Aufgaben zur Parallelverschiebung

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

Addiere den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ zu dem Ortsvektor $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

Löse nach $v_x$ auf:

Löse nach $v_y$ auf:

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

$g:y=2\cdot x,\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von $x$.

$x^{\prime }=x+1$

$y^{\prime }=2x$

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein:

$x=x^{\prime }-1$

$y^{\prime }=2\cdot (x^{\prime }-1)$

$\Rightarrow y^{\prime }=2\cdot x^{\prime }-2$

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von $x\text{′}$.

Alternativlösung

$g:y=2\cdot x$

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt.

$A(0|0)$ und $B(1|2)$

Verschiebe die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$.

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

$\stackrel{\rightharpoonup }{A}=\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

$\stackrel{\rightharpoonup }{B}=\stackrel{\rightharpoonup }{B}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

Addiere den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ zu den Ortsvektoren $\stackrel{\rightharpoonup }{A}$ und $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$

$x_{A^{\prime }}=0+1=1$

$y_{A^{\prime }}=0+0=0$

$\to A^{\prime }(1|0)$

$x_{B^{\prime }}=1+1=2$

$y_{B^{\prime }}=2+0=2$

$\to B^{\prime }(2|2)$

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

Geradengleichung aufstellen

$A^{\prime }(1|0)$ und $B^{\prime }(2|2)$

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

$m=\frac{0-2}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2$

Setze $m$ und den Punkt $B^{\prime }$ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um $t$ zu bestimmen.

Stelle die Geradengleichung auf.

$y=2\cdot x-2$

$g:y=3\cdot x+\frac{1}{2}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von x.

$x^{\prime }=x+4$

$y^{\prime }=3\cdot x+\frac{5}{2}$

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein.

$x=x^{\prime }-4$

$y^{\prime }=3\cdot (x^{\prime }-4)+\frac{5}{2}$

$\Rightarrow y^{\prime }=3\cdot x^{\prime }-\frac{19}{2}$

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von $x^{\prime }$

Alternativlösung:

$g:y=3\cdot x+\frac{1}{2}$

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt. In diesem Fall betrachtest du den y-Abschnitt und gehst dann $3$ nach unten und $1$ nach links, sodass du bei $B$ landest.

$A\left(0|\frac{1}{2}\right)$ und $B(-1|-\frac{5}{2})$

Verschiebe die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

$\stackrel{\rightharpoonup }{A}=\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

$\stackrel{\rightharpoonup }{B}=\stackrel{\rightharpoonup }{B}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -\frac{5}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

Addiere den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ zu den Ortsvektoren $\stackrel{\rightharpoonup }{A}$ und $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$

$x_{A^{\prime }}=0+4=4$

$y_{A^{\prime }}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$

$\to A^{\prime }\left(4|\frac{5}{2}\right)$

$x_{B^{\prime }}=-1+4=3$

$y_{B^{\prime }}=-\frac{5}{2}+2=-\frac{1}{2}$

$\to B^{\prime }(3|-\frac{1}{2})$

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

Geradengleichung aufstellen

$A^{\prime }\left(4|\frac{5}{2}\right)$ und $B^{\prime }(3|-\frac{1}{2})$

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

$m=\frac{\frac{5}{2}-(-\frac{1}{2})}{4-3}=\frac{3}{1}=3$

Setze $m$ und den Punkt $B^{\prime }$ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um $t$ zu bestimmen.

Stelle die Geradengleichung auf.

$y=3\cdot x-\frac{19}{2}$

Um bei einer Funktion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ durchzuführen, setzt du $y=f(x)=x^2$.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x+v_x\\ y^{\prime }& =& y+v_y\end{array}$

Setze $y=x^2$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x+v_x\\ y^{\prime }& =& x^2+v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x+2\\ y^{\prime }& =& x^2+1\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\begin{array}{ccc}x& =& x^{\prime }-2\\ y^{\prime }& =& x^2+1\end{array}$

Ersetze $x=x^{\prime }-2$ in der Gleichung für $y^{\prime }$.

