Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken

1
Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.
1. Gegeben ist die Höhe $h = 5 cm$ und die Grundlinie $g = 8 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 8 cm$ und $h = 5 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 8 cm \cdot 5 cm = 20 {cm}^{2} .$
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2. Gegeben ist die Höhe $h = 7 cm$ und die Grundlinie $g = 14 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 14 cm$ und $h = 7 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 14 cm \cdot 7 cm = 49 {cm}^{2} .$
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4. Gegeben ist die Höhe $h = 6 cm$ und die Grundlinie $g = 6,4 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 6,4 cm$ und $h = 6 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 6,4 cm \cdot 6 cm = 19,2 {cm}^{2} .$
  
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5. Gegeben ist die Höhe $h = 4,5 cm$ und die Grundlinie $g = 10 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 10 cm$ und $h = 4,5 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 10 cm \cdot 4,5 cm = 22,5 {cm}^{2} .$
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6. Gegeben ist die Höhe $h = 7 cm$ und die Grundlinie $g = 3,7 cm$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h .$
  In diesem Fall ist $g = 3,7 cm$ und $h = 7 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 3,7 cm \cdot 7 cm = 12,95 {cm}^{2} .$
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2
Berechne das Gesuchte im gegebenen Dreieck.
1. Gegeben ist die Höhe $h = 5 cm$ und der Flächeninhalt $A_{Δ} = 25 {cm}^{2}$ . Berechne die Grundseite $g$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Hier willst du aber die Länge der Grundseite $g$ und nicht $A$ berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  ↓
  Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
  $25 c m^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot 5 c m$
  ↓
  Teile beide Seiten durch $5 cm$ .
  $5 c m$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g$
  ↓
  Multipliziere mit 2.
  $10 c m$ $=$ $g$
  Die Grundseite $g$ ist also $10 cm$ lang.
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2. Gegeben ist die Grundlinie $g = 10 cm$ und der Flächeninhalt $A_{Δ} = 8 {cm}^{2}$ . Berechne die Höhe $h$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Hier willst du aber die Höhe $h$ und nicht $A$ berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  ↓
  Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
  $8 c m^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot 10 c m \cdot h$
  ↓
  Teile beide Seiten durch $10 cm$ .
  $0,8 c m$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot h$
  ↓
  Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
  $1,6 c m$ $=$ $h$
  Die gesuchte Höhe $h$ ist also $1,6 cm$ lang.
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3. Gegeben ist der Flächeninhalt $A_{Δ} = 64 {cm}^{2}$ und die Grundlinie $g = 8 cm$ . Berechne die Höhe $h$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Hier willst du aber die Länge der Grundlinie $g$ und nicht $A$ berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  ↓
  Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
  $64 c m^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot 8 c m$
  ↓
  Teile beide Seiten durch $8 cm$ .
  $8 c m$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g$
  ↓
  Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
  $16 c m$ $=$ $g$
  Damit hat also die Grundlinie die gesuchte Länge $g = 16 cm$ .
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4. Gegeben ist der Flächeninhalt $A_{Δ} = 16 {cm}^{2}$ und die Höhe $h = 8 cm$ . Berechne die Grundseite $g$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Benutze die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Hier willst du aber die Länge der Grundlinie $g$ und nicht $A$ berechnen. Die Formel hilft dir trotzdem weiter. :)
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  ↓
  Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
  
