Aufgaben zum Umfang und Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck

Aufgaben

Berechne für ein Rechteck die fehlenden Größen:

 

$$$$

Länge l

Breite b

Flächeninhalt A

Umfang U

a)

5 cm

7 dm

b)

30 cm

1,4 m

c)

120 m

6 ha

d)

80 cm

4 m²

Berechnungen am Rechteck

$$$$

Länge l

Breite b

Flächeninhalt A

Umfang U

a)

5 cm

7 dm

3,5 dm²

15dm

b)

30 cm

0,4 m

0,12 m²

1,4 m

c)

500 m

120 m

6 ha

1240 m

d)

80 cm

5 m

4 m²

11,6 m

a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 5cm Breite b = 7dm

Gesucht: Flächeninhalt A und Umfang U

Die Länge l musst du erst in die Einheit dm umrechnen.

$$A=0,5dm\cdot7dm=3,5dm²$$ $$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot0,5dm+2\cdot7dm=15dm$$

Die Länge l wird mit der Breite b multipliziert um den Flächeninhalt A zu erhalten.

Die Werte werden für l und b eingesetzt um das Ergebnis von U zu erhalten.

b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A

Gegeben:

Länge l = 30cm
Umfang U = 1,4m

Gesucht: Breite b und Flächeninhalt A

Die Länge l wird in Meter umgerechnet und der Anteil am Umfang U abgezogen

$$U=2l+2b$$ $$U-2l=1,4m-2\cdot0,3m=0,8m$$ $$2b=0,8m$$ $$b=0,8m:2=0,4m$$ $$A=l\cdot b$$ $$A=0,3m\cdot0,4m=0,12m²$$

Die Breite b bekommst du aus dem Umfang U, indem die Länge l abgezogen wird und die Breite b durch Teilen (Division) hervorgeht.

Um von 2b (2 mal b) den Wert für b rauszubekommen, teilst du das Ergebnis durch 2.

Durch die erhaltene Breite b kannst du dann den Flächeninhalt A ausrechnen.

c) Berechnung Länge l und des Umfang U

Gegeben:

Breite b = 120m
Flächeninhalt A = 6ha

Gesucht: Länge l und Umfang U

Der Flächeninhalt A wird in m² umgerechnet und durch die Breite b geteilt.

$$A=l\cdot b$$ $$A=60000m²:120m=500m$$ $$l=500m$$

Um die Länge l zu erhalten, teilst du den Flächeninhalt A durch die Breite b.

Als Ergebnis kommt der andere Teil vom Flächeninhalt, die Länge l als Ergebnis heraus.

$$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot500m+2\cdot120m=1240m$$

Die Werte der Länge l und der erhaltenen Breite b werden eingesetzt, das Ergebnis ist der Umfang.

d) Berechnung Breite b und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 80cm
Flächeninhalt A = 4m²

Gesucht: Breite b und Umfang U

Die Länge l rechnest du in Metern um, damit der Flächeninhalt durch l geteilt wird.

$$A=l\cdot b$$ $$A=4m²:0,8m=5m$$

$$l=5m$$

Durch Teilen vom Flächeninhalt durch die vorhandene Länge l bekommst du das Ergebnis der Breite b.

$$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot5m+2\cdot0,8m=9,6m$$

Für den Umfang müssen die Länge l und die ausgerechnete Breite b eingesetzt werden

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Ein Fußballfeld ist 110 m lang und 75 m breit. Berechne die Fläche und den Umfang des Fußballfelds.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Gegeben: l=110l = 110, b=75b = 75
Gesucht: AA und UU
AA mit A wird häufig der Flächeninhalt bezeichnet
UU steht hier für den Umfang

Flächeninhalt

Hinweis:Hinweis: In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne Weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.
Benutze nun die Formel für den Flächeninhalt um das Ergebnis zu berechnen.
AA==l ⋅bl\ \cdot b
↓
Setze nun die gegebenen Werte ein.
==110 ⋅75110\ \cdot75
==82508250
⇒\Rightarrow Der Flächeninhalt des Fußballfelds beträgt 8250m28250 m^2

