Aufgaben zum Umfang und Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck

1
Berechne für ein Rechteck die fehlenden Größen:

Länge l
Breite b
Flächeninhalt A
Umfang U
a)
5 cm
7 dm
b)
30 cm
1,4 m
c)
120 m
6 ha
d)
80 cm
4 m²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck
Länge l
Breite b
Flächeninhalt A
Umfang U
a)
5 cm
7 dm
3,5 dm²
15dm
b)
30 cm
0,4 m
0,12 m²
1,4 m
c)
500 m
120 m
6 ha
1240 m
d)
80 cm
5 m
4 m²
11,6 m
a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U
Gegeben:
Länge l = 5cm Breite b = 7dm
Gesucht: Flächeninhalt A und Umfang U
Die Länge l musst du erst in die Einheit dm umrechnen. Die Länge l wird mit der Breite b multipliziert um den Flächeninhalt A zu erhalten. Die Werte werden für l und b eingesetzt, um das Ergebnis von U zu erhalten.
b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A
Gegeben:
Länge l = 30cm Umfang U = 1,4m
Gesucht: Breite b und Flächeninhalt A
Die Länge l wird in Meter umgerechnet und der Anteil am Umfang U abgezogen
Die Breite b bekommst du aus dem Umfang U, indem die Länge l abgezogen wird und die Breite b durch Teilen (Division) hervorgeht.
Um von 2b (2 mal b) den Wert für b herauszubekommen, teilst du das Ergebnis durch 2.
Durch die erhaltene Breite b kannst du dann den Flächeninhalt A ausrechnen.
c) Berechnung Länge l und des Umfang U
Gegeben:
Breite b = 120m Flächeninhalt A = 6ha
Gesucht: Länge l und Umfang U
Der Flächeninhalt A wird in m² umgerechnet und durch die Breite b geteilt. Um die Länge l zu erhalten, teilst du den Flächeninhalt A durch die Breite b.
Als Ergebnis kommt der andere Teil vom Flächeninhalt, die Länge l als Ergebnis heraus.
Die Werte der Länge l und der erhaltenen Breite b werden eingesetzt, das Ergebnis ist der Umfang.
d) Berechnung Breite b und Umfang U
Gegeben:
Länge l = 80cm Flächeninhalt A = 4m²
Gesucht: Breite b und Umfang U
Die Länge l rechnest du in Metern um, damit der Flächeninhalt durch l geteilt wird.
Durch Teilen vom Flächeninhalt durch die vorhandene Länge l bekommst du das Ergebnis der Breite b.
Für den Umfang müssen die Länge l und die ausgerechnete Breite b eingesetzt werden

	Länge l	Breite b	Flächeninhalt A	Umfang U
a)	5 cm	7 dm
b)	30 cm			1,4 m
c)		120 m	6 ha
d)	80 cm		4 m²

	Länge l	Breite b	Flächeninhalt A	Umfang U
a)	5 cm	7 dm	3,5 dm²	15dm
b)	30 cm	0,4 m	0,12 m²	1,4 m
c)	500 m	120 m	6 ha	1240 m
d)	80 cm	5 m	4 m²	11,6 m

Ein Fußballfeld ist 110 m lang und 75 m breit. Berechne die Fläche und den Umfang des Fußballfelds.

Eine Landebahn an einem internationalem Flughafen ist im fertigen Zustand insgesamt 45 m breit und 3 500 m lang. Allerdings muss der letzte Abschnitt der Landebahn welcher 10 000 $m^2$ groß ist noch gebaut werden.

Skizziere die Landebahn. Berechne anschließend den Umfang der gesamten Landebahn und den Flächeninhalt des fertigen Landebahn Abschnitts.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Skizze der Landebahn

So könnte deine Skizze z.B aussehen:

Jetzt kannst du mit dem Rechnen beginnen.

Gegeben:

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

$A_{inBau}$ steht hiebei für den Flächeninhalt der Landebahn, der noch unfertig ist.

$l$ steht für die Länge der gesamten Landebahn.

$b$ steht für die Breite der gesamten Landebahn.

Gesucht:

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

$U$ steht für den Umfang der gesamten Landebahn.

$A_{Gebaut}$ steht für den Flächeninhalt der Landebahn, der bereits fertiggestellt ist.

Umfang der gesamten Landebahn

$Hinweis:$ In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.

Benutze die Formel für den Umfang, um das Ergebnis zu berechnen.

