Aufgaben zum Kegel

1
Das Glas ist (ohne Stiel) 7 cm hoch und hat oben den Umfang 26,7 cm.
Wie groß ist das Volumen des Glases?
cm³
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Berechnung des Grundkreisradius r
Um das Volumen des kegelförmigen Glases zu berechnen, musst du zuerst den Grundkreisradius r berechnen, indem du die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreises nach r umformst. Du musst dazu auf beiden Seiten der Gleichung durch 2π teilen.
$\begin{array}{rcll} U & = & 2 \cdot π \cdot r & | : (2 \cdot π) \\ r & = & \frac{U}{2 \cdot π} \end{array}$
Jetzt kannst du U in die Gleichung einsetzen.
$r = \frac{26,7 cm}{2 \cdot π} \approx 4,25 cm$
Berechnung des Volumens V von dem kegelförmigen Glas
Du kannst nun den Radius und die Höhe in die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels einsetzen.
$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h \\ = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot (4,25 cm)^{2} \cdot 7 c m \\ = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot 18.0625 {cm}^{2} \cdot 7 cm \\ \approx & 132,41 {cm}^{3} \end{array}$
Antwort:
Das Volumen V des kegelförmigen Glases beträgt ca. $132 {cm}^{3}$ .
Gegeben:
Höhe des Kegelglases h=7 cm
Umfang des Grundkreises U=26,7 cm
Gesucht:
Volumen des Kegelglases V
Um das Volumen zu berechnen, kannst du folgendermaßen vorgehen:
Berechne zuerst den Grundkreisradius des Kegels.
Berechne damit das Volumen
2
Betrachte den geraden Kegel. Der Radius der Grundfläche ist $r = 3$ und der Winkel $φ$ ist $60 °$ .
1. Berechne das Volumen des Kegels.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
  Die gesuchte Formel lautet:
  $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot h$
  Überleg dir nun, welche der Variablen in der Aufgabe gegeben sind und welche du noch suchst.
  gegeben:
  $r = 3$
  $φ = 60 °$
  gesucht:
  $V$ , $h$
  Das Volumen V kannst du erst ausrechnen, wenn du die Höhe h gefunden hast.
  Berechnen der Höhe h
  Die Höhe des Kegels erhältst du durch einen Querschnitt durch den Mittelpunkt $M$ und die Spitze $S$ . Dieser sieht folgendermaßen aus:
  Dieses Dreieck kannst du nun halbieren, so dass du ein rechtwinkliges Dreieck erhältst.
  In diesem Dreieck kennst du die Strecke $r$ (Gegenkathete von $\frac{φ}{2}$ ).
  Die gesuchte Größe ist die Höhe $h$ . Diese ist die Ankathete von $\frac{φ}{2}$ .
  Du kannst $h$ mithilfe einer trigonomischen Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) ausrechnen.
  $t a n (\frac{φ}{2}) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e} = \frac{r}{h}$
  Du kannst den Tangens von $\frac{φ}{2}$ benutzen um auf $h$ zu kommen. Anschließend musst du die Formel nach $h$ umstellen.
  $\begin{array}{rcll} \tan (\frac{φ}{2}) & = & \frac{r}{h} & | \cdot h \\ \tan (\frac{φ}{2}) \cdot h & = & r & | : \tan (\frac{φ}{2}) \\ h & = & \frac{r}{t a n (\frac{φ}{2})} \end{array}$
  (Beachte: Diese Umformungen sind nur gültig, wenn $t a n (\frac{φ}{2}) ≠ 0$ ist. Das ist in unserem Fall mit $φ = 60 °$ der Fall.)
  Setze die Werte ein und berechne die Höhe des Kegels!
  $h = \frac{r}{t a n (\frac{φ}{2})} = \frac{3}{t a n (\frac{60 °}{2})} = \frac{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3 \sqrt{3} \approx 5,20$
  