Umfang

Hinweis:Hinweis: In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.
Benutze nun die Formel für den Umfang um das Ergebnis zu berechnen.
UU==2b + 2l2b\ +\ 2l
↓
Setze nun die gegebenen Werte ein.
==2 ⋅75 + 2 ⋅l2\ \cdot75\ +\ 2\ \cdot l
↓
Beachte: Punkt vor Strich!
==370370
⇒\Rightarrow Der Umfang des Fußballfelds beträgt 370m370 m.
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Eine Landebahn an einem internationalem Flughafen ist im fertigen Zustand insgesamt 45 m breit und 3 500 m lang. Allerdings muss der letzte Abschnitt der Landebahn welcher 10 000 m2m^2 groß ist noch gebaut werden. Skizziere die Landebahn. Berechne anschließend den Umfang der gesamten Landebahn und den Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Skizze der Landebahn

So könnte deine Skizze z.B aussehen:
Jetzt kannst du mit dem Rechnen beginnen.
Gegeben:
AinBau=10  000  m2\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2
l=3500  m\displaystyle l=3500\;m
b=45  m\displaystyle b=45\;m
AinBauA_{inBau} steht hiebei für den Flächeninhalt der Landebahn, der noch unfertig ist.
ll steht für die Länge der gesamten Landebahn.
bb steht für die Breite der gesamten Landebahn.
Gesucht:
U;  AGebaut\displaystyle U;\;A_{Gebaut}
UU steht für den Umfang der gesamten Landebahn.
AGebautA_{Gebaut} steht für den Flächeninhalt der Landebahn, der bereits fertiggestellt ist.

Umfang der gesamten Landebahn

Hinweis:Hinweis: In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.
Benutze die Formel für den Umfang, um das Ergebnis zu berechnen.
UU==2l + 2b2l\ +\ 2b
↓
l, b einsetzen
==(2⋅3500)+(2⋅45)(2\cdot3500)+(2\cdot45)
==90+7  00090+7\;000
==7 0907\ 090
⇒ Der Umfang der Landebahn beträgt 7090 m

Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts

Hinweis:Hinweis: In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.
Um den Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts zu berechnen, musst du die Fläche des Landebahnabschnitts der sich im Bau befindet von der Fläche der gesamten Landebahn abziehen.
AGebautA_{Gebaut}==AGesamt−AinBauA_{Gesamt}-A_{inBau}
↓
Formel für AGesamtA_{Gesamt}
==(l⋅b)−AinBau(l\cdot b)-A_{inBau}
↓
Werte einsetzen
==(3500⋅45)−10  000(3500\cdot45)-10\;000
==157  500−10  000157\;500-10\;000
==147  500147\;500
⇒ Der Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts beträgt 147 500 m2.m^2.
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Ein rechteckiger Garten der Länge 12m und der Breite 9,5m soll eingezäunt werden. Wie lang ist der Zaun, wenn für zwei Gartentore jeweils 2,7m ausgespart werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Rechtek

Länge l=12  ml = 12\;\mathrm{m}
Breite b=9,5  mb = 9,5\;\mathrm{m}
Die Zaunlänge entspricht dem Umfang eines Rechtecks. Berechne also den Umfang UU.
U=2l+2bU = 2l + 2b
Setzte die gegebenen Zahlenwerte für ll und bb ein.
U=2⋅12  m+2⋅9,5  mU = 2 \cdot 12\;\mathrm{m} + 2\cdot 9,5\;\mathrm{m}
U=43  mU = 43\;\mathrm{m}
Für zwei Gartentore sollen jeweils 2,7 m ausgespart werden. Subtrahiere also die Gesamtlänge der Gartentore von dem Umfang des Gartens.
2⋅2,7  m=5,4  m2 \cdot 2,7\;\mathrm{m} = 5,4\;\mathrm{m}
43  m−5,4  m=37,6  m43\;\mathrm{m} - 5,4\;\mathrm{m} = 37,6\;\mathrm{m}
Der Zaun ist 37,6  m37,6\;\mathrm m lang.
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Aus einem Drahtstück wird ein Rechteck der Fläche 28cm228\mathrm{cm}^2 gebogen, wobei eine Seite des Rechtecks 4 cm lang ist. Welche Länge hat der Draht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Zweite Seite berechnen:
b=28cm2:4cm=7cmb=28\mathrm{cm}^2:4\mathrm{cm}=7\mathrm{cm}
Länge des Drahtes:
x=2⋅(4cm+7cm)=22cmx=2\cdot(4\mathrm{cm}+7\mathrm{cm})=22\mathrm{cm}
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Wie lang muss ein Zaun sein, der ein quadratisches Grundstück der Fläche 6a  25m26a\;25m^2 umgibt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Viereck