  $16 c m^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot 8 c m$
  ↓
  Teile beide Seiten durch $8 cm$ .
  $2 c m$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g$
  ↓
  Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
  $4 c m$ $=$ $g$
  Damit hat die Grundlinie die gesuchte Länge $g = 4 cm$ .
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5. Gegeben ist die Höhe $h = 5 m$ und die Grundseite $g = 2 dm$ . Berechne den Flächeninhalt $A_{Δ}$ .
  dm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  an. In diesem Fall ist $g = 2 dm$ und $h = 5 m$ . Diese Zahlen müssen erst in dieselbe Einheit umgerechnet werden.
  $h = 5 m = 50 dm$
  Dann wird daraus $g = 2 dm$ und $h = 50 dm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 2 dm \cdot 50 dm = 50 {dm}^{2} .$
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6. Gegeben ist die Höhe $h = 45 cm$ und die Grundseite $g = 5,25 cm$ . Berechne den Flächeninhalt $A_{Δ}$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  an. In diesem Fall ist $g = 5,25 cm$ und $h = 45 cm$ , also ist der Flächeninhalt
  $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 5,25 cm \cdot 45 cm = 118,125 {cm}^{2} .$
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3
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $Δ A B C$ , wenn die Punkte $A$ , $B$ und $C$ folgendermaßen gegeben sind:
1. $A (0 | 1), B (5 | 1), C (4 | 4)$
  Flächeneinheiten
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
  $A_{Δ A B C} = ?$
  Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Dabei ist $g$ die Grundlinie und $h$ die Höhe des Dreiecks.
  Dreieck $Δ A B C$ im Koordinatensystem eingezeichnet:
  Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
  $c$ parallel zur $x$ -Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
  $h_{c}$ parallel zur $y$ -Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
  Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite $c$ als Grundlinie.
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}$
  Um $c$ zu bestimmen, berechnest du die Differenz der $x$ -Koordinaten von $A$ und $B$ ,
  $c = 5 - 0 = 5$
  und um $h_{c}$ zu berechnen, subtrahierst du die $y$ -Koordinaten von $C$ und $A$ (oder $B$ ).
  $h_{c} = 4 - 1 = 3$
  Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7,5$
  Antwort: Die Dreiecksfläche ist $7,5$ Flächeneinheiten groß.
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2. $A (2 | 0), B (5 | 1), C (2 | 4)$
  Flächeneinheiten
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
  $A_{Δ A B C} = ?$
  Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Dabei ist $g$ die Grundlinie und $h$ die Höhe des Dreiecks.
  Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
  $h_{b}$ parallel zur $x$ -Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
  $b$ parallel zur $y$ -Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
  Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite $b$ als Grundlinie.
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b}$
  Um $b$ zu bestimmen, berechnest du die Differenz der $y$ -Koordinaten von $C$ und $A$ ,
  $b = 4 - 0 = 4$
  und um $h_{b}$ zu berechnen, subtrahierst du die $x$ -Koordinaten von $B$ und $A$ (oder $C$ ).
  $h_{b} = 5 - 2 = 3$
  Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
  $A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{12}{2} = 6$
  Antwort: Die Dreiecksfläche ist $6$ Flächeneinheiten groß.
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3. $A (0 | 1), B (6 | 1), C (7 | 4)$
  cm²
  
  Lösung
  Zur Hilfe kannst du ein Koordinatensystem zeichnen mit
  Länge der x-Achse: max. 8cm;
  Länge von y-Achse: 5cm
  Wähle die Grundseite des Dreiecks, bspw. die Seite $[A B]$ mit der Länge $A B = 6 cm$ .
  Skizze des Dreiecks
  Die Höhe, in dem Fall $h_{C}$ ist $3 cm$ lang.
  Mit der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks folgt:
  $A = \frac{1}{2} g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 {cm}^{2}$
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  Als Hilfe kannst du ein Koordinatensystem zeichnen: Länge der x-Achse: max. 8cm; Länge der y-Achse: 5cm
  Bestimme die Länge der Grundseite $[A B]$ .
  Bestimme die Länge der Höhe (von $C$ auf die Seite $[A B]$ ).
  Wende die Formel für den Flächeninhalt an: $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
4. $A (0 | 1), B (5 | 7), C (2 | 7)$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
	↓	Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
$25 c m^{2}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g \cdot 5 c m$
	↓	Teile beide Seiten durch $5 cm$ .
$5 c m$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g$
	↓	Multipliziere mit 2.
$10 c m$	$=$	$g$

Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken

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