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2l\ +\ 2b$
	↓	l, b einsetzen
	$=$	$\displaystyle (2\cdot3500)+(2\cdot45)$
	$=$	$\displaystyle 90+7\;000$
	$=$	$\displaystyle 7\ 090$

⇒ Der Umfang der Landebahn beträgt 7090 m

Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts

Um den Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts zu berechnen, musst du die Fläche des Landebahnabschnitts der sich im Bau befindet von der Fläche der gesamten Landebahn abziehen.

$\displaystyle A_{Gebaut}$	$=$	$\displaystyle A_{Gesamt}-A_{inBau}$
	↓	Formel für $A_{Gesamt}$
	$=$	$\displaystyle (l\cdot b)-A_{inBau}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle (3500\cdot45)-10\;000$
	$=$	$\displaystyle 157\;500-10\;000$
	$=$	$\displaystyle 147\;500$

⇒ Der Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts beträgt 147 500 $m^2.$

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4
Ein rechteckiger Garten der Länge 12m und der Breite 9,5m soll eingezäunt werden. Wie lang ist der Zaun, wenn für zwei Gartentore jeweils 2,7m ausgespart werden?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Rechtek
Länge $l = 12\;\mathrm{m}$
Breite $b = 9{,}5\;\mathrm{m}$
Die Zaunlänge entspricht dem Umfang eines Rechtecks. Berechne also den Umfang $U$ .
$U = 2l + 2b$
Setzte die gegebenen Zahlenwerte für $l$ und $b$ ein.
$U = 2 \cdot 12\;\mathrm{m} + 2\cdot 9{,}5\;\mathrm{m}$
$U = 43\;\mathrm{m}$
Für zwei Gartentore sollen jeweils 2,7 m ausgespart werden. Subtrahiere also die Gesamtlänge der Gartentore von dem Umfang des Gartens.
$2 \cdot 2{,}7\;\mathrm{m} = 5{,}4\;\mathrm{m}$
$43\;\mathrm{m} - 5{,}4\;\mathrm{m} = 37{,}6\;\mathrm{m}$
Der Zaun ist $37{,}6\;\mathrm m$ lang.
5
Aus einem Drahtstück wird ein Rechteck der Fläche $28\mathrm{cm}^2$ gebogen, wobei eine Seite des Rechtecks 4 cm lang ist. Welche Länge hat der Draht?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Zweite Seite berechnen:
$b=28\mathrm{cm}^2:4\mathrm{cm}=7\mathrm{cm}$
Länge des Drahtes:
$x=2\cdot(4\mathrm{cm}+7\mathrm{cm})=22\mathrm{cm}$
6
Wie lang muss ein Zaun sein, der ein quadratisches Grundstück der Fläche $6a\;25m^2$ umgibt?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Viereck
Seitenlänge des Grundstücks
$6\,a\;25\,m^2$
6 Ar umrechnen in Quadratmeter und die gegebene Fläche in die Flächenformel des Quadrats einsetzen.
$x^2=625\,m^2$
Überlege: Welche Zahl im Quadrat ergibt 625?
$x=25\,m$
Umfang des Grundstücks
$x=25\,m$
Nimm die Seite des Quadrats mal 4 um den Umfang zu berechnen.
$U=4\cdot25\,m=100\,m$
$\Rightarrow$ Der Zaun muss $100\,m$ lang sein.

Ein rechteckiges Grundstück ist 21m lang und hat einen Flächeninhalt von $14a\;70m^2$ . Berechne die Breite und den Umfang des Grundstücks.

