Aufgaben zur Parallelverschiebung

1
Verschiebe den Punkt $P$ um den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ . Gib die Koordinaten von $P'$ an.
Gib den Punkt $P′$ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: $(−2∣0{,}5)$
1. $P(-2|1)$ , $\overset\rightharpoonup v= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
  1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
  Addiere den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ zu dem Ortsvektor $\overset\rightharpoonup P$
  $\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}} + \color{red}{\overset\rightharpoonup v} =\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$
  $x_{P'}=-2+1=-1$
  $y_{P'}=1+(-3)=-2$
  $\rightarrow\color{orange}{P'(-1|-2)}$
  2. Variante: Lösung mit der Matrixform
  $\textcolor{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\textcolor{purple}{\overset\rightharpoonup P} +\textcolor{red}{\overset\rightharpoonup v}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\textcolor{purple}{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}+\textcolor{red}{\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$
  Addiere die Vektoren
  $\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$
  $\rightarrow \color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}=\color{orange}{\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$
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2. $P(-3{,}2|2{,}4)$ , $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 1{,}4 \\ -1{,}7\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
  1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
  Addiere den Vektor $\overset\rightharpoonup{v}$ zu dem Ortsvektor $\overset\rightharpoonup{P}$
  $\textcolor{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\textcolor{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\textcolor{red}{\overset\rightharpoonup{v}}=\textcolor{purple}{\begin{pmatrix}-3{,}2\\2{,}4\end{pmatrix}}+\textcolor{red}{\begin{pmatrix}1{,}4\\-1{,}7\end{pmatrix}}$
  $x_{P'}=-3{,}2+1{,}4=-1{,}8$
  $y_{P'}=2{,}4+(-1{,}7)=0{,}7$
  $\rightarrow \color{orange}{P'(-1{,}8|0{,}7)}$
  2. Variante: Lösung mit der Matrixform
  $\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}-3{,}2\\2{,}4\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}1{,}4\\-1{,}7\end{pmatrix}}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
  $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}-3{,}2\\2{,}4\end{pmatrix}}+\begin{pmatrix}1{,}4\\-1{,}7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3{,}2\\2{,}4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1{,}4\\-1{,}7\end{pmatrix}$
  Addiere die Vektoren
  $\begin{pmatrix}-3{,}2\\2{,}4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1{,}4\\-1{,}7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1{,}8\\0{,}7\end{pmatrix}$
  $\rightarrow \color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}=\color{orange}{\begin{pmatrix}-1{,}8\\0{,}7\end{pmatrix}}$
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Um welchen Vektor $\overset\rightharpoonup v$ wurde $P$ auf $P'$ verschoben?

$P(2|3)$ , $P'(3|-2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

$\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$

$\color{orange}{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}=\color{purple}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}}$

Löse nach $v_x$ auf:

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 2+v_x$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 3-2$	$=$	$\displaystyle v_x$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle v_x$

Löse nach $v_y$ auf:

$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 3+v_y$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle -2-3$	$=$	$\displaystyle v_y$
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle v_y$

$\Rightarrow \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}=\color{red}{\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}}=\color{red}{\begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}}$

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

$\displaystyle \color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 &0\\0 &1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$
	↓	Löse nach $\overset\rightharpoonup v$ auf
$\displaystyle \textcolor{red}{\overset\rightharpoonup v}$	$=$	$\displaystyle \textcolor{orange}{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor- Multiplikation durch
$\displaystyle \textcolor{red}{\overset\rightharpoonup v}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
$\displaystyle \textcolor{red}{\overset\rightharpoonup v}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}$

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$P(9|0{,}3)$ , $P'(5|0{,}7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

$\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$

$\color{orange}{\begin{pmatrix}5\\0{,}7\end{pmatrix}}=\color{purple}{\begin{pmatrix}9\\0{,}3\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}}$

Löse nach $v_x$ auf:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 9+v_x$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle v_x$	$=$	$\displaystyle 5-9$
$\displaystyle v_x$	$=$	$\displaystyle -4$

Löse nach $v_y$ auf:

$\displaystyle 0{,}7$	$=$	$\displaystyle 0{,}3+v_y$	$\displaystyle -0{,}3$
$\displaystyle v_y$	$=$	$\displaystyle 0{,}7-0{,}3$
$\displaystyle v_y$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

$\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}=\begin{pmatrix}-4\\0{,}4\end{pmatrix}$

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

$\displaystyle \color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}5\\0{,}7\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}9\\0{,}3\end{pmatrix}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$
	↓	Löse nach $\overset\rightharpoonup{v}$ auf
$\displaystyle \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$	$=$	$\displaystyle \textcolor{orange}{\begin{pmatrix}5\\0{,}7\end{pmatrix}}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\textcolor{purple}{\begin{pmatrix}9\\0{,}3\end{pmatrix}}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$\displaystyle \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}5\\0{,}7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}9\\0{,}3\end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
$\displaystyle \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-4\\0{,}4\end{pmatrix}$

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Welcher Punkt $P$ wurde um den Vektor $\vec v$ auf $P'$ verschoben?

