Aufgaben zu beliebigen n-ten Wurzeln

…

Bestimme die Lösung der Gleichung.

$\sqrt[5]x=3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[5]{x}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \uparrow5$
	↓	Beide Seiten mit $5$ potenzieren.
$\displaystyle (\sqrt[5]{x})^5$	$=$	$\displaystyle 3^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 243$

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\sqrt[5]x=-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$x^\frac32=27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle 27$
	↓	Schreibe $x^{\frac32\;}$ in Wurzelschreibweise um.
$\displaystyle \sqrt x^3$	$=$	$\displaystyle 27$	$\displaystyle \sqrt[3]{ }$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[3]{(\sqrt x)^3}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{27}$
$\displaystyle \sqrt x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \uparrow 2$
	↓	Quadriere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9$

$x^{-\frac23}=\frac18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^{-\frac23}$	$=$	$\displaystyle \frac 18$
	↓	$x^{-\frac23}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\displaystyle \sqrt[3]{x^{-2}}$	$=$	$\displaystyle \frac 18$	$\displaystyle \uparrow 3$
	↓	Beide Seiten mit $3$ potenzieren.
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle (\frac 18)^3$
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8^3}$
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{512}$
	↓	$x^{-2}$ in Bruchschreibweise umschreiben. $\Rightarrow$ Für $x$ mit negativen Exponenten gilt immer : $x^{-n}=\frac1{x^n}$
$\displaystyle \frac{1}{x^2}$	$=$	$\displaystyle \frac1{512}$	$\displaystyle \cdot x^2 :512$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 512$	$\displaystyle \sqrt {}$
	↓	Auf beiden Seiten Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt {512}$
	↓	$512=16\cdot16\cdot 2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{16^2\cdot 2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm 16 \sqrt{2}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ $x_1=+16\sqrt2$ und $x_2=-16\sqrt2$

$x^{-\frac12}<\frac12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^{-\frac12}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$
	↓	$x^{-\frac12}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\displaystyle \sqrt {x^{-1}}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$
	↓	$x^{-1}\;$ in Bruchschreibweise umschreiben. Es gilt: $x^{-m}=\frac1{x^m}$
$\displaystyle \sqrt{\frac 1x}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$	$\displaystyle \uparrow2$
	↓	Auf beiden Seiten quadrieren.
$\displaystyle (\sqrt {\frac1x})^2$	$<$	$\displaystyle (\frac12)^2$
$\displaystyle \frac 1x$	$<$	$\displaystyle \frac 14$	$\displaystyle \cdot 4\cdot x$
$\displaystyle 4$	$<$	$\displaystyle x$

$\Rightarrow x>4$

$\sqrt[3]{2x-1}=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[3]{2x-1}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \uparrow 3$
	↓	Beide Seiten mit 3 potenzieren.
$\displaystyle \left(\sqrt[3]{2x-1}\right)^3$	$=$	$\displaystyle 2^3$
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach x auflösen.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

$\left(2x+1\right)^{-3}=8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \left(2x+1\right)^{-3}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Schreibe den negativen Exponenten in einen Bruch um.
$\displaystyle \frac1{\left(2x+1\right)^3}$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot (2x+1)^3$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 8\cdot (2x+1)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8\cdot(2x+1)^3}$
	↓	Schreibe das Produkt im Radikanten in 2 Wurzeln um.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{(2x+1)^3}$
	↓	Ziehe die dritte Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(2x+1)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -0{,}25$

$\left(2x+3\right)^{-4}=0{,}0625$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle (2x+3)^{-4}$	$=$	$\displaystyle 0{,}0625$
	↓	Dezimalzahl in Bruch umschreiben.
$\displaystyle (2x+3)^{-4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{16}$
	↓	Schreibe $(2x+3)^{-}4$ als Bruch um.
$\displaystyle \frac1{\left(2x+3\right)^4}$	$=$	$\displaystyle \frac1{16}$	$\displaystyle \cdot 16\cdot (2x+3)^4$
	↓	$\frac1{16}$ in Potenzschreibweise schreiben.
$\displaystyle (2x+3)^4$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt[4]{}$
	↓	Auf beiden Seiten die vierte Wurzel ziehen. Vierte Wurzel und hoch 4 heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{16}$
$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle \pm 2$

Also entweder ist $2x+3=2$ oder $2x+3=-2$ . Wenn du auf beiden Seiten nun $3$ abziehst und durch $2$ teilst, erhältst du die Lösungen:

$\Rightarrow x_1 = -\frac 12=-0{,}5\;; x_2=-\frac 52=-2{,}5$