8
Manuelas Zimmer ist 4 m lang, 3,5 m breit und 2,5 m hoch.
Eine der beiden großen Wandflächen soll einen gelben Farbanstrich erhalten. Von einem Farbtopf mit der Aufschrift "Inhalt 2,5 l ausreichend für 20 $\mathrm{m^2}$ - 25 $\mathrm{m^2}$ " ist noch die Hälfte übrig.
Reicht die Menge für den Anstrich der Wand? Begründe deine Antwort durch Rechnung.
Ja, die Menge reicht noch für den Anstrich.
Nein, die Menge reicht nicht mehr für den Anstrich.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck
Die "große" Wandfläche ist 4 m lang und 2,5 m hoch. Berechne die rechteckige Fläche der Wand.
$4\;\mathrm m\cdot2{,}5\;\mathrm m=10\;\mathrm m^2$
Überlege dir für wie viel $\mathrm{m}^2$ Wandfläche die restliche Farbe noch reicht. Es ist noch die Hälfte der Farbe da.
Die Farbe reicht für
$\frac12 \cdot 20\; \mathrm{m^2}= 10\;\mathrm m^2$
bis
$\frac12 \cdot 25 \;\mathrm{m^2} = 12{,}5\;\mathrm m^2$ .
Vergleiche das Ergebnis mit der erechneten Wandfläche.
Die Farbe im Topf reicht also aus.
9
Durch Aneinanderlegen von 24 quadratischen Teppichfliesen soll eine lückenlose rechteckige Spielfläche gebildet werden. Jede Teppichfliese hat 0,5m Seitenlänge. Maria hat ein Rechteck mit 6 Fliesen an einer Längsseite und 4 Fliesen an einer Breitseite gelegt. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Spielfläche. Gib alle weiteren Möglichkeiten an, aus allen 24 Fliesen eine rechteckige Spielfläche zu legen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
$U=2\cdot(6\cdot a)+2\cdot(4\cdot a)=12\cdot a+8\cdot a=20\cdot a$
$U=20\cdot0{,}5\mathrm m=10\mathrm m$
$A=(6\cdot a)\cdot(4\cdot a)=24\cdot a^2$
$A=24\cdot(0{,}5\mathrm m)^2=24\cdot0{,}25\mathrm m^2=6\mathrm m^2$
Längsseite
1
2
3
4
6
8
12
24
Breitseite
24
12
8
6
4
3
2
1
10
Auf einem unbebauten, rechteckigen Grundstück, das $122{,}40\ m$ lang und $83{,}16\ m$ breit ist, soll ein Spiel- und Sportplatz angelegt werden.
Das Gelände soll dazu rundherum mit einem Zaun umgeben werden.
1. Wie viele $m$ Zaun braucht man, wenn dabei an einer Stelle $2{,}12\ m$ für das Eingangstor frei gelassen werden müssen?
  m
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck und Quadrat
  Diese Aufgabe kannst du
  entweder schrittweise rechnen,
  oder lösen, indem du eine Formel anwendest.
  Hier stehen beide Möglichkeiten - suche dir die für dich passende aus.
  Lösung durch schrittweises Rechnen
  Plan zur Berechnung.
  In der Skizze erkennst du: Die Länge des Zauns sind die vier Seiten des Rechtecks zusammengerechnet minus das Tor.
  Rechne also zuerst die vier Rechtecksseiten zusammen.
  Vier Rechtecksseiten zusammenrechnen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}&122{,}40\ \mathrm{m}\\ &83{,}16\ \mathrm{m}\\& 122{,}40\ \mathrm{m}\\+& 83{,}16\ \mathrm{m}\\\hline&411{,}12\ \mathrm{m}\end{array}$
  Nun musst du noch das Tor abziehen.
  Breite des Tores abziehen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}& 411{,}12\ \mathrm{m}\\ &-\ 2{,}12\ \mathrm{m}\\\hline& 409{,}00\ \mathrm{m}\end{array}$
  Lösung: Man benötigt $409\ \mathrm{m}$ Zaun, um das Gelände einzuzäunen.
  Lösung mit Formel
  Plan zur Berechnung
  Gesucht ist
  der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten $122{,}40\, \mathrm{m}$ und $83{,}16\, \mathrm{m}$
  minus die Torbreite von $2{,}12\, \mathrm{m}$ .
  Du brauchst also die Formel für den Umfang eines Rechtecks.
  Umfang berechnen und Torbreite abziehen
  $U=2\cdot a+2\cdot b$
  Setze hier die Werte ein:
  $122{,}40\, \mathrm{m}$ für $a$ , und
  $83{,}16\, \mathrm{m}$ für $b$
  (oder umgekehrt natürlich).
  $U= 2\cdot 122{,}40\, \mathrm{m} + 2\cdot 83{,}16\, \mathrm{m} = 411{,}12\, \mathrm{m}$
  Ziehe davon nun noch die Torbreite ab, um die Zaunlänge $l_{Zaun}$ zu erhalten.
  $l_{Zaun}= 411{,}12\, \mathrm{m}-2{,}12\, \mathrm{m} = 409\ \mathrm{m}$
  Lösung: Man benötigt $409\ \mathrm{m}$ Zaun, um das Gelände einzuzäunen.
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2. Was kostet das Einzäunen des Grundstücks, wenn die Stadtverwaltung für $1\ m$ Zaun $12\ €$ bezahlen muss, und das Tor $264\ €$ kostet?
  €
  