Gib den Punkt $P$ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: $(−2∣0{,}5)$

$\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} -2 \\ -3{,}1 \end{pmatrix}$ , $P'(2{,}7|1{,}6)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

$\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$

$\color{orange}{\begin{pmatrix}2{,}7\\1{,}6\end{pmatrix}}=\color{purple}{\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}-2\\-3{,}1\end{pmatrix}}$

$\displaystyle 2{,}7$	$=$	$\displaystyle x_P+\left(-2\right)$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse nach $x_P$ auf
$\displaystyle 2{,}7+2$	$=$	$\displaystyle x_P$
$\displaystyle 4{,}7$	$=$	$\displaystyle x_P$

$\displaystyle 1{,}6$	$=$	$\displaystyle y_P+\left(-3{,}1\right)$	$\displaystyle +3{,}1$
	↓	Löse nach $y_P$ auf
$\displaystyle y_P$	$=$	$\displaystyle 1{,}6+3{,}1$
$\displaystyle y_P$	$=$	$\displaystyle 4{,}7$

$\color{purple}{\Rightarrow P(4{,}7|4{,}7})$

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

$\displaystyle \color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}2{,}7\\1{,}6\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}-2\\-3{,}1\end{pmatrix}}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}2{,}7\\1{,}6\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\-3{,}1\end{pmatrix}$
	↓	Löse nach $\overset\rightharpoonup P=\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}$ auf
$\displaystyle \overset\rightharpoonup P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2{,}7\\1{,}6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3{,}1\end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4{,}7\\4{,}7\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \color{purple}{\overset\rightharpoonup P}=\color{purple}{\begin{pmatrix}4{,}7\\4{,}7\end{pmatrix}}$

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$\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2{,}1 \\ 2{,}3 \end{pmatrix}$ , $P'(5{,}2|-0{,}7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

$\color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$

$\color{orange}{\begin{pmatrix}5{,}2\\-0{,}7\end{pmatrix}}=\color{purple}{\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}2{,}1\\2{,}3\end{pmatrix}}$

$\displaystyle 5{,}2$	$=$	$\displaystyle x_P+2{,}1$	$\displaystyle -2{,}1$
	↓	Löse nach $x_P$ auf
$\displaystyle 5{,}2-2{,}1$	$=$	$\displaystyle x_P$
$\displaystyle 3{,}1$	$=$	$\displaystyle x_P$

$\displaystyle -0{,}7$	$=$	$\displaystyle y_P+2{,}3$	$\displaystyle -2{,}3$
	↓	Löse nach $y_P$ auf
$\displaystyle -0{,}7-2{,}3$	$=$	$\displaystyle y_P$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle y_P$

$\Rightarrow \color{purple}{P(3{,}1|-3)}$

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

$\displaystyle \color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup v}$
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}5{,}2\\-0{,}7\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}2{,}1\\2{,}3\end{pmatrix}}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}5{,}2\\-0{,}7\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2{,}1\\2{,}3\end{pmatrix}$
	↓	Löse nach $\overset\rightharpoonup P=\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}$ auf
$\displaystyle \overset\rightharpoonup P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}5{,}2\\-0{,}7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2{,}1\\2{,}3\end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
$\displaystyle \overset\rightharpoonup P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}3{,}1\\-3\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \color{purple}{ P(3{,}1|-3)}$

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Verschiebe die Gerade $g$ um den Vektor $\overset\rightarrow v$ .

$g=2\cdot x$ , $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung einer Gerade

$g:y=2\cdot x,\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Setze die Geradengleichung in die Matrixform ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\2\cdot x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x+1\\2\cdot x\end{pmatrix}%$

Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von $x$ .

$x' = x+1$

$y' = 2x$

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein:

$x\ = x' - 1$

$y'=2\cdot(x'-1)$

$\Rightarrow y'=2\cdot x'-2$

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von $x′$ .

Alternativlösung

$g:y=2\cdot x$

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt.

$A(0|0)$ und $B(1|2)$

Verschiebe die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ .

