Aufgaben zur Binomialverteilung

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird immer eine Karte gezogen und dann wieder zurückgesteckt.

Wie oft muss dies wiederholt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens zwei Pikkarten zu ziehen?

2
In einer Urne befinden sich 13 weiße und 16 rote Kugeln, von denen 10 zufällig herausgegriffen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ihnen genau 6 weiße sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Bezeichne mit $\mathrm X$ die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln
$\mathrm P\left(\mathrm A\right)=\frac{\left|\mathrm A\right|}{\left|\mathrm\Omega\right|}$
Berechne $\left|\mathrm A\right|$ .
Es gibt $\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix}$ Möglichkeiten, 6 weiße Kugeln auszuwählen. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es $\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}$ Möglichkeiten, 4 rote Kugeln auszuwählen.
$\Rightarrow\left|\mathrm A\right|=$ $\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}$
Berechne nun $\left|\mathrm\Omega\right|$ .
Es gibt insgesamt $\begin{pmatrix}29\\10\end{pmatrix}$ Möglichkeiten, um 10 Kugeln auszuwählen.
Berechne $\mathrm P\left(\mathrm X=6\right)$ .
$\mathrm P\left(\mathrm X=6\right)=\frac{\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}29\\10\end{pmatrix}}=$
$=\frac{3123120}{20030010}=\frac{104}{667}\approx15{,}6\%$
3
In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:
geg: $n=20,\;p=\frac13,\;k=10$
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an:
$P=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}$
$=\frac{20!}{10!\left(20-10\right)!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}$
$=\frac{20!}{10!\cdot10!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(\frac23\right)^{10}$
$\approx0{,}05426\approx5{,}4\%$
$\Rightarrow$ Zu $5{,}4\%$ beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.

Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln einen Pasch (11, 22, . . . , 66) zu erhalten, beträgt bekanntlich $\frac16$ .

Es wird 4-mal hintereinander jeweils mit 2 Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Definiere Ereignisse
Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.
Ereignis $A$ : Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.
Ereignis $B$ : Es fällt bei den vier Würfen mindestens ein Pasch.
Definiere Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist $P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.$ Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist $P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.$
Definiere dann jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.
$P(A)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.
$P(B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen mindestens ein Pasch fällt.
$P(A \cap B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch und mindestens ein Pasch fällt.
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B)$ genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ . Wenn genau drei Päsche fallen, dann wurde natürlich mehr als ein Pasch (nämlich drei Päsche) gewürfelt.
$P_B (A)$ Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist.
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.
$P(A \cap B) = \, ?$
Berechne $P(A \cap B)$ .
Fallen genau drei Päsche, so fällt auch mindestens ein Pasch.
$P(A \cap B) = P(A)$
$P(A) = \, ?$
Berechne $P(A)$ .
3 mal Wahrscheinlichkeit für Pasch: $\frac{1}{6}$ 1 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: $\frac{5}{6}$ kombinatorischer Faktor: 4
$P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0{,}015$
$P(B) = \, ?$
Berechne $P(B)$ .
Nutze das Gegenereignis: $P(\overline B)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Würfen kein Pasch fällt.
$P(B) = 1 - P(\overline {B})$
4 mal Wahrscheinlichkeit für kein Pasch: $\frac{5}{6}$
$P(\overline{B})=\left(\frac{5}{6}\right)^4$
$P(B) = 1 - P(\overline {B}) =1- \frac{625}{1296} =\frac{1296}{1296}- \frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx0{,}52$
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
Ergebnis
Die Wahrschenlichkeit, dass genau drei Päsche fallen, wenn bekannt ist, dass mindestens ein Pasch gefallen ist, beträgt $3{,}0 \%$ .
Ergänzung
Weil es einige Nachfragen zu der Lösung gab, wird sie nochmal etwas anders berechnet.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für keinen, einen, zwei, drei oder vier Päsche. Beachte dabei wie oben die kombinatorischen Faktoren: bei einem oder drei Päschen gibt es je vier Möglichkeiten, an welcher Stelle der Pasch (oder der Wurf ohne Pasch) auftritt. Bei zwei Päschen sind es $\displaystyle{4\choose 2}=6$ Möglichkeiten, die du dir zur Not wie oben noch einmal aufschreiben kannst. Da wir die Zahlen vergleichen wollen, kürzen wir in der folgenden Rechnung nicht.
Kein Pasch: $\displaystyle P_0=\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{625}{1296}$
Ein Pasch: $\displaystyle P_1=\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot\frac{1}{6}\cdot4=\frac{500}{1296}$
Zwei Päsche: $\displaystyle P_2=\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot6=\frac{150}{1296}$
Drei Päsche: $\displaystyle P_3=\left(\frac{5}{6}\right)^1\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot4=\frac{20}{1296}$
Vier Päsche: $\displaystyle P_4=\left(\frac{1}{6}\right)^4=\frac{1}{1296}$
Wenn du zur Probe die Wahrscheinlichkeiten addierst, siehst du, dass du $P_0+P_1+P_2+P_3+P_4=1$ erhältst.
Die Wahrscheinlichkeit, genau drei Päsche zu würfeln, ist als $\displaystyle P_3=\frac{20}{1296}=\frac{5}{324}$ .
Jetzt ist aber die bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt, drei Päsche zu würfeln, wenn schon bekannt ist, dass mindestens ein Pasch fällt. Das bedeutet, dass das Ereignis "kein Pasch" nicht mehr in der Grundmenge vorkommt. Daher ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit
$\displaystyle P_B(A)=\frac{P_3}{P_1+P_2+P_3+P_4}=\frac{P_3}{1-P_0}=\frac{\frac{20}{1296}}{\frac{671}{1296}}=\frac{20}{671}\approx 3{,}0\%$ .
Das ist genau das, was oben berechnet worden ist.
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Angenommen, Pasch fällt bei vier Würfen insgesamt genau 3-mal.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit waren dann diese drei Pasch-Würfe hintereinander?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Definiere Ereignisse
Definiere zunächst die Ereignisse, die in der Aufgabenstellung beschrieben werden.
Ereignis $A$ : Es fällt bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch.
Ereignis $C$ : Die drei Pasch-Würfe fallen hintereinander.
Definiere Wahrscheinlichkeiten
Definiere jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit denen eins der zuvor definierten Ereignisse eintritt.
$P(A)$ : Wahrscheinlichkeit, dass bei den vier Würfen genau drei mal ein Pasch fällt.
$P(C)$ : Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe bei den vier Würfen hintereinander erfolgen.
$P_A (C)$ Wahrscheinlichkeit, dass drei Pasch-Würfe hintereinander erfolgen, wenn bekannt ist, dass genau drei mal ein Pasch gefallen ist.
Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit
Dazu musst du die Formel für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten kennen.
$P_A(C)=\frac{P(A\cap C)}{P(A)}$
$P(A \cap C) = \,?$
Berechne $P(A \cap C)$ .
$P(A\cap C)=2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{648}=0{,}008$
$P(A) = \, ?$
Berechne $P(A)$ .
$P(A) = 4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{324} = 0{,}015$
$P_A(C) = \frac{P(A\cap C)}{P(A)} = \,?$
Berechne $P_A(C)$ .
$P_A(C)=\frac{P(A\cap C)}{P(A)}=\frac{2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}}{4\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \frac{5}{6}}=0.5$
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Päsche hintereinander fallen, wenn bekannt ist, dass genau drei Päsche gefallen sind, beträgt 50 %.
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Berechnen Sie, wie oft man würfeln müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Pasch“ mindestens 99 % beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst das Ereignis, das in der Aufgabenstellung beschrieben wird.

