Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken

Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

Gegeben ist die Höhe $h=5\,\mathrm{cm}$ und die Grundlinie $g=8\,\mathrm{cm}$ .
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
In diesem Fall ist $g = 8\,\mathrm{cm}$ und $h = 5\,\mathrm{cm}$ , also ist der Flächeninhalt
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Gegeben ist die Höhe $h=7\,\mathrm{cm}$ und die Grundlinie $g=14\,\mathrm{cm}$ .
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
In diesem Fall ist $g = 14\,\mathrm{cm}$ und $h = 7\,\mathrm{cm}$ , also ist der Flächeninhalt
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Gegeben ist die Höhe $h=6\,\mathrm{cm}$ und die Grundlinie $g=6{,}4\,\mathrm{cm}$ .
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
In diesem Fall ist $g = 6{,}4\,\mathrm{cm}$ und $h = 6\,\mathrm{cm}$ , also ist der Flächeninhalt

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Gegeben ist die Höhe $h=4{,}5\,\mathrm{cm}$ und die Grundlinie $g=10\,\mathrm{cm}$ .
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
In diesem Fall ist $g = 10\,\mathrm{cm}$ und $h = 4{,}5\,\mathrm{cm}$ , also ist der Flächeninhalt
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Gegeben ist die Höhe $h=7\,\mathrm{cm}$ und die Grundlinie $g=3{,}7\,\mathrm{cm}$ .
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks an.
In diesem Fall ist $g = 3{,}7\,\mathrm{cm}$ und $h = 7\,\mathrm{cm}$ , also ist der Flächeninhalt
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Berechne das Gesuchte im gegebenen Dreieck.

Gegeben ist die Höhe $h=5\,\mathrm{cm}$ und der Flächeninhalt $A_{\Delta}=25\,\mathrm{cm}^2$ . Berechne die Grundseite $g$ .

cm

Gegeben ist die Grundlinie $g=10\,\mathrm{cm}$ und der Flächeninhalt $A_{\Delta}=8\,\mathrm{cm}^2$ . Berechne die Höhe $h$ .

cm

Gegeben ist der Flächeninhalt $A_{\Delta}=64\,\mathrm{cm}^2$ und die Grundlinie $g=8\,\mathrm{cm}$ . Berechne die Höhe $h$ .

cm

Gegeben ist der Flächeninhalt $A_{\Delta}=16\,\mathrm{cm}^2$ und die Höhe $h=8\,\mathrm{cm}$ . Berechne die Grundseite $g$ .

cm

Gegeben ist die Höhe $h=5\,\mathrm m$ und die Grundseite $g=2\,\mathrm{dm}$ . Berechne den Flächeninhalt $A_{\Delta}$ .
dm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks
an. In diesem Fall ist $g = 2\,\mathrm{dm}$ und $h = 5\,\mathrm m$ . Diese Zahlen müssen erst in dieselbe Einheit umgerechnet werden.
Dann wird daraus $g = 2\,\mathrm{dm}$ und $h = 50\,\mathrm{dm}$ , also ist der Flächeninhalt
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Gegeben ist die Höhe $h=45\,\mathrm{cm}$ und die Grundseite $g=5{,}25\,\mathrm{cm}$ . Berechne den Flächeninhalt $A_{\Delta}$ .
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Wende die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks
an. In diesem Fall ist $g = 5{,}25\,\mathrm{cm}$ und $h = 45\,\mathrm{cm}$ , also ist der Flächeninhalt
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3

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta ABC$ , wenn die Punkte $A$ , $B$ und $C$ folgendermaßen gegeben sind:

$A(0|1), B(5|1), C(4|4)$
Flächeneinheiten
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
$A_{\Delta ABC}=?$
Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:
Dabei ist $g$ die Grundlinie und $h$ die Höhe des Dreiecks.
Dreieck $\Delta ABC$ im Koordinatensystem eingezeichnet:
Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
$c$ parallel zur $x$ -Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
$h_{c}$ parallel zur $y$ -Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite $c$ als Grundlinie.
$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c$
Um $c$ zu bestimmen, berechnest du die Differenz der $x$ -Koordinaten von $A$ und $B$ ,
$c=5-0=5$
und um $h_c$ zu berechnen, subtrahierst du die $y$ -Koordinaten von $C$ und $A$ (oder $B$ ).
$h_c= 4-1=3$
Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
Antwort: Die Dreiecksfläche ist $7{,}5$ Flächeneinheiten groß.
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$A(2|0), B(5|1), C(2|4)$
Flächeneinheiten
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
$A_{\Delta ABC}=?$
Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ist:
Dabei ist $g$ die Grundlinie und $h$ die Höhe des Dreiecks.
Bei dem Dreieck in dieser Aufgabe ist
$h_{b}$ parallel zur $x$ -Achse ("waagrecht" im Koordinatensystem) und
$b$ parallel zur $y$ -Achse ("senkrecht" im Koordinatensystem).
Bei solchen "gerade" im Koordinatensystem liegenden Strecken kann man die Länge leicht aus den Koordinaten berechnen; daher wählst du die Seite $b$ als Grundlinie.
$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b$
Um $b$ zu bestimmen, berechnest du die Differenz der $y$ -Koordinaten von $C$ und $A$ ,
$b=4-0=4$
und um $h_b$ zu berechnen, subtrahierst du die $x$ -Koordinaten von $B$ und $A$ (oder $C$ ).
$h_b=5-2=3$
Das brauchst du jetzt beides nur noch einzusetzen, und dann kannst du das Ergebnis ausrechnen.
Antwort: Die Dreiecksfläche ist $6$ Flächeneinheiten groß.
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$A(0|1), B(6|1), C(7|4)$
cm²
Lösung
Skizze des Dreiecks
Zur Hilfe kannst du ein Koordinatensystem zeichnen mit
Länge der x-Achse: max. 8cm;
Länge von y-Achse: 5cm
Wähle die Grundseite des Dreiecks, bspw. die Seite $[AB]$ mit der Länge $\overline{AB}=6~\text{cm}$ .
Die Höhe, in dem Fall $h_C$ ist $3~\text{cm}$ lang.
Mit der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks folgt:
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Als Hilfe kannst du ein Koordinatensystem zeichnen: Länge der x-Achse: max. 8cm; Länge der y-Achse: 5cm
Bestimme die Länge der Grundseite $[AB]$ .
Bestimme die Länge der Höhe (von $C$ auf die Seite $[AB]$ ).
Wende die Formel für den Flächeninhalt an: $A= \frac12\cdot g\cdot h$
$A(0|1), B(5|7), C(2|7)$

$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
	↓	Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
$\displaystyle 25cm^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot5cm$
	↓	Teile beide Seiten durch $5\,\mathrm{cm}$ .
$\displaystyle 5cm$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g$
	↓	Multipliziere mit 2.
$\displaystyle 10cm$	$=$	$\displaystyle g$

$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
	↓	Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
$\displaystyle 8\ cm^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot10\ cm\cdot h$
	↓	Teile beide Seiten durch $10\,\mathrm{cm}$ .
$\displaystyle 0{,}8\ cm$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot h$
	↓	Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
$\displaystyle 1{,}6\ cm$	$=$	$\displaystyle h$

$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
	↓	Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
$\displaystyle 64\ cm^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot8\ cm$
	↓	Teile beide Seiten durch $8\,\mathrm{cm}$ .
$\displaystyle 8\ cm$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g$
	↓	Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
$\displaystyle 16\ cm$	$=$	$\displaystyle g$

$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
	↓	Setze alles, was du weißt, in die Formel ein.
$\displaystyle 16\ cm^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot8\ cm$
	↓	Teile beide Seiten durch $8\,\mathrm{cm}$ .
$\displaystyle 2\ cm$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g$
	↓	Multipliziere beide Seiten mit $2$ .
$\displaystyle 4\ cm$	$=$	$\displaystyle g$

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Lösung

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