  Die Höhe des Kegels beträgt $3 \sqrt{3} \approx 5,20$ .
  Berechnung des Volumens
  Das Volumen können wir nun mit der bekannten Formel berechnen. Setze dazu die bekannten Werte in die Formel ein und berechne das Volumen!
  $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot π r^{2} \cdot h$
  $V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (3)^{2} \cdot 3 \sqrt{3} \approx 49,0$
  Das Volumen des Kegels beträgt ca. $49,0$ .
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  Schau dir den Artikel zum Kegel an und suche die passende Formel für das Volumen heraus.
2. Berechne den Oberflächeninhalt des Kegels.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
  $O = M + G = r \cdot m \cdot π + r^{2} π$
  In der Formel haben wir alle Werte gegeben außer die Mantellinie $m$ .
  Berechnung der Mantellinie
  Die Mantellinie $m$ erhältst du ähnlich wie die Höhe in der Teilaufgabe $a)$ über das rechtwinklige Dreieck.
  Benutze wieder eine trigonometrische Funktion, um die Mantellinie $m$ zu berechnen!
  $s i n (\frac{φ}{2}) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{r}{m}$
  Nutze den Sinus um $m$ mithilfe von $\frac{φ}{r}$ und $r$ zu berechnen. Und stelle die Gleichung entsprechend um!
  $s i n (\frac{φ}{2}) = \frac{r}{m} | \cdot m$
  $m \cdot s i n (\frac{φ}{2}) = r | : s i n (\frac{φ}{2})$
  $m = \frac{r}{s i n (\frac{φ}{2})}$
  Setze die Werte für $r$ und $φ$ ein und berechne die Mantellinie $m$ .
  $m = \frac{r}{s i n (\frac{φ}{2})} = \frac{3}{s i n (\frac{60 °}{2})}$
  $m = \frac{3}{s i n (30 °)} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 3 = 6$
  Die Mantelfläche $m$ ist $6$ lang.
  Berechnung des Oberflächeninhalts
  Nutze die Formel für den Oberflächeninhalt des Kegels und setze die Werte ein.
  $O = M + G = r \cdot m \cdot π + r^{2} π$
  $O = 3 \cdot 6 \cdot π + (3)^{2} \cdot π = 27 π \approx 84,8$
  Die Oberfläche des Kegels beträgt ca. $84,8$ .
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  Den Oberflächeninhalt des Kegels erhältst du mithilfe einer Formel, die du im Artikel zum Kegel findest.
3. Zeichne ein sauberes Bild des Netzes von diesem Kegel.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
  Vorüberlegungen
  Beginne mit einer Skizze, in die du alle wichtigen Werte einzeichnest, die du kennen musst bevor du starten kannst.
  Skizze:
  In der nebenstehenden Skizze kennst du die Werte für $r$ und $m$ , dir fehlt aber der Wert für $α$ .
  Die Mantelfläche um $α$ ist ein Kreissektor. Schau dir dazu nochmals die Formeln an und versuche den Wert für den Mittelpunktswinkel $α$ zu berechnen.
  Der Mittelpunktswinkel berechnet sich folgendermaßen in einem Kreissektor:
  $\frac{α}{360 °} = \frac{A_{S e k t o r}}{A_{K r e i s}}$
  Mit $A_{K r e i s}$ ist die Fläche gemeint, die ein Kreis mit dem Radius $m$ hätte.
  Stelle jetzt die Flächen $A_{S e k t o r}$ und $A_{K r e i s}$ auf und setze sie in die Formel ein.
  Tipp: $A_{S e k t o r}$ entspricht der Mantelfläche des Kegels.
  $A_{S e k t o r} = M = r \cdot m \cdot π$
  $A_{K r e i s} = m^{2} \cdot π$
  $\frac{α}{360 °} = \frac{A_{S e k t o r}}{A_{K r e i s}}$
  $\frac{α}{360 °} = \frac{r \cdot m \cdot π}{m^{2} \cdot π}$
  Kürzen ergibt:
  $\frac{α}{360 °} = \frac{r}{m}$
  Stelle die Gleichung nach $α$ um!Und setze die Werte ein.
  $\frac{α}{360 °} = \frac{r}{m} | \cdot 360 °$
  $α = \frac{r}{m} \cdot 360 ° = \frac{3}{6} \cdot 360 ° = \frac{1}{2} \cdot 360 °$
  $α = 180 °$
  Dieser Kegel hat einen Mittelpunktswinkel seiner Mantelfläche von $180 °$ .
  Konstruktion des Kegel - Netzes
  Beginne mit der Mantelfläche und zeichne dazu den Mittelpunktswinkel $α$ an den Punkt der Spitze $S$ .
  Zeichne einen Halbkreis mit dem Radius $m = 6 c m$ um den Punkt $S$ .
  Suche dir einen beliebigen Punkt am Halbkreis, an dem die Grundfläche $G$ des Kegels die Mantelfläche berührt. Benenne ihn! Zum Beispiel mit $A$ .
  Verbinde den Punkt $S$ mit dem Punkt $A$ durch eine Halbgerade!