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

$\overset\rightharpoonup {A′}=\overset\rightharpoonup A+\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

$\overset\rightharpoonup {B′}=\overset\rightharpoonup B+\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

Addiere den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ zu den Ortsvektoren $\overset\rightharpoonup A$ und $\overset\rightharpoonup B$

$x_{A'}=0+1=1$

$y_{A'}=0+0=0$

$\rightarrow A'(1|0)$

$x_{B'}=1+1=2$

$y_{B'}=2+0=2$

$\rightarrow B'(2|2)$

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\overset\rightharpoonup{A}+\overset\rightharpoonup v$
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\overset\rightharpoonup{B}+\overset\rightharpoonup v$
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$

Geradengleichung aufstellen

$A'(1|0)$ und $B'(2|2)$

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

$m=\frac{0-2}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2$

Setze $m$ und den Punkt $B'$ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um $t$ zu bestimmen.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx + t$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 2 \cdot 2 + t$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle t$

Stelle die Geradengleichung auf.

$y=2\cdot x-2$

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$g=3\cdot x +\frac12$ , $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung einer Gerade

$g:y=3\cdot x+\frac12$ , $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
	↓	Setze die Geradengleichung in die Matrixform ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\3\cdot x+\frac12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x+4\\3\cdot x+\frac52\end{pmatrix}$

Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von x.

$x'=x+4$

$y'=3\cdot x+\frac52$

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein.

$x=x'-4$

$y'=3\cdot (x'-4) +\frac52$

$\Rightarrow y'=3\cdot x' -\frac{19}{2}$

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von $x'$

Alternativlösung:

$g:y=3\cdot x+\frac12$

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt. In diesem Fall betrachtest du den y-Abschnitt und gehst dann $3$ nach unten und $1$ nach links, sodass du bei $B$ landest.

$A\left(0|\frac12\right)$ und $B\left(-1|-\frac52\right)$

Verschiebe die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

$\overset\rightharpoonup {A′}=\overset\rightharpoonup A+\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}0\\\frac12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

$\overset\rightharpoonup {B′}=\overset\rightharpoonup B+\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}-1\\-\frac52\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

Addiere den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ zu den Ortsvektoren $\overset\rightharpoonup A$ und $\overset\rightharpoonup B$

$x_{A'}=0+4=4$

$y_{A'}=\frac12+2=\frac52$

$\rightarrow A'\left(4|\frac52\right)$

$x_{B'}=-1+4=3$

$y_{B'}=-\frac52+2=-\frac12$

$\rightarrow B'\left(3|-\frac12\right)$

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\overset\rightharpoonup{A}+\overset\rightharpoonup v$
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\\frac12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\\frac12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\\frac52\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\overset\rightharpoonup{B}+\overset\rightharpoonup v$
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\-\frac52\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1\\-\frac52\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\-\frac12\end{pmatrix}$

Geradengleichung aufstellen

$A'\left(4|\frac52\right)$ und $B'\left(3|-\frac12\right)$

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

$m=\frac{\frac52-\left(-\frac12\right)}{4-3}=\frac{3}{1}=3$

Setze $m$ und den Punkt $B'$ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um $t$ zu bestimmen.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx + t$
$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle 3\cdot 3 + t$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle -\frac12 - 9$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle -\frac{19}{2}$	$=$	$\displaystyle t$

Stelle die Geradengleichung auf.

$y=3\cdot x-\frac{19}{2}$

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Verschiebe die Funktion $f(x)$ um den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ .

$f(x)=x^2$ , $\overset\rightharpoonup v =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung

Um bei einer Funktion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um den Vektor $\overset \rightharpoonup v$ durchzuführen, setzt du $y=f(x)=x^2$ .

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& y + v_y\end{array}$

Setze $y=x^2$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& x^2 + v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + 2\\y' &=& x^2 + 1\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x &=& x'-2\\y' &=& x^2+1 \end{array}$

Ersetze $x = x' -2$ in der Gleichung für $y'$ .

$\displaystyle y'$	$=$	$\displaystyle (x'-2)^2+1$
$\displaystyle y'$	$=$	$\displaystyle (x'^2-4\cdot x'+4)+1$
$\displaystyle y'$	$=$	$\displaystyle x'^2 - 4\cdot x' + 5$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Setze $y=x^2$ in den Vektor ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\x^2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\x^2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}$ in den Vektor ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\x^2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

$\Rightarrow x' = x+2 \Leftrightarrow x = x' -2$ $\Rightarrow y' = x^2+1$

Ersetze $x= x'-2$ in der Gleichung für $y'$ .

$\Rightarrow y' = (x'-2)^2 + 1$ $\Leftrightarrow y' = (x'^2 - 4\cdot x' + 4) + 1$ $\Leftrightarrow y' = x'^2 - 4\cdot x' + 5$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

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$f(x)=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x - 2$ , $\overset \rightharpoonup v = \begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung

Um bei einer Funtion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um einen Vektor $\overset \rightharpoonup v$ zu durchzuführen, setzt du $y=f(x)=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2$ .