  Gegeben:
  $1\ \mathrm{m}$ Zaun kostet $12\ €$
  Das Tor kostet $264\ €$
  Außerdem weißt du aus Teilaufgabe 1:
  Man benötigt $409\ \mathrm{m}$ Zaun.
  Gesucht: Gesamtkosten
  Die Gesamtkosten sind die Kosten für den Zaun plus die Kosten für das Tor.
  Berechne zuerst die Kosten für den gesamten Zaun.
  Kosten für gesamten Zaun
  $1\ \mathrm{m}$ Zaun kosten $12\ €$ , also kosten $409\ \mathrm{m}$ Zaun $409\cdot12\ €$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r}409 \cdot 12\\\hline409\phantom{0}\\818\\\hline4908\end{array}$
  Addiere nun noch die Kosten für das Tor.
  Gesamtkosten
  Kosten für Zaun + Kosten für Tor =
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}&4908\ € \\+&264\ €\\\hline&5172\ €\end{array}$
  Lösung: Das Einzäunen kostet die Stadtverwaltung insgesamt $5172\ €$ .
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Längsseite	1	2	3	4	6	8	12	24
Breitseite	24	12	8	6	4	3	2	1

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle l\ \cdot b$
	↓	Setze nun die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 110\ \cdot75$
	$=$	$\displaystyle 8250$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle l \cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Zahlenwerte für $l$ und $A$ ein.
$\displaystyle 1470\;\mathrm{m^2}$	$=$	$\displaystyle 21\;\mathrm{m} \cdot b$
	↓	Löse die Gleichung nach $b$ auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{1470\;\mathrm{m^2}}{21\;\mathrm{m}} = 70\;\mathrm{m}$
	↓	Berechne mit diesem Ergebnis den Umfang.

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2b\ +\ 2l$
	↓	Setze nun die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 2\ \cdot75\ +\ 2\ \cdot l$
	↓	Beachte: Punkt vor Strich!
	$=$	$\displaystyle 370$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2b+2l$
	↓	Setze die Zahlenwerte ein.
$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2 \cdot 70\;\mathrm{m} +2 \cdot 21\;\mathrm{m}$	$\displaystyle$
$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 182\;\mathrm{m}$

Aufgaben zum Umfang und Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck

a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U

b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A

c) Berechnung Länge l und des Umfang U

d) Berechnung Breite b und Umfang U

Flächeninhalt

Umfang

Skizze der Landebahn

Umfang der gesamten Landebahn

Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts

Seitenlänge des Grundstücks

Umfang des Grundstücks

Lösung durch schrittweises Rechnen

Plan zur Berechnung.

Vier Rechtecksseiten zusammenrechnen

122,40 m83,16 m122,40 m+83,16 m411,12 m\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}&122{,}40\ \mathrm{m}\\ &83{,}16\ \mathrm{m}\\& 122{,}40\ \mathrm{m}\\+& 83{,}16\ \mathrm{m}\\\hline&411{,}12\ \mathrm{m}\end{array}+​122,40 m83,16 m122,40 m83,16 m411,12 m​​

Breite des Tores abziehen

411,12 m− 2,12 m409,00 m\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}& 411{,}12\ \mathrm{m}\\ &-\ 2{,}12\ \mathrm{m}\\\hline& 409{,}00\ \mathrm{m}\end{array}​411,12 m− 2,12 m409,00 m​​

Lösung mit Formel

Plan zur Berechnung

Umfang berechnen und Torbreite abziehen

U=2⋅a+2⋅bU=2\cdot a+2\cdot bU=2⋅a+2⋅b

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Kosten für gesamten Zaun

Gesamtkosten

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}&122{,}40\ \mathrm{m}\\ &83{,}16\ \mathrm{m}\\& 122{,}40\ \mathrm{m}\\+& 83{,}16\ \mathrm{m}\\\hline&411{,}12\ \mathrm{m}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}& 411{,}12\ \mathrm{m}\\ &-\ 2{,}12\ \mathrm{m}\\\hline& 409{,}00\ \mathrm{m}\end{array}$

$U=2\cdot a+2\cdot b$