6Beispiele: Skalarprodukt

Es sind die Vektoren

$\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$

gegeben. Man soll das Skalarprodukt bestimmen und daraus schließen, ob die beiden Vektoren zueinander orthogonal sind.

$\vec a\circ\vec b= \begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix} = 2 \cdot 4 + 8 \cdot (-1) = 8 - 8 =0$

Man hat die Punkte

$P(5|9), Q(3|1), R(-1|-2)$ und $S(3|-3)$

gegeben. Nun soll überprüft werden, ob die Vektoren $\overrightarrow{QP}$ und $\overrightarrow{RS}$ orthogonal zueinander sind.

Zunächst werden die Vektoren $\overrightarrow{QP}$ und $\overrightarrow{RS}$ berechnet. Das Skalarprodukt wird ganz normal berechnet.

$\overrightarrow{QP} =\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{RS} = \begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$

Das Skalarprodukt berechnet sich dann wie in Beispiel 1. oben durch

$\overrightarrow{QP} \circ \overrightarrow{RS} = \begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}= 0$

Es sind die Vektoren

$\vec{c} = \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}$ und $\vec{d} = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$

gegeben. Man soll das Skalarprodukt bestimmen und daraus schließen, ob die beiden Vektoren zueinander orthogonal sind.

$\vec c\circ\vec d= \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} = (-1) \cdot 2 + (-3) \cdot 4 = (-2) + (-12) =-14$

Demnach sind die beiden Vektoren nicht orthogonal zueinander.