Aufgaben zu linearen Funktionen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
1. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|2)).
  Gehe entsprechend der Steigung 3 nach rechts und 2 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(3|0)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
2. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x-4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|-4)).
  Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 2 nach oben und zeichne den Punkt ein (hier B(1|-2)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
3. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac54\mathrm x+1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|1)).
  Gehe entsprechend der Steigung 4 nach rechts und 5 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(4|-4)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
4. $\mathrm f(\mathrm x)=-4\mathrm x+5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|5)).
  Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 4 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(1|1)).
  Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
5. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-0{,}3\mathrm x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
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  Der Vergleich mit der allgemeinen Form der Geradengleichung $y = m x + t$ , ergibt: Achsenabschnitt $t = 0$ und Steigung $m=-\frac{3}{10}$
  Aus dem Wert des y-Achsenabschnitt $t = 0$ folgt, dass es sich um eine Ursprungsgerade handelt. Der eine Geradenpunkt ist deshalb der Ursprung: $\text{A}(0|0)$ .
  Schreibe die Steigung als Bruch: $-0{,}3=-\frac{3}{10}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Gehe entsprechend der Steigung 10 nach rechts und 3 nach unten. Dort ist der zweiten Geradenpunkt $\text{B}(10|-3)$ .
  Die Gerade verläuft durch die beiden Punkte $\text{A}$ und $\text{B}$ .
6. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen
  Der y-Wert der Gerade ist immer 2,5. Darum ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse.
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Bestimme die Gleichung folgender Gerade:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die allgemeine Geradengleichung ist:
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Lese den y-Achsenabschnitt $t$ , also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.
$t = - 1$
Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.
$P\left(2 \;|\;2\right)$ und $Q(4\;| \;5)$ liegen auf der Gerade.
Um die Steigung $m$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. $\;m=\displaystyle\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ ein!
$m=\displaystyle\frac{5-2}{4-2}=\frac32=1{,}5$
2.
Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.
$m=\displaystyle\frac{\text{senkrecht}}{\text{waagerecht}}=\frac32=1{,}5$
Die Geradengleichung ist also gegeben durch:
$\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac32\cdot\mathrm x-1=1{,}5x-1$

Folgende Tabelle gibt für einige Temperaturen den Wert in Grad Celsius (°C) und Grad Fahrenheit (°F) an.

Temperatur in Celsius	Temperatur in Fahrenheit
-10°	14°
0°	32°
20°	68°
60°	140°

Es handelt sich um einen linearen Zusammenhang. Zeichne mit der Tabelle einen Graphen (x-Achse=Grad Celsius, y-Achse=Grad Fahrenheit) und gib eine Formel an, mit der man Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnet.

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Zeichne die Graphen der Funktionen mit folgender Funktionsgleichung:
1. $y = 3 x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y = 3 x - 2$
  $- 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert-2\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme die Steigung $m$ der Funktion
  $y = 3 x - 2$
  $3$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = 3$
  Gerade zeichnen
  Gehe von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und 3 nach oben, da m gleich 3 ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.
  Verbinde anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden.
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2. $y = 2 - x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Gleichung umstellen
  $y = 2 - x$
  Die Gleichung wird umgestellt, damit sie das Format der allgemeinen Geradengleichung hat.
  $y = - x + 2$
  Einen Punkt ermitteln
  $y = - x + 2$
  $+ 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert2\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y = - x + 2$
  $- 1$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m = - 1$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $1$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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3. $y=-\frac34x-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Ein Punkt ermitteln
  $y=-\frac34x-1$
  $- 1$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert-1\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y=-\frac34x-1$
  $-\frac34$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m=-\frac34$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$ , $\frac34$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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4. $y=-\frac12x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $y=-\frac12x+2$
  $+ 2$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert2\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $y=-\frac12x+2$
  $-\frac12$ entspricht $m$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m=-\frac12$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend $m$ , $\frac12$ nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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5. $\mathrm y=\frac34\mathrm x+1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Einen Punkt ermitteln
  $\mathrm y=\frac34\mathrm x+1$
  $1$ entspricht $t$ der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .
  $\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert1\right)$
  Steigung ermitteln
  Bestimme nun die Steigung.
  $\mathrm y=\frac34\mathrm x+1$
  $\frac34$ entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
  $m=\frac34$
  Gerade zeichnen
  Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, $\frac34$ nach oben gehen, da m positiv ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
  Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle m_t$	$=$	$\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_t$	$=$	$\displaystyle \frac{68-32}{20-0}=1{,}8$

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Steigung ermitteln

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Steigung ermitteln

Gerade zeichnen

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