  Am Punkt $A$ trägst du nun den Radius $r = 3 c m$ ab und erhältst einen Schnittpunkt mit der Halbgerade.
  Dieser Schnittpunkt ist $M$ (Mittelpunkt der Grundfläche).
  Wenn du um $M$ den Kreis mit $r = 3 c m$ zeichnest hast du die Grundfläche.
  Die türkis eingefärbte Fläche ist das Netz des Kegels.
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  Tipp: Im Artikel zum Kegel ist ein Bild des Netzes vom Kegel zu sehen. Überlege dir, wie es für deinen Kegel aussehen muss!
  Benutze für die $3$ aus der Angabe $3 c m$ in deinem Heft.
3
Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs mit Höhe $h = 2 c m$ , Grundflächenradius $r_{2} = 3 c m$ und Deckelradius $r_{1} = 5 c m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Kegels
Volumen eines Kegelstumpfes berechnen
Um das Volumen eines solchen Kegelstumpfes zu berechnen, musst du dir vorstellen, dass der Kegel nicht "abgeschnitten" ist, sondern noch seine charakteristische Spitze hat. Dann kann man das gesamte Volumen dieses Kegels berechnen und die Spitze wieder abziehen. Zeichne dazu zuerst eine Skizze des gesamten Kegels!
Deine Skizze sollte ungefähr so aussehen. Wichtig sind die Höhen.
$H = h + h_{2}$ ist die Höhe des gesamten Kegels, $h_{2}$ ist die Höhe der "imaginären" Spitze.
Jetzt musst du zuerst auf die Höhe $h_{2}$ kommen, dafür machst du am besten einen Querschnitt des Kegels.
Berechnung der Höhen $h_{2}$ und $H$
Bei dieser Skizze siehst du, dass es ausreichend ist, nur die rechte Seite des Dreiecks zu betrachten. Außerdem kannst du eine senkrechte Linie auf $r_{1}$ einzeichnen, die genau auf den Endpunkt von $r_{2}$ trifft.
Die rechte Seite deines Querschnitts sollte ungefähr so aussehen.
Du hast nun die Verbindungslinie von $r_{1}$ und $r_{2}$ eingezeichnet (gestrichelt) und erhältst dadurch einen Abschnitt $d$ von $r_{1}$ mit $d = r_{1} - r_{2}$ .
Außerdem kannst du zwei ähnliche Dreiecke erkennen. Einmal das Dreieck rechts unten mit $d$ , $h$ und $φ$ und dann noch das Dreieck oben mit $r_{2}$ , $h_{2}$ und $φ$ .
Versuche nun die bekannten Strecken einzuzeichnen und den Winkel $φ$ zu bestimmen!
Das rechte untere Dreieck hat die Längen $h = 2 c m$ und
$d = r_{1} - r_{2} = 5 c m - 3 c m = 2 c m$ .
Damit hast du ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck. Bei einem gleichschenkligen Dreieck hast du immer zwei gleiche Winkel und du hast zusätzlich noch einen $90 °$ Winkel.
Dadurch kommst du auf:
$180 ° = 90 ° + 2 \cdot φ$
Und erhältst: $φ = 45 °$ .
Durch eine Ähnlichkeitsbetrachtung kannst du nun auch $h_{2}$ berechnen.
Da du zwei ähnliche Dreiecke hast, muss das obere Dreieck auch gleichschenklig sein. Dadurch erhältst du:
$h_{2} = r_{2} = 3 c m$
Berechne nun die gesamte Höhe des Kegels $H$ und das Volumen $V_{g e s}$ des ganzen Kegels mit dem Radius $r_{1}$ und der Höhe $H$ .
Berechnung des gesuchten Volumens
$H = h + h_{2} = 2 c m + 3 c m = 5 c m$
$V_{g e s} = \frac{1}{3} \cdot r_{1}^{2} \cdot π \cdot H$
$V_{g e s} = \frac{1}{3} \cdot (5 c m)^{2} \cdot π \cdot 5 c m \approx 131 c m^{3}$
Von dem Gesamtvolumen $V_{g e s}$ ziehst du nun das Volumen des "imaginären" Kegels $V_{s p i t z e}$ mit der Höhe $h_{2}$ und dem Radius $r_{2}$ ab und erhältst so das Volumen des Kegelstumpfs $V_{s t u m p f}$ .
$V_{s t u m p f} = V_{g e s} - V_{s p i t z e}$
$V_{s p i t z e} = \frac{1}{3} \cdot r_{2}^{2} \cdot π \cdot h_{2}$
$V_{s p i t z e} = \frac{1}{3} \cdot (3 c m)^{2} \cdot π \cdot 3 c m \approx 28,3 c m^{3}$
$V_{s t u m p f} = 131 c m^{3} - 28,3 c m^{3} \approx 102,7 c m^{3}$
Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt $V_{s t u m p f} \approx 102,7 c m^{3}$ .
Ergänze den Kegelstumpf, so dass ein vollständiger Kegel entsteht dessen Volumen du berechnen kannst. Ziehe anschließend das Volumen der "imaginären" Kegelspitze wieder ab!
4
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ein Kegel, dessen Höhe $h$ so groß ist wie der Grundkreis-Durchmesser, habe das Volumen $1 L i t e r$ .
1. Berechne $h$ .
  