Seitenlänge des Grundstücks

6 a  25 m26\,a\;25\,m^2
6 Ar umrechnen in Quadratmeter und die gegebene Fläche in die Flächenformel des Quadrats einsetzen.
x2=625 m2x^2=625\,m^2
Überlege: Welche Zahl im Quadrat ergibt 625?
x=25 mx=25\,m

Umfang des Grundstücks

x=25 mx=25\,m
Nimm die Seite des Quadrats mal 4 um den Umfang zu berechnen.
U=4⋅25 m=100 mU=4\cdot25\,m=100\,m
⇒\Rightarrow Der Zaun muss 100 m100\,m lang sein.
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Ein rechteckiges Grundstück ist 21m lang und hat einen Flächeninhalt von 14a  70m214a\;70m^2 . Berechne die Breite und den Umfang des Grundstücks.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

Gegeben: Länge l=21  ml = 21\;\mathrm{m}Flächeninhalt A=14  a  70  m2A = 14\;\mathrm{a}\; 70\;\mathrm{m^2}
Gesucht: Breite bb und Umfang UU
Rechne den gegebenen Flächeninhalt in die Einheit m2\mathrm{m^2} um.
14  a  70  m214\;\mathrm{a}\;70\;\mathrm{m^2} ==1400  m2+70  m2=1470  m21400\;\mathrm{m^2}+70\;\mathrm{m^2}=1470\;\mathrm{m^2}
→
Berechne die Breite bb mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt.

AA==l⋅bl \cdot b
↓
Setze die gegebenen Zahlenwerte für ll und AA ein.
1470  m21470\;\mathrm{m^2}==21  m⋅b21\;\mathrm{m} \cdot b
↓
Löse die Gleichung nach bb auf.
bb==1470  m221  m=70  m\frac{1470\;\mathrm{m^2}}{21\;\mathrm{m}} = 70\;\mathrm{m}
→
Berechne mit diesem Ergebnis den Umfang.
UU==2b+2l2b+2l
↓
Setze die Zahlenwerte ein.
UU==2⋅70  m+2⋅21  m2 \cdot 70\;\mathrm{m} +2 \cdot 21\;\mathrm{m}|
UU==182  m182\;\mathrm{m}
Das Rechteck hat eine Breite von 70 m und einen Umfang von 182 m.
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Manuelas Zimmer ist 4 m lang, 3,5 m breit und 2,5 m hoch. Eine der beiden großen Wandflächen soll einen gelben Farbanstrich erhalten. Von einem Farbtopf mit der Aufschrift "Inhalt 2,5 l ausreichend für 20 m2\mathrm{m^2} - 25 m2\mathrm{m^2} " ist noch die Hälfte übrig. Reicht die Menge für den Anstrich der Wand? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

Die "große" Wandfläche ist 4 m lang und 2,5 m hoch. Berechne die rechteckige Fläche der Wand.
4  m⋅2,5  m=10  m24\;\mathrm m\cdot2,5\;\mathrm m=10\;\mathrm m^2
Überlege dir für wie viel m2\mathrm{m}^2 Wandfläche die restliche Farbe noch reicht. Es ist noch die Hälfte der Farbe da.
Die Farbe reicht für

12⋅20  m2=10  m2\frac12 \cdot 20\; \mathrm{m^2}= 10\;\mathrm m^2

bis

12⋅25  m2=12,5  m2\frac12 \cdot 25 \;\mathrm{m^2} = 12,5\;\mathrm m^2.
Vergleiche das Ergebnis mit der erechneten Wandfläche.
Die Farbe im Topf reicht also aus.
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Auf einem unbebauten, rechteckigen Grundstück, das 122,40 m lang und 83,16 m breit ist, soll ein Spiel- und Sportplatz angelegt werden.

Das Gelände soll dazu rundherum mit einem Zaun umgeben werden.

  1. Wie viele m Zaun braucht man, wenn dabei an einer Stelle 2,12 m für das Eingangstor frei gelassen werden müssen?
  2. Was kostet das Einzäunen des Grundstücks, wenn die Stadtverwaltung für 1 m Zaun 12 € bezahlen muss, und das Tor 264 € kostet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck und Quadrat



Teilaufgabe 1

Diese Aufgabe kannst du
  • entweder schrittweise rechnen,
  • oder lösen, indem du eine Formel anwendest.
Hier stehen beide Möglichkeiten - suche dir die für dich passende aus.