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& y + v_y\end{array}$

Setze $y=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x' &=& x + v_x\\y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} -2\\2\end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x' &=& x - 2\\y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + 2\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x &=& x'+2\\y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x\end{array}$

Setze die Gleichung für $x$ in die Gleichung für $y'$ ein und vereinfache.

$\Rightarrow y' = 2\cdot (x'+2)^3 + 4\cdot (x'+2)^2 + (x+2)\\ \Leftrightarrow y' = 2\cdot(x'^3 + 6\cdot x'^2 + 12\cdot x' + 8) + 4\cdot (x'^2 + 4\cdot x' + 4) + x' +2 \\ \Leftrightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 12\cdot x'^2 + 24\cdot x' + 16 + 4\cdot x'^2 + 16\cdot x' + 16 + x' + 2 \\ \Leftrightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 16\cdot x'^2 + 41\cdot x' + 34$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Setze $y=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2$ in den Vektor ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} -2\\2\end{pmatrix}$ in den Vektor ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}$

$\Rightarrow x'=x-2\Leftrightarrow x=x'+2$ $\Rightarrow y'= 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + 2$

Setze die Gleichung für $x$ in die Gleichung für $y'$ ein.

$\Rightarrow y' = 2\cdot (x'+2)^3 + 4\cdot(x'+2)^2 + (x'+2)$

$\Rightarrow y' = 2\cdot(x'^3 + 6\cdot x'^2 + 12\cdot x' + 8) + 4\cdot (x'^2 + 4\cdot x' + 4) + x' +2$

$\Rightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 12\cdot x'^2 + 24\cdot x' + 16 + 4\cdot x'^2 + 16\cdot x' + 16 + x' + 2$

$\Rightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 16\cdot x'^2 + 41\cdot x' + 34$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

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$f(x)=\log(4\cdot x)$ , $\overset \rightharpoonup v = \begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung

Um bei einer Funktion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ durchzuführen, setzt du $y=f(x)=\log(4\cdot x)$ .

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& y + v_y\end{array}$

Setze $y=\log(4\cdot x)$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x' &=& x + v_x\\y' &=& \log(4\cdot x) + v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x' &=& x + 1\\y' &=& \log(4\cdot x) + 3\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x &=& x' - 1\\y' &=& \log(4\cdot x) + 3\end{array}$

Ersetze $x = x' -1$ in der Gleichung für $y'$ .

$\Rightarrow y' = \log(4\cdot (x'-1)) + 3$ $\Leftrightarrow y' = \log(x'-1) + \log(4) + 3$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Setze $y=\log(4\cdot x)$ in den Vektor ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\\log(4\cdot x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\\log(4\cdot x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}$ in den Vektor ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\\log(4\cdot x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}%% %%\Rightarrow x'=x+1 \Leftrightarrow x=x'-1%% %%\Rightarrow y'=\log(4\cdot x) + 3$

$\Rightarrow x'=x+1 \Leftrightarrow x=x'-1$ $\Rightarrow y'=\log(4\cdot x) + 3$

Ersetze $x= x'-1$ in der Gleichung für $y'$ .

$\Rightarrow y' = \log(4\cdot (x'-1)) + 3$ $\Leftrightarrow y' = \log(x'-1) + \log(4) + 3$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

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$f(x)=2^{3\cdot x}$ , $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix}2 \\ -4 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung

Um bei einer Funktion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um den Vektor $\overset \rightharpoonup v$ durchzuführen, setzt du $y=f(x)=2^{3\cdot x}$ .

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& y + v_y\end{array}$

Setze $y=2^{3\cdot x}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& 2^{3\cdot x} + v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\-4\end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + 2\\y' &=& 2^{3\cdot x} - 4\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x &=& x' - 2\\y' &=& 2^{3\cdot x} - 4\end{array}$

Ersetze $x = x' -2$ in der Gleichung für $y'$ .

$\Rightarrow y' = 2^{3\cdot (x' -2)}-4$ $\Leftrightarrow y' = 8^{x' - 2}-4$ Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Setze $y=2^{3\cdot x}$ in den Vektor ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\2^{3\cdot x}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\2^{3\cdot x}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\-4\end{pmatrix}$ in den Vektor ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\2^{3\cdot x}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$

$\Rightarrow x' = x+2 \Leftrightarrow x = x' -2$ $\Rightarrow y' = 2^{3\cdot x} -4$

Ersetze $x= x'-2$ in der Gleichung für $y'$ .

$\Rightarrow y' = 2^{3\cdot (x' -2)}-4$ $\Leftrightarrow y' = 8^{x' - 2}-4$ Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

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