Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung
- 1
In den folgenden Bildern ist je eine Ebene E dargestellt. Stelle die dargestellte Ebene in Parameterform auf.
Aus der Zeichnung kannst du zwei Punkt ablesen, die in der Ebene liegen:
A(1;0;0)
B(0;3;0)
Der Vektor AB ist einer der Richtungsvektoren der Ebene E .
AB=B−A=030−100=−130
Der zweite Richtungsvektor ist parallel zur x3−Achse. Wir können also als zweiten Richtungsvektor 001nehmen.
Wähle den Punkt A oder B als Aufpunkt und stelle die Gleichung der Ebene E in Parameter auf.
E:x=100+λ⋅−130+μ⋅001
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Ebene in Parameterform aufstellen
Lese die gegebenen Punkte ab:
A(2;0;0) , B(0;0;3)
Der Vektor AB ist einer der Richtungsvektoren der Ebene E .
AB=B−A=003−200=−203
Der zweite Richtungsvektor v ist parallel zur x2−Achse .
⇒v=010
Wähle den Punkt A oder B als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene E auf.
E:x=200+λ⋅−203+μ⋅010
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Ebene in Parameterform aufstellen
Lese die gegebenen Punkte ab:
A(1;0;0) , B(0;3;0) , C(0;0;2)
Der Vektor AB und AC sind die Richtungsvektoren der Ebene E .
AB=B−A=030−100=−130
AC=C−A=002−100=−102
Wähle einen der Punkte A , B oder C als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene E auf.
E:x=100+λ⋅−130+μ⋅−102
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Ebene in Parameterform aufstellen
Lese die gegebenen Punkte ab:
A(0;0;3)
Einer der Richtungsvektoren der Ebene E ist parallel zur x1−Achse .
⇒v=100
Der andere Richtungsvektor ist parallel zur x2−Achse .
⇒u=020
Wähle den Punkt A als Aufpunkt und Stelle die Gleichung Ebene E auf.
E:x=003+λ⋅100+μ⋅010
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- 2
Gegeben sind die parallelen Geraden
und
Bestimme die Gleichung der Ebene E in Parameterform, in der die beiden Geraden g und h liegen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus zwei Geraden bestimmen
Wähle den Vektor zwischen den Aufpunkten Ag und Ah der
beiden Geraden als ersten Richtungsvektor der Ebene.
Berechne AgAh .
AgAh=Ah−Ag=13−1−2−11=−14−2
Wähle einen der Aufpunkte der beiden Geraden, z.b. Ag ,
als Aufpunkt der Ebene.
Wähle einen der Richtungsvektoren der beiden Geraden
z.B. vg , als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
Stelle nun die Ebenengleichung auf.
E:x=2−11+λ⋅−14−2+μ⋅1−21
- 3
Gegeben ist die Gerade g:x=21−3+λ⋅−131 und der Punkt P(1;−3;−3) , der nicht auf der Geraden liegt.
Bestimme die Gleichung der Ebene E in Parameterform, in der der Punkt P und die Gerade g liegen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus einem Punkt und einer Geraden aufstellen
Wähle den Richtungsvektor der Geraden u=−131 als ersten Richtungsvektor und den Vektor zwischen dem Punkt P und dem Aufpunkt A der Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene E .
Berechne PA .
PA=A−P=21−3−1−3−3=140
Wähle P als Aufpunkt der Ebene E .
⇒E:x=1−3−3+λ⋅−131+μ⋅140
- 4
Gegeben sind die zueinander windschiefen Geraden g:x=1−32+λ⋅12−3 und h:x=1443+μ⋅2−30 . Bestimme die Gleichung der Ebene E in Parameterform, in der die Gerade g liegt und zu der die Gerade h parallel ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Ebene in Parameterform aufstellen
Wähle den Aufpunkt der Geraden g als Aufpunkt und die beiden Richtungsvektoren u=12−3 und v=2−30 der Geraden als Richtungsvektor der Ebene E .
Die Gleichung der Ebene lautet dann : E:x=1−32+λ⋅12−3+μ⋅2−30
- 5
Stelle aus den folgenden drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf.
A(1;0;3) , B(0;2;1) , C(2;2;4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren AB und AC :
AB=B−A=021−103=−12−2
AC=C−A=224−103=121
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅AB+μ⋅AC ein.
E:x=103+λ⋅−12−2+μ⋅121
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A(0;1;2) , B(3,3;3) , C(−1;1;4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren AB und AC :
AB=B−A=333−012=321
AC=C−A=−114−012=−102
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅AB+μ⋅AC ein.
E:x=012+λ⋅321+μ⋅−102
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A(0;0;0) , B(1;0;3) , C(−1;2;0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren AB und AC :
AB=B−A=103−000=103
AC=C−A=−120−000=−120
Wähle OA=O als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=O+λ⋅AB+μ⋅AC ein.
E:x=000+λ⋅103+μ⋅−120
Den Ortsvektor O=000 kann man auch weglassen.
E:x=λ⋅103+μ⋅−120
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A(1;1;−1) , B(1;2;1) , C(0;3;1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren AB und AC :
AB=B−A=121−11−1=012
AC=C−A=031−11−1=−122
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅AB+μ⋅AC ein.
E:x=11−1+λ⋅012+μ⋅−122
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A(3;1;2) , B(2;3;1) , C(4;3;3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren AB und AC :
AB=B−A=231−312=−12−1
AC=C−A=433−312=121
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅AB+μ⋅AC ein.
E:x=312+λ⋅−12−1+μ⋅121
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A(2;2;2) , B(5;2;1) , C(3;2;4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren AB und AC :
AB=B−A=521−222=30−1
AC=C−A=324−222=102
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅AB+μ⋅AC ein.
E:x=222+λ⋅30−1+μ⋅102
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A(40;80;0) , B(20;60;10) , C(55;90;20)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren AB und AC :
AB=B−A=206010−40800=−20−2010
Da sich die Richtung eines Vektors durch Multiplikation mit einer reellen Zahl nicht ändert, kann man 10 ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.
⇒AB=−2−21
AC=C−A=559020−40800=151020
Auch hier kann man 5 ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.
⇒AC=324
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅AB+μ⋅AC ein.
E:x=40800+λ⋅−2−21+μ⋅324
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- 6
Stelle aus zwei Punkten und einem Richtungsvektor eine Ebenengleichung in Parameterform auf.
A(1;3;−2) , B(3;7;5) , v=−210−7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Wähle v als ersten Richtungsvektor und AB als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
Berechne AB .
AB=B−A=375−13−2=247
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅v+μ⋅AB ein.
E:x=13−2+λ⋅−210−7+μ⋅247
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A(2;1;−3) , B(1;−3;−3) , v=−131
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Wähle v als ersten Richtungsvektor und AB als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
Berechne AB .
AB=B−A=1−3−3−21−3=−1−40
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅v+μ⋅AB ein.
E:x=21−3+λ⋅−131+μ⋅−1−40
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A(8;13;9) , B(4;−3;−1) , v=−611
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Wähle v als ersten Richtungsvektor und AB als
zweiten Richtungsvektor der Ebene.
Berechne AB .
AB=B−A=4−3−1−8139=−4−16−10
Um einen einfacheren Vektor zu erhalten, kann man gegebenenfalls noch −2 ausklammern.
⇒AB=285
Wähle OA als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:x=OA+λ⋅v+μ⋅AB ein.
E:x=8139+λ⋅−611+μ⋅285
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- 7
Stelle aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebenengleichung in Parameterform auf.
A(1;3;−2) , u=−210−7 , v=1−26
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Wähle OA als Aufpunkt und u und v als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung E:x=OA