Lösung durch schrittweises Rechnen

Skizze
Zaun
Plan zur Berechnung.
In der Skizze erkennst du: Die Länge des Zauns ist die vier Seiten des Rechtecks zusammengerechnet minus das Tor.
Rechne also zuerst die vier Rechtecksseiten zusammen.
Vier Rechtecksseiten zusammenrechnen
122,40 m83,16 m+122,40 m+83,16 m411,12 m\begin{array}{rr}&122,40\ \mathrm{m}\\ &83,16\ \mathrm{m}\\+& 122,40\ \mathrm{m}\\+& 83,16\ \mathrm{m}\\\hline&411,12\ \mathrm{m}\end{array}
Nun musst du noch das Tor abziehen.
Breite des Tores abziehen
411,12 m2,12 m409,00 m\begin{array}{rr}& 411,12\ \mathrm{m}\\ & 2,12\ \mathrm{m}\\\hline& 409,00\ \mathrm{m}\end{array}

Lösung: Man benötigt 409 m409\ \mathrm{m} Zaun, um das Gelände einzuzäunen.

Lösung mit Formel

Skizze
Zaun
Plan zur Berechnung
Gesucht ist
  • der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten 122,40 m122,40\, \mathrm{m} und 83,16 m83,16\, \mathrm{m}
  • minus die Torbreite von 2,12 m2,12\, \mathrm{m}.
Umfang berechnen und Torbreite abziehen
U=2⋅a+2⋅bU=2\cdot a + 2\cdot b
Setze hier die Werte ein:
  • 122,40 m122,40\, \mathrm{m} für aa, und
  • 83,16 m83,16\, \mathrm{m} für bb
(oder umgekehrt natürlich).
U=2⋅122,40 m+2⋅83,16 mU= 2\cdot 122,40\, \mathrm{m} + 2\cdot 83,16\, \mathrm{m}
Rechne das aus.
U=411,12 mU= 411,12\, \mathrm{m}
Ziehe davon nun noch die Torbreite ab, um die Zaunlänge lZaunl_{Zaun} zu erhalten.
lZaun=411,12 m−2,12 m=409 ml_{Zaun}= 411,12\, \mathrm{m}-2,12\, \mathrm{m} = 409\ \mathrm{m}
Lösung: Man benötigt 409 m409\ \mathrm{m} Zaun, um das Gelände einzuzäunen.

Teilaufgabe 2

Gegeben:
  • 1 m1\ \mathrm{m} Zaun kostet 12 €12\ €
  • Das Tor kostet 264 €264\ €
Außerdem weißt du aus Teilaufgabe 1:
  • Man benötigt 409 m409\ \mathrm{m} Zaun.
Gesucht: Gesamtkosten
Die Gesamtkosten sind die Kosten für den Zaun plus die Kosten für das Tor.
Berechne zuerst die Kosten für den gesamten Zaun.

Kosten für gesamten Zaun

1 m1\ \mathrm{m} Zaun kosten 12 €12\ €, also kosten 409 m409\ \mathrm{m} Zaun 409⋅12 €409 \cdot 12\ €.
%%\begin{array}{r}409 \cdot 12\\\hline409\phantom{0}\\818\\\hline4908\end{array}%%
Addiere nun noch die Kosten für das Tor.

Gesamtkosten

Kosten für Zaun + Kosten für Tor =
%%\begin{array}{rr}&4908\ € \\+&264\ €\\\hline&5172\ €\end{array}%%

Lösung: Das Einzäunen kostet die Stadtverwaltung insgesamt 5172 €5172\ €.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
Durch Aneinanderlegen von 24 quadratischen Teppichfliesen soll eine lückenlose rechteckige Spielfläche gebildet werden. Jede Teppichfliese hat 0,5m Seitenlänge. Maria hat ein Rechteck mit 6 Fliesen an einer Längsseite und 4 Fliesen an einer Breitseite gelegt. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Spielfläche. Gib alle weiteren Möglichkeiten an, aus allen 24 Fliesen eine rechteckige Spielfläche zu legen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

U=2⋅(6⋅a)+2⋅(4⋅a)=12⋅a+8⋅a=20⋅aU=2\cdot(6\cdot a)+2\cdot(4\cdot a)=12\cdot a+8\cdot a=20\cdot a
U=20⋅0,5m=10mU=20\cdot0,5\mathrm m=10\mathrm m
A=(6⋅a)⋅(4⋅a)=24⋅a2A=(6\cdot a)\cdot(4\cdot a)=24\cdot a^2
A=24⋅(0,5m)2=24⋅0,25m2=6m2A=24\cdot(0,5\mathrm m)^2=24\cdot0,25\mathrm m^2=6\mathrm m^2

Längsseite

1

2

3

Breitseite

24

12

8
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