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\Rightarrow x^{\prime }=x+2\iff x=x^{\prime }-2$ $\Rightarrow y^{\prime }=x^2+1$

Ersetze $x=x^{\prime }-2$ in der Gleichung für $y^{\prime }$.

$\Rightarrow y^{\prime }=(x^{\prime }-2{)}^2+1$ $\iff y^{\prime }=(x^{\prime 2}-4\cdot x^{\prime }+4)+1$ $\iff y^{\prime }=x^{\prime 2}-4\cdot x^{\prime }+5$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Um bei einer Funtion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um einen Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ zu durchzuführen, setzt du $y=f(x)=2\cdot x^3+4\cdot x^2+x-2$.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x+v_x\\ y^{\prime }& =& y+v_y\end{array}$

Setze $y=2\cdot x^3+4\cdot x^2+x-2$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{lll}{x}^{\prime }& =& x+v_x\\ y^{\prime }& =& 2\cdot x^3+4\cdot x^2+x-2+v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{lll}{x}^{\prime }& =& x-2\\ y^{\prime }& =& 2\cdot x^3+4\cdot x^2+x-2+2\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\begin{array}{lll}x& =& x^{\prime }+2\\ y^{\prime }& =& 2\cdot x^3+4\cdot x^2+x\end{array}$

Setze die Gleichung für $x$ in die Gleichung für $y^{\prime }$ ein und vereinfache.

$\begin{array}{l}\Rightarrow y^{\prime }=2\cdot (x^{\prime }+2{)}^3+4\cdot (x^{\prime }+2{)}^2+(x+2)\\ \iff y^{\prime }=2\cdot (x^{\prime 3}+6\cdot x^{\prime 2}+12\cdot x^{\prime }+8)+4\cdot (x^{\prime 2}+4\cdot x^{\prime }+4)+x^{\prime }+2\\ \iff y^{\prime }=2\cdot x^{\prime 3}+12\cdot x^{\prime 2}+24\cdot x^{\prime }+16+4\cdot x^{\prime 2}+16\cdot x^{\prime }+16+x^{\prime }+2\\ \iff y^{\prime }=2\cdot x^{\prime 3}+16\cdot x^{\prime 2}+41\cdot x^{\prime }+34\end{array}$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\Rightarrow x^{\prime }=x-2\iff x=x^{\prime }+2$ $\Rightarrow y^{\prime }=2\cdot x^3+4\cdot x^2+x-2+2$

Setze die Gleichung für $x$ in die Gleichung für $y^{\prime }$ ein.

$\Rightarrow y^{\prime }=2\cdot (x^{\prime }+2{)}^3+4\cdot (x^{\prime }+2{)}^2+(x^{\prime }+2)$

$\Rightarrow y^{\prime }=2\cdot (x^{\prime 3}+6\cdot x^{\prime 2}+12\cdot x^{\prime }+8)+4\cdot (x^{\prime 2}+4\cdot x^{\prime }+4)+x^{\prime }+2$

$\Rightarrow y^{\prime }=2\cdot x^{\prime 3}+12\cdot x^{\prime 2}+24\cdot x^{\prime }+16+4\cdot x^{\prime 2}+16\cdot x^{\prime }+16+x^{\prime }+2$

$\Rightarrow y^{\prime }=2\cdot x^{\prime 3}+16\cdot x^{\prime 2}+41\cdot x^{\prime }+34$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Um bei einer Funktion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ durchzuführen, setzt du $y=f(x)=\log (4\cdot x)$.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& x+v_x\\ y^{\prime }& =& y+v_y\end{array}$

Setze $y=\log (4\cdot x)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{lll}{x}^{\prime }& =& x+v_x\\ y^{\prime }& =& \log (4\cdot x)+v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{lll}{x}^{\prime }& =& x+1\\ y^{\prime }& =& \log (4\cdot x)+3\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\begin{array}{lll}x& =& x^{\prime }-1\\ y^{\prime }& =& \log (4\cdot x)+3\end{array}$