Aufgaben zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Es gibt drei Elementarereignisse, Grün, Gelb und Orange. Deren Wahrscheinlichkeit ist jeweils die Anzahl der entsprechend gefärbten Würfelseiten durch die Gesamtzahl der Würfelseiten.

$\mathrm{Grün}\colon\;\,\dfrac28=\dfrac14=25\,\%\\\mathrm{Gelb}\colon\dfrac38=37{,}5\,\%\\\mathrm{Orange}\colon\;\dfrac38=37{,}5\,\%$

 $\Rightarrow$ Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse unterschiedlich wahrscheinlich sind.

Laplace-Experiment

Teilaufgabe 1

Es gibt acht Elementarereignisse, die Zahlen von 1 bis 8. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ist gleich die Anzahl der entsprechenden Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder.

Da hier jede Zahl einem Feld entspricht, haben sie alle die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$.

Insbesondere sind alle gleichwahrscheinlich, es handelt sich also um ein Laplace-Experiment.

Teilaufgabe 2

Hier gibt es drei Elementarereignisse, Orange, Grün und Blau. Diese haben jeweils die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der entsprechend farbigen Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder:

Orange: $\dfrac48=\dfrac12=50\,\%$

Grün: $\dfrac38=37{,}5\,\%$

Blau: $\dfrac18=12{,}5\,\%$

$\Rightarrow$ Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.

Es gibt vier Elementarereignisse, Rot, Grün, Gelb und Weiß. Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der jeweiligen Gummibärchen geteilt durch die Gesamtzahl der Gummibärchen. Berechne also erst die Gesamtzahl und dann die Wahrscheinlichkeiten:

$13+9+12+21=55$

Gesamtmenge ist Summe der verschiedenen Gummibärchen

Rot: $\dfrac{13}{55}=23{,}6\,\%$

Grün: $\dfrac9{55}=16{,}4\,\%$

Gelb: $\dfrac{12}{55}=21{,}8\,\%$

Weiß: $\dfrac{21}{55}=38{,}2\,\%$

$\Rightarrow$ Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeiten ungleich sind.

Bemerkung: Die Rechnung ist nicht unbedingt nötig, schon aus der unterschiedlichen Anzahl der Gummibärchen ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sein können.

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

$P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pikkarten}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

$P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\text{Damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik-Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

$P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pik}\text{damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik oder Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik aber keine Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame aber nicht Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist weder Pik noch Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

$\Rightarrow$   Zu 3,7% zieht man einen Teil, dass keine blauen Flächen hat.

$\Rightarrow$   Man zieht zu 44,4% ein Würfelteil, das zwei eingefärbte Seiten hat.

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und A="x ist Primzahl".

$\;\;\Rightarrow\;\;$Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl eine Primzahl.

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und B="x ist gerade".

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ist die gezogene Zahl eine gerade Zahl.

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und C="x ist durch 4 teilbar".

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl durch 4 teilbar.

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und D="x ist durch 4 und durch 6 teilbar".

$\;\;\Rightarrow\;\;$Mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% ist die gezogene Zahl durch 4 und 6 teilbar.

Die Summe zweier Würfelwürfe kann alle Zahlen zwischen zwei (1+1) und zwölf (6+6) ergeben. Das sind 11 unterschiedliche Zahlen.

Es gibt mehrerer Würfelkombinationen welche dieselbe Würfelsumme ergeben, zum Beispiel 3 + 4 = 7 und 1 + 6 = 7. Aber andere Zahlen verlangen eine bestimmte Würfelkombination, zum Beispiel 2 = 1 + 1, und sind deshalb unwahrscheinlicher. Da nicht alle Ergebnisse des Ergebnisraums dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment.

Zu den Antworten:

"Die Kombination der geworfenen Zahlen unter Berücksichtigung der Reihenfolge" und

"Die Kombination der geworfenen Zahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge."

Es gibt mehr Möglichkeiten zwei unterschiedliche Zahlen zu werfen (erst die eine Zahl, dann die andere oder andersrum) als zwei gleiche Zahlen zu würfeln, deshalb sind sogenannte Paschs (zwei gleiche Zahlen) unwahrscheinlicher und die geworfenen Zahlenkombinationen nur unter Berücksichtigung der Reihenfolge ein Laplace Experiment. Die Kombination der geworfenen Zahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist kein Laplace Experiment.

Zu der Antwort: "Die Summe beider Würfe ist gerade oder ungerade"

Die Summe zweier gerader Zahlen und zweier ungerader Zahlen ist gerade, aber nur die Summe einer ungeraden und einer geraden Zahl ist ungerade. Es hilft daher, folgenden Ereignisbaum zu betrachten:

Da bei beiden Würfen die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist eine gerade ($2$, $4$ und $6$) oder eine ungerade ($1$, $3$ und $5$) Zahl zu würfeln. Sind die Wahrscheinlichkeiten der vier Elementarereignisse des Experiments

gleich groß $\left(\frac{1}{4}\right)$. Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Summe zu würfeln ist also gleich groß wie die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Summe zu würfeln ($50\;\%$).

Da es sich bei dem ursprünglichen Experiments, $X$ die Summe zweier Würfelwürfe, nicht um ein Laplace-Experiment handelt, ist es besser sich das Ereignis in dem entsprechenden Laplace-Experiment, die Kombination der Würfe unter Berücksichtung der Reihenfolge, anzusehen: