Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

1
Multipliziere den Vektor mit dem Skalar.
1. $5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
  $5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}$
  Multipliziere komponentenweise.
  $=\begin{pmatrix}5\cdot3\\5\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\25\end{pmatrix}$
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2. $-1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
  $-1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$
  Multipliziere komponentenweise.
  $=\begin{pmatrix}-1\cdot3\\-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}$
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3. $\displaystyle\frac{7}9\cdot\begin{pmatrix}27\\22{,}5\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
  $\displaystyle\frac79\cdot\begin{pmatrix}27\\22{,}5\end{pmatrix}$
  Multipliziere komponentenweise.
  $=\displaystyle\begin{pmatrix}\frac79\cdot27\\\frac79\cdot22{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\17{,}5\end{pmatrix}$
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2
Berechne den Lösungsvektor.
1. $\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
  $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
  Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
  $=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-2)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $=\begin{pmatrix}1+2\cdot1+0\\1+2\cdot(-2)+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$
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2. $4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
  $4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\$
  Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
  $=\begin{pmatrix}0\\-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\$
  Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $=\begin{pmatrix}0+6-0\\-8+0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$
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3. $5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2{,}25\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
  $5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2{,}25\end{pmatrix}$
  Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
  $=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)\\5\cdot3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\cdot(-3)\\4\cdot(-2{,}25)\end{pmatrix}$
  Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
  $=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)-3\cdot(-9)+4\cdot(-3)\\5\cdot3-3\cdot2+4\cdot(-2{,}25)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
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3
Gegeben seien die Punkte $A (- 4 ∣ 0)$ , $B (2 ∣ - 1)$ und $C (5 ∣ 2)$ . Vervollständige zu einem Parallelogramm ABCD und berechne neben den Koordinaten von D auch die Lage des Schnittpunktes M seiner Diagonalen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Zeichnerische Bestimmung von D
Trage A, B und C ein. Übertrage den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an A.
D liegt also bei $D (- 1 ∣ 3)$
Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.
Rechnerische Bestimmung
Bestimme zuerst $\vec a = \overrightarrow{AB}$ oder $\vec b = \overrightarrow{BC}$ .
$\vec a = \begin{pmatrix}2- & (-4)\\-1 & -0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ -1 \end{pmatrix}$
$\vec b = \begin{pmatrix} 5 & -2\\2- & (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$
Da $A B C D$ ein Parallelogramm ist, gilt außerdem $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ .
Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor $\vec A$ von A.
$\vec D=\vec A + \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\3\end{pmatrix}$
Somit ist $D (- 1 ∣ 3)$ .
Lage des Diagonalenschnittpuntkts
In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke $\overline{AC}$ oder $\overline{BD}$ .
Bilde wieder eine Vektorkette:
$\vec M= \vec A+\frac 1 2\cdot\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix} 5-(-4)\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix} 9\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5\\1\end{pmatrix}$
Die Diagonalen schneiden sich also in $M (0,5 ∣ 1)$
Löse durch Zeichnen oder mithilfe einer Vektorkette.
Nutze dabei, dass die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{AD}$ parallel und gleich lang sind.
Außerdem halbieren sich die Diagonalen im Parallelogramm.

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Zeichnerische Bestimmung von D

Rechnerische Bestimmung

Lage des Diagonalenschnittpuntkts