Aufgaben zu linearen Funktionen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
1. $f (x) = - \frac{2}{3} x + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|2)).
  Gehe entsprechend der Steigung 3 nach rechts und 2 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(3|0)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
2. $f (x) = 2 x - 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|-4)).
  Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 2 nach oben und zeichne den Punkt ein (hier B(1|-2)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
3. $f (x) = - \frac{5}{4} x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|1)).
  Gehe entsprechend der Steigung 4 nach rechts und 5 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(4|-4)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
4. $f (x) = - 4 x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|5)).
  Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 4 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(1|1)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
5. $f (x) = - 0,3 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Der Vergleich mit der allgemeinen Form der Geradengleichung $y = m x + t$ , ergibt: Achsenabschnitt $t = 0$ und Steigung $m = - \frac{3}{10}$
  Aus dem Wert des y-Achsenabschnitt $t = 0$ folgt, dass es sich um eine Ursprungsgerade handelt. Der eine Geradenpunkt ist deshalb der Ursprung: $A (0 | 0)$ .
  Schreibe die Steigung als Bruch: $- 0,3 = - \frac{3}{10} = \frac{Δ y}{Δ x}$ . Gehe entsprechend der Steigung 10 nach rechts und 3 nach unten. Dort ist der zweiten Geradenpunkt $B (10 | - 3)$ .
  Die Gerade verläuft durch die beiden Punkte $A$ und $B$ .
6. $f (x) = 2,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
  Der y-Wert der Gerade ist immer 2,5. Darum ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse.
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Bestimme die Gleichung folgender Gerade:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die allgemeine Geradengleichung ist:
$y = m \cdot x + t$
Lese den y-Achsenabschnitt $t$ , also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.
$t = - 1$
Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.
$P (2 | 2)$ und $Q (4 | 5)$ liegen auf der Gerade.
Um die Steigung $m$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. $m = \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ ein!
$m = \frac{5 - 2}{4 - 2} = \frac{3}{2} = 1,5$
2.
Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.
$m = \frac{senkrecht}{waagerecht} = \frac{3}{2} = 1,5$
Die Geradengleichung ist also gegeben durch:
$g (x) = \frac{3}{2} \cdot x - 1 = 1,5 x - 1$
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Folgende Tabelle gibt für einige Temperaturen den Wert in Grad Celsius (°C) und Grad Fahrenheit (°F) an.
Temperatur in Celsius
Temperatur in Fahrenheit
-10°
14°
0°
32°
20°
68°
60°
140°
Es handelt sich um einen linearen Zusammenhang. Zeichne mit der Tabelle einen Graphen (x-Achse=Grad Celsius, y-Achse=Grad Fahrenheit) und gib eine Formel an, mit der man Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion und Geradengleichung
Um die lineare Funktion $t (x) : y = m_{t} x + b_{t}$ zum Umrechnen der Temperatur zu bestimmen, wählst du zwei beliebige Punkte, die auf dieser liegen und bestimmst mit diesen zunächst die Steigung. Setze zum Beispiel $A (0 | 32)$ und $B (20 | 68)$ in die Formel für die Steigung ein.
$m_{t}$ $=$ $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$
↓
Setz die Werte ein.
$m_{t}$ $=$ $\frac{68 - 32}{20 - 0} = 1,8$
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt $b_{t}$ , indem du einen Punkt aus der Tabelle in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt, oder abliest, bei welchem Wert t die y-Achse schneidet.
$t (x) : y = m_{t} x + b_{t}$
Setz zum Beispiel $A$ ein.
$32 = 1,8 \cdot 0 + b_{t}$
Vereinfache.
$32 = b_{t} \Rightarrow b_{t} = 32$
Die Formel zur Berechnung von Celsius in Fahrenheit lautet also $t (x) = 1,8 x + 32$ .
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Zeichne die Graphen der Funktionen mit folgender Funktionsgleichung:
1. $y = 3 x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y = 3 x - 2$
  $- 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | - 2)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme die Steigung $m$ der Funktion
  $y = 3 x - 2$
  $3$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = 3$
  Gerade zeichnen
  Gehe von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und 3 nach oben, da m gleich 3 ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.
  Verbinde anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden.
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2. $y = 2 - x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Gleichung umstellen
  $y = 2 - x$
  Die Gleichung wird umgestellt, damit sie das Format der allgemeinen Geradengleichung hat.
  $y = - x + 2$
  Einen Punkt ermitteln
  $y = - x + 2$
  $+ 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | 2)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = - x + 2$
  $- 1$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = - 1$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $1$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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3. $y = - \frac{3}{4} x - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Ein Punkt ermitteln
  $y = - \frac{3}{4} x - 1$
  $- 1$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | - 1)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = - \frac{3}{4} x - 1$
  $- \frac{3}{4}$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = - \frac{3}{4}$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$ , $\frac{3}{4}$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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4. $y = - \frac{1}{2} x + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y = - \frac{1}{2} x + 2$
  $+ 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | 2)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = - \frac{1}{2} x + 2$
  $- \frac{1}{2}$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = - \frac{1}{2}$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$ , $\frac{1}{2}$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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5. $y = \frac{3}{4} x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y = \frac{3}{4} x + 1$
  $1$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\Rightarrow P (0 | 1)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = \frac{3}{4} x + 1$
  $\frac{3}{4}$ entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = \frac{3}{4}$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $\frac{3}{4}$ nach oben gehen, da m positiv ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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