Aufgaben zur Fakultät

1
Berechne folgende Fakultäten
1. 2!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
  Berechne die Fakultät
  $2!=2\cdot1=2$
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2. 3!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
  Berechne die Fakultät
  $3!=3\cdot2\cdot1=6$
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3. 7!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
  Berechne die Fakultät
  $7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040$
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4. 9!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
  Berechne die Fakultät
  $9!=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=362880$
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2
Berechne
1. $\frac{4!}{2!}$
  $\frac{4!}{2!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}=\;4\cdot3\;=12$
  $\frac{4!}{2!}=\frac{4\cdot4}{2\cdot2}=\frac{16}4=4$
  $\frac{4!}{2!}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}\;=\;\frac{12}2=6$
  $\frac{4!}{2!}=\frac{4\cdot1}{2\cdot1}\;=\:2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultäten
  Berechne Fakultäten
  $\dfrac{4!}{2!}=\dfrac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}$
  Hier kannst du zuerst kürzen.
  $=4\cdot3=12$
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2. $\frac{9!}{5!}$
  $\frac{9!}{5!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}1=3024$
  $\frac{9!}{5!}=\frac{9\cdot5}{5\cdot4}=\frac94$
  $\frac{9!}{5!}=\frac{9\cdot8}{5\cdot4}=\frac{9\cdot2}{5\cdot1}=\frac{18}5$
  $\frac{9!}{5!}=\frac{9\cdot9}{5\cdot5}=\frac{81}{25}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultäten
  Berechne Fakultäten
  $\dfrac{9!}{5!}=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$
  Hier ist es einfacher erst zu kürzen.
  $=9\cdot8\cdot7\cdot6=3024$
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3. $\frac{5! \cdot 7!}{8!}$
  $\frac{5!\cdot7!}{8!}=\frac{(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)\cdot(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}8=\frac{5\cdot3\cdot1}1=15$
  $\frac{5!\cdot7!}{8!}=\frac{5\cdot5\cdot7\cdot7}{8\cdot8}=\frac{1225}{64}$
  $\frac{5!\cdot7!}{8!}=\frac{5\cdot4\cdot7\cdot6}8=\frac{5\cdot4\cdot7\cdot6}8=\frac{5\cdot1\cdot7\cdot6}2=105$
  $\frac{5!\cdot7!}{8!}=\frac{5\cdot8\cdot7\cdot8}{8\cdot8}=\frac{5\cdot7}1=35$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultäten
  Berechne Fakultäten
  $\dfrac{5!\cdot7!}{8!}=\dfrac{(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$
  Hier ist es einfacher erst zu kürzen.
  $\dfrac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}8=\dfrac{120}8=15$
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4. $\frac{2!\cdot3!}{9!}$
  $\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{2\cdot1}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}=\frac1{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot2}=\frac1{30240}$
  $\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{2\cdot3}{9\cdot1}=\frac69=\frac23$
  $\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3}{9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9}=\frac{2\cdot2\cdot1}{9\cdot9\cdot9\cdot3}=\frac4{2187}$
  $\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{2\cdot3}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac1{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}=\frac1{60480}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultäten
  Berechne Fakultäten
  $\dfrac{2!\cdot3!}{9!}=\dfrac{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$
  Hier ist es einfacher erst zu kürzen.
  $\dfrac{(2\cdot1)}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}=\dfrac2{60\,480}=\dfrac1{30\,240}$
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3
Berechne n! für alle $n\leq10$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
Benutze hier die Definition der Fakultät um nicht in jedem Schritt von vorne anfangen zu müssen.
$1!=1$
$2!=2\cdot1=2$
$3!=3\cdot2\cdot1=3\cdot2!=3\cdot2=6$
$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=4\cdot3!=4\cdot6=24$
$5!=5\cdot4!=5\cdot24=120$
$6!=6\cdot5!=6\cdot120=720$
$7!=7\cdot6!=7\cdot720=5040$
$8!=8\cdot7!=8\cdot5040=40320$
$9!=9\cdot8!=9\cdot40320=362880$
$10!=10\cdot9!=10\cdot362880=3628800$
4
Was ist $\frac{1001!}{999!}$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
Berechne
Wir benutzten die Definition der Fakultät.
