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Anwendungsaufgaben mit gebrochen rationalen Funktionen

  1. 1

    Anwendungsbeispiele:

    1. Zur Bestimmung der Schwerkraft y (in N) auf einen Körper der Masse 1kg in der Entfernung x von der ErdoberflĂ€che (in km) gilt die Formel y=4⋅108(6370+x)2y=\frac{4\cdot10^8}{\left(6370+x\right)^2} . Was erhĂ€lt man fĂŒr x=0? Was fĂŒr sehr große x-Werte?

    2. Ist KAltK_{Alt} das Anfangskapital eines Aktienbesitzers und KneuK_{neu} das Endguthaben bei der Rendite ("Zinssatz") x (als Dezimalzahl, also x = 0,03 bei 3%), so berechnet man das Endguthaben mit KneuK_{neu} = KAlt⋅(1+x)K_{Alt}\cdot\left(1+x\right) . Umgekehrt war also das Anfangsguthaben KAlt=Kneu1+xK_{Alt}=\frac{K_{neu}}{1+x} bzw. als Funktionsterm geschrieben z. B. bei KneuK_{neu} = 15000: f(x)=150001+xf(x)=\frac{15000}{1+x}

      Wie mĂŒssten in diesem Beispiel negative x-Werte (z.B. x=-0,8) interpretiert werden? Wie die DefinitionslĂŒcke? Wie die waagrechte Asymptote?

  2. 2

    Auf einem Streckenabschnitt soll eine Autobahnteilstrecke neu gebaut werden.

    Durch Steigungen und GefĂ€lle können Probleme fĂŒr die Verkehrsteilnehmer entstehen.Deshalb werden beim Neubau von Autobahnen Steigungen ĂŒber 6%6\% vermieden.

    Das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke wird durch die Funktion h(x)=3x2+6h(x)=\dfrac3{x^2+6} beschrieben (siehe Figur 1).

    Graph der Steigung der Autobahn
    1. BegrĂŒnde rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

    2. Im Intervall [-4;+4] soll die Autobahn daraufhin parabelförmig mit dem Höhenverlauf

      untertunnelt werden (siehe Figur 2 und die VergrĂ¶ĂŸerung in Figur 3).

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      Kann die geplante Autobahnteilstrecke jetzt gebaut werden?

    3. BestÀtige deine Rechenergebnisse z.B. mithilfe von Geogebra graphisch.

  3. 3

    Beim Neubau von Autobahnen werden Steigungen ĂŒber 6% vermieden. Deshalb sind oft Untertunnelungen oder GelĂ€ndeabtragungen nötig.

    Bei dieser Aufgabe wird das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke durch die Funktion

    beschrieben (siehe Fig. 1).

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    1. BegrĂŒnde rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

    2. Im Intervall [-2;+2] soll das GelÀnde daraufhin parabelförmig mit dem Höhenprofil

      abgetragen werden (siehe die Fig.2 und die VergrĂ¶ĂŸerung in Fig.3)

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      Kann die Autobahn jetzt gebaut werden?

      BestĂ€tige das Rechenergebnis graphisch, indem du z.B. in einem Geogebra-Applet die kritischen Steigungswerte ĂŒberprĂŒfst!


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