,5 c m$
  Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.
  $O = 4 \cdot {(1,5 c m)}^{2} \cdot π$
  $\approx 28,274 c m^{2}$
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4. Volumen $10 {cm}^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Volumen $V = 10 {cm}^{3}$
  Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf.
  $V$ $=$ $\frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$ $: (\frac{4}{3} π)$
  $r^{3}$ $=$ $\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}$
  ↓
  Ziehe die Kubikwurzel.
  $r$ $=$ $\sqrt[3]{\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}}$
  ↓
  Setze das Volumen ein.
  $r$ $=$ $\sqrt[3]{\frac{10 c m^{3} \cdot 3}{4 \cdot π}}$
  $\approx$ $1,3365 c m$
  Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf und setze den gefundenen Radius $r$ ein.
  $O \approx 4 \cdot {(1,3365 c m)}^{2} \cdot π$
  $\approx 22,446 c m^{2}$
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5. Umfang 7cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Umfang $U = 7 c m$
  Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.
  $U$ $=$ $2 \cdot r \cdot π$ $: 2 π$
  $r$ $=$ $\frac{U}{2 \cdot π}$
  ↓
  Setze den Umfang ein.
  $=$ $\frac{7 c m}{2 \cdot π}$
  $\approx$ $1,1141 c m$
  Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.
  $O = 4 \cdot {(\frac{7 c m}{2 \cdot π})}^{2} \cdot π = \frac{7^{2}}{π} c m^{2}$
  $\approx 15,597 c m^{2}$
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Berechne mit den gegebenen Informationen den Umfang der Kugel.

Radius $1 c m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelumfang berechnen
$U$ $=$ $2 π \cdot r$
↓
Setze den Radius $r = 1 c m$ ein.
$=$ $2 π \cdot 1 c m$
$=$ $2 π c m$
$\approx$ $6,28 c m$
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Durchmesser $3 c m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang einer Kugel
$d$ $=$ $3 c m$
↓
Setze den Wert des Durchmessers in die Formel für den Kreisumfang ein.
$U_{K u g e l}$ $=$ $3 c m \cdot π$
$\approx$ $9,42 c m$
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Oberfläche $10 {cm}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius ermitteln
$O$ $=$ $4 r^{2} π$ $: 4 π$
$\frac{O}{4 π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
↓
Ziehe die Wurzel, um den Radius zu erhalten.
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{O}{4 π}}$
↓
Setze den Wert der Oberfläche ein.
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{10 c m^{2}}{4 π}}$
$=$ $\sqrt{\frac{5}{2 π}} c m$
$\approx$ $0,892 c m$
Umfang berechnen
$U$ $=$ $2 π \cdot r$
↓
Füge den Radius $\sqrt{\frac{10}{4 π}} cm$ ein.
$U$ $=$ $2 π \cdot \sqrt{\frac{10}{4 π}} cm$
$\approx$ $5,60 c m$
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Volumen $10 {cm}^{3}$

4
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Berechne in Abhängigkeit von $a$ Volumen und Oberfläche des Rotationskörpers, der durch Rotation der Figur um die Achse $A$ entsteht.
Wie groß muss $a$ sein, damit das Volumen 1 Liter beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
Der Rotationskörper $R$ , der durch Drehung der skizzierten Figur um die Achse $A$ entsteht, ist die Kombination eines Kegels mit Höhe $h_{K e g e l} = 4 a$ und Radius $r_{K e g e l} = 3 a$ und einer Halbkugel mit Radius $r_{H a l b k u g e l} = 3 a$ .
Das Volumen des Rotationskörpers bestimmt sich hier als Summe der Volumina von Kegel und Halbkugel.
Die Oberfläche des Rotationskörpers ist gegeben als Summe der Mantelfächen von Halbkugel und Kegel.
Berechnung des Volumens
Mit den Formeln für das Volumen eines Kegels und das Volumen einer Halbkugel gilt:
$V_{R} = V_{K e g e l} + V_{H a l b k u g e l} = \frac{1}{3} \cdot r_{K e g e l}^{2} \cdot π \cdot h_{K e g e l} + \frac{2}{3} \cdot π \cdot r_{H a l b k u g e l}^{3}$
$V_{R} = \frac{1}{3} \cdot (3 a)^{2} \cdot π \cdot 4 a + \frac{2}{3} \cdot π \cdot (3 a)^{3} = 12 π a^{3} + 18 π a^{3} = 30 π a^{3}$
$\Rightarrow$ Das Volumen des Rotationskörpers beträgt also $30 π a^{3}$ .
Somit impliziert $V_{R} = 1 l = 1.000 c m^{3}$ folgende Bedingung an $a$ :
$1.000 c m^{3} = 30 π a^{3} \Rightarrow a^{3} = \frac{100 c m^{3}}{3 π} \Rightarrow a = \sqrt[3]{\frac{100}{3 π}} c m \approx 2,197 c m$
Berechnung der Oberfläche
Mit den Formeln für die Mantelfläche eines Kegels und die Mantelfläche einer Halbkugel gilt:
$O_{R} = M_{K e g e l} + M_{H a l b k u g e l} = r_{K e g e l} \cdot π \cdot s_{K e g e l} + 2 \cdot r_{H a l b k u g e l}^{2} \cdot π$ ,
wobei sich die Mantellinie $s$ als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreicks mit Radius und Höhe als Katheten darstellt.
$O_{R} = 3 a \cdot π \cdot \sqrt{(3 a)^{2} + (4 a)^{2}} + 2 \cdot (3 a)^{2} \cdot π = 3 a \cdot π \cdot 5 a + 18 a^{2} \cdot π = 33 \cdot π a^{2}$
$\Rightarrow$ Die Oberfläche des Rotationskörpers beträgt also $33 π a^{2}$ .

