Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{-\frac{1}{3}\underset{\to +\infty }{\underbrace{x^3}}}}=-\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{2x^4}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{2x^4}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{x^5}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{x^5}}=-\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$$

Verhalten der Funktion für $x\to -\infty$ bzw. $x\to +\infty$

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=?}$$

Entsprechend natürlich auch:

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=?}$$

Berechnung von $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}}$$ und $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}}$$

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

• Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten $x$-Potenz des Nenners

• Methode 2: Polynomdivision

• Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital

Verhalten für $\text{}x\to -\infty x$

Alternativen:

Du kannst natürlich auch einfach durch $x$ kürzen:

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3x+2}{4x-5}={\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=-\frac{3}{4}}}$$, da $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x}=0}$$ ist.

Wenn du die Regel mit den höchsten Exponenten kennst, erhältst du genauso den Grenzwert: der höchste Exponent ist oben und unten eins, der Grenzwert ist also der Quotient der Vorfaktoren $-3$ und $4$.

Verhalten für $x\to +\infty$

Verhalten für $\text{}x\to -\infty x$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=2^{-x}\sin x$

Potenzgesetze anwenden.

$={\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{2^x}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }{\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to -\infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to 0}{\underbrace{2^x}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\sin x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{x^2}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to -\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{x^2}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=(2x+3)\cos x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }(2x+3)\cos x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to +\infty }{\underbrace{(2x+3)}}\underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\cos x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=(2x+3)\cos x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }(2x+3)\cos x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to -\infty }{\underbrace{(2x+3)}}\underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\cos x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot 2^x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }5\cdot \underset{\to +\infty }{\underbrace{2^x}}=+\infty$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot 2^x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }5\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{2^x}}=0$