Ereignis $(A, n)$ : Es fällt bei $n$ Würfen mindestens ein Pasch.
Ereignis $(\overline A, n)$ : Es fällt bei $n$ Würfen kein Pasch. (Gegenereignis)

Berechne Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist $P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.$ Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist $P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.$

Nenne die Anzahl der Würfe $n$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass bei $n$ Würfen kein einziger Pasch auftritt ist $P(\overline A, n) = \left( \frac{5}{6}\right)^n$ .

$\displaystyle P(A,n)$	$≥$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Schreibe die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis.
$\displaystyle P(\overline{A},n)$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
	↓	Setze den Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit ein.
$\displaystyle \left( \frac{5}{6}\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
	↓	Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
$\displaystyle \ln((\frac 56)^n)$	$≤$	$\displaystyle \ln 0{,}01$
	↓	Verwende Potenzregel.
$\displaystyle n\cdot\ln(\frac56)$	$≤$	$\displaystyle \ln 0{,}01$
	↓	Löse nach $n$ auf. Beachte dabei, dass $ln(\frac56)$ eine negative Zahl ist, und du deswegen das Ungleichheitszeichen umdrehen musst. Genauer erklärt ist dies im Artikel Ungleichungen lösen.
$\displaystyle n$	$≥$	$\displaystyle \frac{\ln 0{,}01}{\ln \left( \frac{5}{6}\right)} = 25.26$

Ergebnis

Man muss mindestens 26 mal würfeln.

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Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit $20%$ Ausschuss her. Das heißt, dass jede fünfte Bohrmaschine fehlerhaft hergestellt wird.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen kein Ausschussstück zu finden ist?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 1-P\left(X\le1\right)$	$≥$	$\displaystyle 0{,}6$	$\displaystyle +P\left(X\le1\right)-0{,}6$
$\displaystyle 1-0{,}6$	$≥$	$\displaystyle P\left(X\le1\right)$
$\displaystyle 0{,}4$	$≥$	$\displaystyle P\left(X\le1\right)$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}100\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}2^0\cdot\left(1-0{,}2\right)^{100-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{0!\left(100-0\right)!}\cdot 0{,}2^0\cdot \left(1-0{,}2\right)^{100-0}$
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{100!}\cdot 0{,}2^0\cdot 0{,}8^{100}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8^{100}$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}037\cdot10^{-10}\approx2{,}037\cdot10^{-8}\%$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}100\\20\end{pmatrix}\cdot0{,}2^{20}\cdot\left(1-0{,}2\right)^{100-20}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{20!\left(100-20\right)!}\cdot 0{,}2^{20}\cdot \left(1-0{,}2\right)^{100-20}$
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{20!\cdot80!}\cdot0{,}2^{20}\cdot0{,}8^{80}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}0993\approx9{,}9\%$

Aufgaben zur Binomialverteilung

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Definiere Wahrscheinlichkeiten

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Ergebnis

Ergänzung

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Definiere Wahrscheinlichkeiten

Berechne bedingte Wahrscheinlichkeit

Ergebnis

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Berechne Wahrscheinlichkeiten

Ergebnis

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Alternative Berechnungen

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