Durch Rotation des dargestellten rot umrandeten Flächenstücks um die Achse $g$ entsteht ein rotationssymmetrischer Körper. Bestimme jeweils das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses Rotationskörpers in den Einheiten $a^{3}$ bzw. $a^{2}$ .

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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$V_{r o t}$	$=$	$V_{a u ß e n} - V_{i n n e n}$
	↓	Subtrahiere das innere Volumen vom äußeren.
	$=$	$\frac{2}{3} \cdot (3 a)^{3} \cdot π - \frac{2}{3} \cdot (2 a)^{3} \cdot π$
	↓	Löse auf.
	$=$	$2 π \cdot 27 a^{3} - \frac{2}{3} π \cdot 8 a^{3}$
	↓	Vereinfache so weit wie möglich
	$=$	$\frac{2}{3} π \cdot 19 a^{3}$
	$=$	$\frac{38}{3} {πa}^{3}$

$V_{r o t}$	$=$	$V_{a u ß e n} - V_{i n n e n}$
	↓	Subtrahiere das innere Volumen vom äußerem
	$=$	$\frac{1}{3} (3 a)^{2} π (4 a) - \frac{2}{3} \cdot (2 a)^{3} π$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 9 a^{2} π \cdot 4 a - \frac{2}{3} \cdot 8 a^{3} π$
	↓	Multipliziere die Faktoren
	$=$	$3 a^{2} π \cdot 4 a - \frac{2}{3} \cdot 8 a^{3} π$
	↓	Klammere a und $π$ aus
	$=$	$(3 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 8) \cdot {πa}^{2} a$
	↓	Löse auf
	$=$	$(12 - \frac{16}{3}) \cdot {πa}^{2} a$
	$=$	$\frac{20}{3} {πa}^{3}$

Aufgaben zur Kugel

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Berechnung des Volumens

Berechnung der Oberfläche

Lösung zur ersten Figur

Lösung zur zweiten Figur

$U$	$=$	$2 \cdot r \cdot π$	$: 2 π$
$r$	$=$	$\frac{U}{2 π}$
	↓	Setze $U = 7 cm$ ein.
$r$	$=$	$\frac{7 cm}{2 \cdot π}$
	$\approx$	$1,114 cm$

$O$	$=$	$4 r^{2} π$	$: 4 π$
$r^{2}$	$=$	$\frac{O}{4 π}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel. Da der Radius nur eine positive Zahl sein kann, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{O}{4 π}}$
	↓	Setze $O = 10 {cm}^{2}$ ein.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{10 {cm}^{2}}{4 π}}$
$r$	$=$	$0,8921 cm$

$V$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$	$: (\frac{4}{3} π)$
$r^{3}$	$=$	$\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}$
	↓	Ziehe die Kubikwurzel.
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}}$
	↓	Setze das Volumen ein.
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{10 c m^{3} \cdot 3}{4 \cdot π}}$
	$\approx$	$1,3365 c m$

$U$	$=$	$2 \cdot r \cdot π$	$: 2 π$
$r$	$=$	$\frac{U}{2 \cdot π}$
	↓	Setze den Umfang ein.
	$=$	$\frac{7 c m}{2 \cdot π}$
	$\approx$	$1,1141 c m$

$U$	$=$	$2 π \cdot r$
	↓	Setze den Radius $r = 1 c m$ ein.
	$=$	$2 π \cdot 1 c m$
	$=$	$2 π c m$
	$\approx$	$6,28 c m$

$d$	$=$	$3 c m$
	↓	Setze den Wert des Durchmessers in die Formel für den Kreisumfang ein.
$U_{K u g e l}$	$=$	$3 c m \cdot π$
	$\approx$	$9,42 c m$

$U$	$=$	$2 π \cdot r$
	↓	Füge den Radius $\sqrt{\frac{10}{4 π}} cm$ ein.
$U$	$=$	$2 π \cdot \sqrt{\frac{10}{4 π}} cm$
	$\approx$	$5,60 c m$

$V$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$	$: \frac{4}{3} π$
$r^{3}$	$=$	$\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Kubikwurzel
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}}$
	↓	Setze das gegebene Volumen ein.
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{10 c m^{3} \cdot 3}{4 \cdot π}}$
	$\approx$	$1,3365 c m$
	↓	Berechne den Umfang $(U = 2 π \cdot r)$ .
$U$	$\approx$	$2 π \cdot 1,3365 c m$
	$\approx$	$8,397 c m$