  Lösung zur 1. Frage der Aufgabe:
  gegeben:
  Grundkreisdurchmesser des Kreiskegels $d=h$
  Volumen $V = 1 l$
  gesucht:
  Höhe des Kreiskegels $h$
  Darstellen des Grundkreisradius mit $h$
  Um die Höhe $h$ zu berechnen, kannst du zuerst den Radius $r$ als $h$ geteilt durch zwei darstellen, denn $d$ gleicht $h$ und ist außerdem doppelt so lang wie $r$ .
  $r= \frac{d}{2}$
  $r = \frac{h}{2}$
  Aufstellen eines Gleichungssystemes:
  $r = \frac{h}{2}$ ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf.
  Gleichung (I) ist die Darstellung von $r$ mit $h$ .
  Gleichung (II) ist die Formel für die Berechnung des Volumens von einem Kreiskegel mit den eingesetzten Wert von $r= \frac{h}{2}$
  (I): $r= \frac{h}{2}$
  (II): $\frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h = 1 l$
  Nun löst du das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, wobei du die Gleichung (I) ind (II) einsetzst.
  (I) in (II):
  $\frac{1}{3} \cdot \frac{h^{2}}{2^{2}} \cdot π \cdot h = 1 l$
  $\frac{1 \cdot h^{2} \cdot h \cdot π}{3 \cdot 4}$ $=$ $1 l$
  $\frac{1 \cdot h^{2} \cdot h \cdot π}{3 \cdot 4}$ $=$ $1 l$ $\cdot 12$
  $h^{3} \cdot π$ $=$ $12 \cdot 1 l$
  $h^{3} \cdot π$ $=$ $12 l$ $: π$
  $h^{3}$ $=$ $\frac{12 l}{π}$ $\sqrt[3]{}$
  $h$ $=$ $\sqrt[3]{\frac{12 l}{π}}$
  $=$ $\sqrt[3]{\frac{12 {dm}^{3}}{π}}$
  $=$ $1,563185283593544 dm$
  $\approx$ $1,56 dm$
  Du kannst $r$ ausrechnen, indem du $h$ in Gleichung (I) einsetzst. Du benötigst den Radius $r$ , um die 2 Frage der Aufgabenstellung zu beantworten.
  $h$ in (I):
  $r = \frac{1,56 dm}{2} = 0,78 dm$
  Antwort zur 1. Frage der Aufgabe:
  Der Kreiskegel ist etwa $1,56 d m$ hoch.
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2. Berechne nun den Mittelpunktswinkel $α$ des Sektors, aus dem dieser Kegel gefertigt werden kann
  