$\frac{1001!}{999!}$
$=\frac{1001\;\cdot\;1000\;\cdot\;999!}{999!}\;$
Der Faktor 999! ist zwar sehr groß, entfällt aber beim Kürzen:
$=1001\;\cdot\;1000\;$
$=1001000$
5
Die Zahl 1000! hat am Ende viele Nullen. Wie viele sind es?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
1000! enthält sicher öfter den Faktor 2 als den Faktor 5. Jedes Paar aus den Faktoren 2 und 5 ergibt eine Schlussnull. Die Zahl der Schlussnullen ist also gleich der Anzahl aller Primfaktoren 5.
Die Zahlen von 1 bis 1000 enthalten $1000:5=200$ Vielfache von 5.
$200:5=40$ dieser Zahlen sind Vielfache von 25 und enthalten damit einen weiteren Faktor 5.
$40:5=8$ der Vielfachen von 25 sind sogar Vielfache von 125 und enthalten deshalb noch einen weiteren Faktor 5.
Außerdem liefert die Zahl $625=5^4$ noch einen weiteren Faktor 5.
Insgesamt hat man also $200+40+8+1=249$ mal den Faktor 5, also genau so viele Schlussnullen.
Nur zur Information: 1000! hat 2568 Stellen.
6
Wie oft enthält 30! den Primfaktor 3?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
30! enhält 10 Faktoren, die ein Vielfaches von 3 sind, 3 Faktoren, die ein Vielfaches von $3^2=9$ sind und einen Faktor, der ein Vielfaches von $3^3=27$ ist.
Insgesamt enthält 30! also $10+3+1=14$ mal den Faktor 3.
7
Wie oft kann man 50! ohne Rest durch zwei teilen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
$50!$ enthält 25 gerade Faktoren, die also durch 2 teilbar sind, da jeder zweite Faktor eine gerade Zahl ist. Außerdem gibt es 12 Faktoren, die durch 4 teilbar sind; 6 Faktoren, die durch 8 teilbar sind; 3 Faktoren, die durch 16 teilbar sind und 1 Faktor, der durch 32 teilbar ist.
Insgesamt enthält $50!$ also $25+12+6+3+1=47$ mal den Faktor 2.
8
Es gilt $20!=2\,432\,902\,008\,176\,640\,000$ .
Berechne 21!. Wie heißt das Ergebnis in Worten?
$21!=21\cdot20!$
$21!\;=\:21\cdot2\;432\;902\;008\;176\;640\;000$
$21!=21\cdot20$
$21!\;=\:20\;\cdot\;2\;432\;902\;008\;176\;640\;000$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
$21!=21\cdot20!=21\;\cdot\;2\,432\,902\,008\,176\,640\,000$ $=51\,090\,942\,171\,709\,440\,000$
In Worten:einundfünfzig Trillionen neunzig Billiarden neunhundertzweiundvierzig Billionen hunderteinundsiebzig Milliarden siebenhundertneun Millionen vierhundertvierzig Tausend
9
Die elf Mädchen der 5a lassen sich fotografieren.
1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Mädchen, sich nebeneinander aufzustellen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
  Allgemein gilt, dass es, um $n$ Objekte in einer Reihe anzuordnen $n!$ Möglichkeiten gibt.
  $11!=39\,916\,800$
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2. Wie viele verschieden Aufstellungen gibt es, wenn zusätzlich noch zwei Lehrerinnen mit auf das Bild sollen? Wie viele Tage dauert es, alle Aufstellungen auszuprobieren, wenn man für jede Anordnung eine Minute benötigt? Wie viele Jahre sind das ungefähr?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät
  $13!=6\,227\,020\,800$
  $6\,227\,020\,800\;\text{Minuten}=4\,324\,320\;\text{Tage}\approx11\,847\;\text{Jahre}$
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