5Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine Art "Multiplikation" von Vektoren, deren Ergebnis eine reelle Zahl ist. Man schreibt$\vec a\circ\vec b$.

Man bestimmt es folgendermaßen: Gegeben sind zwei Vektoren $\overrightarrow a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \\$ und $\overrightarrow b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$

Dann ist $\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Orthogonalität

Ein Vektor $\vec{a}$ ist orthogonal zu einem Vektor $\vec{b}$, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen. Dies kann man durch das Skalarprodukt beider Vektoren überprüfen.

Ist dieses nämlich gleich null, so sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal zueinander. D.h.:

$\vec a\perp\vec b\;\;\Leftrightarrow\;\;\vec a\circ\vec b=0$ (wenn, $\vec a\neq0$ und $\vec b\neq0$)

Es gilt:

$\vec{a}$ nicht senkrecht zu $\ \vec b\;\;\Leftrightarrow\;\;\vec a\circ\vec b\neq0$

Beachte: Es ist unwichtig, ob die Vektoren einen gemeinsamen Fußpunkt haben, denn man kann einfach ihre Repräsentanten nehmen, die im Ursprung ihre Fußpunkte haben (Ortsvektoren).

Am Ergebnis des Skalarprodukts, geschweige denn am Vektor selber, ändert sich selbstverständlich nichts.