  Lösung zur 2. Frage der Aufgabe:
  Berechnung der Mantellinie s:
  Um den Mittelpunktswinkel α des Kreissektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, zu bestimmen, musst du zuerst die Mantellinie $s$ des Kegels ausrechnen. Du musst dazu dir ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen, welches den Grundkreismittelpunkt, irgendeinen Punkt auf der Kreislinie der Höhe und die Spitze des Kreiskegels verbindet. Der Grundkreismittelpunkt und der Punkt auf der Kreislinie verbinden sich zu einer Kathete und dem Grundkreisradius r. Der Punkt auf der Kreislinie verbindet sich mit der Kegelspitze zur Hypotenuse und der Mantellinie s. Die Kegelspitze verbindet sich mit dem Grundkreismittelpunkt zu der zweiten Kathete und der Höhe h. Da h und r bereits bekannt sind, kannst du s mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
  $s^{2}$ $=$ $h^{2} + r^{2}$
  $=$ ${1,56}^{2} {dm}^{2} + {0,78}^{2} {dm}^{2}$
  $=$ $3,042 {dm}^{2}$ $\sqrt{}$
  $s$ $=$ $\sqrt{3,042 {dm}^{2}}$
  $\approx$ $1,74 dm$
  Anmerkung:
  Die Lösungen der Gleichung wären:
  $s_{1 / 2} = \pm \sqrt{3,042 {dm}^{2}}$
  Da s eine Länge ist, wäre eine negative Lösung nicht sinnvoll, weshalb du diese nicht weiter beachten musst.
  Berechnung des Mittelpunktswinkels $α$
  Nun kannst du $α$ berechnen, indem du dir bereits bekannte Werte in eine nach $α$ umgeformte Version von dieser Formel
  $\frac{α}{360^{\circ}} = \frac{2 \cdot π \cdot r}{2 \cdot π \cdot s} = \frac{r}{s}$
  einsetzst.
  $\frac{α}{360^{\circ}} = \frac{0,78 dm}{1,74 dm} | \cdot 360^{\circ}$
  Du multiplizierst auf beiden Seiten der Gleichung mit $360 °$ .
  $α = 0,45 \cdot 360^{\circ} = 162^{\circ}$
  Antwort:
  Der Mittelpunktswinkel α des Sektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, ist $162 °$ groß.
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{1 \cdot h^{2} \cdot h \cdot π}{3 \cdot 4}$	$=$	$1 l$
$\frac{1 \cdot h^{2} \cdot h \cdot π}{3 \cdot 4}$	$=$	$1 l$	$\cdot 12$
$h^{3} \cdot π$	$=$	$12 \cdot 1 l$
$h^{3} \cdot π$	$=$	$12 l$	$: π$
$h^{3}$	$=$	$\frac{12 l}{π}$	$\sqrt[3]{}$
$h$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{12 l}{π}}$
	$=$	$\sqrt[3]{\frac{12 {dm}^{3}}{π}}$
	$=$	$1,563185283593544 dm$
	$\approx$	$1,56 dm$

$s^{2}$	$=$	$h^{2} + r^{2}$
	$=$	${1,56}^{2} {dm}^{2} + {0,78}^{2} {dm}^{2}$
	$=$	$3,042 {dm}^{2}$	$\sqrt{}$
$s$	$=$	$\sqrt{3,042 {dm}^{2}}$
	$\approx$	$1,74 dm$

Aufgaben zum Kegel

Berechnung des Grundkreisradius r

Berechnung des Volumens V von dem kegelförmigen Glas

Antwort:

Berechnen der Höhe h

Berechnung des Volumens

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Berechnung der Mantellinie

Berechnung des Oberflächeninhalts

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Vorüberlegungen

Konstruktion des Kegel - Netzes

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Volumen eines Kegelstumpfes berechnen

Berechnung der Höhen h2 und H

Berechnung des gesuchten Volumens

Lösung zur 1. Frage der Aufgabe:

Antwort zur 1. Frage der Aufgabe:

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Lösung zur 2. Frage der Aufgabe:

Berechnung der Mantellinie s:

Anmerkung:

Berechnung des Mittelpunktswinkels α

Antwort:

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Berechnung der Höhen $h_{2}$ und $H$

Berechnung des Mittelpunktswinkels $α$