Aufgaben zum Umgang mit Bruchtermen

Fasse jeweils zu einem Bruch zusammen. In welchen Fällen ändert sich durch die Umformung die maximale Definitionsmenge?

\frac{x}{x - x^{2}} - \frac{3}{1 - x}

\frac{t}{t - a} + \frac{2}{t} + 1

$\frac{a - 3}{a^{2} - 3 a} \cdot \frac{2 a}{a + 3}$

$1 - \frac{x - 3}{x + 2} : \frac{3 - x}{x + 2}$

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$\frac{2}{x}$	$=$	$\frac{x}{2} + x$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$
	↓	Zusammenfassung zu einem Bruch
$\frac{2}{x} - \frac{x}{2} + x$	$=$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\frac{4}{2 x} - \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{2 x^{2}}{2 x}$
	$=$	$\frac{x^{2} + 4}{2 x}$
	↓	Neue Definitionsmenge bestimmen
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$

$1 - \frac{2 - y}{y}$	$=$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch; den Hauptnenner bilden
	$=$	$\frac{y - (2 - y)}{y}$
	$=$	$\frac{y - 2 + y}{y}$
	$=$	$\frac{2 y - 2}{y}$

$\frac{x}{x - x^{2}} - \frac{3}{1 - x}$	$=$
	↓	Klammere $x$ aus
	$=$	$\frac{x}{x \cdot (1 - x)} - \frac{3}{1 - x}$
	↓	Lese die Definitionslücken ab.
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {1; 0}$
	↓	Bruch berechnen
$\frac{x}{x \cdot (1 - x)} - \frac{3}{1 - x}$	$=$
	↓	Kürze mit $x$
	$=$	$\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x}$
	↓	Subtrahiere die Brüche
	$=$	$- \frac{2}{1 - x}$
	↓	Lese die Definitionslücke ab
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {1}$

$\frac{t}{t - a} + \frac{2}{t} + 1$	$=$
	↓	Bilde den Hauptnenner $t \cdot (t - a)$ und erweitere alle Brüche auf diesen
	$=$	$\frac{t \cdot t}{t \cdot (t - a)} + \frac{2 \cdot (t - a)}{t \cdot (t - a)} + \frac{t \cdot (t - a)}{t \cdot (t - a)}$
	↓	Addiere
	$=$	$\frac{t^{2} + 2 \cdot (t - a) + t \cdot (t - a)}{t \cdot (t - a)}$
	↓	Multipliziere im Zähler die Klammern aus und fasse zusammen
	$=$	$\frac{2 t^{2} + 2 t - 2 a - a t}{t \cdot (t - a)}$

$\frac{a - 3}{a^{2} - 3 a} \cdot \frac{2 a}{a + 3}$	$=$
	↓	a ausklammern
	$=$	$\frac{a - 3}{a \cdot (a - 3)} \cdot \frac{2 a}{a + 3}$
	↓	Definitionslücken ablesen
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 3; 0; 3}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch
$\frac{a - 3}{a \cdot (a - 3)} \cdot \frac{2 a}{a + 3}$	$=$	$\frac{(a - 3) \cdot 2 a}{a \cdot (a - 3) \cdot (a + 3)}$
	↓	Bruch mit $a \cdot (a - 3)$ kürzen
	$=$	$\frac{2}{a + 3}$
	↓	neue Definitionsmenge bestimmt
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 3}$

$1 - \frac{x - 3}{x + 2} : \frac{3 - x}{x + 2}$	$=$
	↓	mit dem Kehrwert multiplizieren
	$=$	$1 - \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{3 - x}$
	↓	Definitionsbereich ablesen
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 2; 3}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch
$1 - \frac{x - 3}{x + 2} : \frac{3 - x}{x + 2}$	$=$
	↓	mit dem Kehrwert multiplizieren
	$=$	$1 - \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{3 - x}$
	↓	$(x + 2)$ kürzen
	$=$	$1 - \frac{x - 3}{3 - x}$
	↓	-1 im Zähler ausklammern
	$=$	$1 - \frac{- (3 - x)}{3 - x}$
	↓	$(3 - x)$ kürzen
	$=$	$1 - (- 1)$
	$=$	$2$
	↓	Neue Definitionsmenge bestimmen/ablesen
$D_{f}$	$=$	$ℝ$

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