Anwendungsaufgaben mit gebrochen rationalen Funktionen

Bilde den Limes x gegen $+\mathrm{\infty }+\backslash infty$:

Der Streckenverlauf wird durch eine gebrochenrationale Funktion erfasst, so dass deren Steigungsverhalten zu untersuchen ist.

Die Funktion $hh$ ist wegen $h(x)=h(-x)h(x)\; =\; h(-x)$ achsensymmetrisch zu $x=0x\; =\; 0$ und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung von $hh$ in den Wendepunkten höchstens 6 % beträgt.

$h(x)={\displaystyle \frac{3}{x^2+6}}h(x)=\backslash dfrac\{3\}\{x^2+6\}$

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel $h^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)$

Bilde jetzt die 2. Ableitung $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}\text{'}(x)$

Löse jetzt die Gleichung $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0h\text{'}\text{'}(x)\; =\; 0$ um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion $hh$ zu bestimmen

$\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x_1=-\sqrt{2}\text{und}{x}_2=+\sqrt{2}\backslash Rightarrow\; x^2-2=0\backslash Rightarrow\; x\_1=-\backslash sqrt2\backslash ;\backslash text\{und\}\backslash ;x\_2=+\backslash sqrt2$

$x_{1}x\_1$ und $x_{2}x\_2$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}\text{'}(x)$ bei $x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{2}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm\backslash sqrt2$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

Ergebnis:

Damit kann die Autobahnteilstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Für diese Teilaufgabe muss die Steigung einer quadratischen Funktion untersucht werden.

$\begin{array}{c}h:y={\displaystyle \frac{3}{x^2+6}}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash begin\{array\}\{c\}h:y=\backslash dfrac3\{x^2+6\}\backslash end\{array\}\; \backslash \backslash$

$\begin{array}{c}p:y=-{\displaystyle \frac{3}{484}}(x^2-38)\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash begin\{array\}\{c\}p:y=-\backslash dfrac3\{484\}(x^2-38)\backslash end\{array\}$

Bestimme die Funktionswerte von $hh$ und $pp$ an den Stellen $-4-4$ und $44$, an denen die beiden Funktionen aneinandergefügt sind.

$\begin{array}{c}h(\pm 4)=p(\pm 4)={\displaystyle \frac{3}{22}}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash begin\{array\}\{c\}h(\backslash pm4)=p(\backslash pm4)=\backslash dfrac3\{22\}\backslash end\{array\}$

Die Funktionswerte stimmen also überein. Die Straße hat keinen "Sprung"

Berechne die ersten beiden Ableitungen von $pp$.

$\begin{array}{c}{p}^{\mathrm{\prime }}:y=-{\displaystyle \frac{6x}{484}}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash begin\{array\}\{c\}p\text{'}:\backslash ;y=-\backslash dfrac\{6x\}\{484\}\backslash end\{array\}\; \backslash \backslash$

$\begin{array}{c}{p}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}:y=-{\displaystyle \frac{6}{484}}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash begin\{array\}\{c\}p\text{'}\text{'}:\backslash ;y=-\backslash dfrac\{6\}\{484\}\backslash end\{array\}$

Bestimme nun die Werte von $p^{\mathrm{\prime }}p\text{'}$ am Rand der Definitionsmenge von $pp$

Da $p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}p\text{'}\text{'}$ eine konstante Funktion und ist, liegen die Werte der Steigung von $pp$ im Intervall $[-4;4][-4;4]$ im Bereich $\begin{array}{c}[-{\displaystyle \frac{6}{121}};{\displaystyle \frac{6}{121}}]\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash begin\{array\}\{c\}[-\backslash dfrac6\{121\};\backslash dfrac6\{121\}]\backslash end\{array\}$. Der Betrag der Steigung ist also immer $\le 5\mathrm{\%}\backslash le\; 5\backslash \%$.

Ergebnis:

Diese Autobahnteilstrecke kann im Hinblick auf den Höhenverlauf gebaut werden.

Tipp: Mit einem Programm wie Geogebra kannst du den graphischen Verlauf der Autobahnstrecke "nachbauen" und mit dem Steigungsverhalten experimentieren und deine Rechenergebnisse bestätigen.

Verschiebe im Geogebra-Applet die Punkte A, B, C, D und bestätige mit den jeweils abzulesenden Steigungswerten deine Rechenergebnisse aus den Teilaufgaben a und b.

Die Funktion h ist wegen $h(x)=h(-x)h(x)=h(-x)$ achsensymmetrisch zu x = 0 und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung in den Wendepunkten höchstens 6% beträgt.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $x^2-3=0x^2\; -\; 3\; =\; 0$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $x_1=-\sqrt{3}x\_1\; =\; -\backslash sqrt\{3\}$ und $x_2=+\sqrt{3}x\_2\; =+\backslash sqrt\{3\}$

$x_{1}x\_1$ und $x_{2}x\_2$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}\text{'}(x)$ bei $x_{1;2}=\pm \sqrt{3}x\_\{1;2\}=\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{3\}$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

Bei einer maximalen Steigung von 9,6 % kann die Autobahnstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Die Funktionswerte stimmen überein. Die Autobahn hätte an diesen Stellen also keinen "Sprung".

Die nach unten geöffnete Parabel hat ihren größten Steigungsbetrag jeweils am Rande ihres Definitionsbereiches, also an den Stellen $x=\pm 2x\backslash ;=\backslash ;\backslash pm2$.

Berechne den Steigungsbetrag der Parabel p und der Funktion h an den "Nahtstellen" $x=\pm 2x=\backslash pm2$.

Die Streckenabschnitte würden also an den Nahtstellen ohne Sprung und sogar ohne Knick in einander übergehen. Aber mit dem maximalen Steigungsbetrag von rund 9,5%.Der geplante Geländeabbau ist somit nicht ausreichend. Die Autobahnstrecke könnte mit diesem Höhenprofil nicht erneuert werden.

In dem gegebenen Geogebra-Applet kannst du die Planungssituation graphisch nachvollziehen und durch Verschieben der Punkte A, B, C und D die Steigungswerte überprüfen.