Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{-\frac{1}{3}\underbrace{x^3}_{\rightarrow+\infty}}_{\rightarrow-\infty}=-\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty.$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{2x^4}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty.$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{2x^4}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty.$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x^5}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x^5}_{\rightarrow-\infty}=-\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty.$

Verhalten der Funktion für $x\rightarrow-\infty$ bzw. $x\rightarrow+\infty$

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?$

Entsprechend natürlich auch:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?$

Berechnung von $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x^2}{x+1}$ und $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{x+1}$

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

• Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten $x$-Potenz des Nenners

• Methode 2: Polynomdivision

• Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital

Verhalten für $x→−∞x$

Alternativen:

Du kannst natürlich auch einfach durch $x$ kürzen:

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x+2}{4x-5} =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=-\frac{3}{4}$, da $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{2}{x}=\lim_{x\to-\infty} \frac{5}{x}=0$ ist.

Wenn du die Regel mit den höchsten Exponenten kennst, erhältst du genauso den Grenzwert: der höchste Exponent ist oben und unten eins, der Grenzwert ist also der Quotient der Vorfaktoren $-3$ und $4$.

Verhalten für $x\rightarrow +\infty$

Verhalten für $x→−∞x$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=2^{-x}\sin x$

Potenzgesetze anwenden.

$=\dfrac1{2^x}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac1{2^x}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{2^x}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin\;x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{2^x}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{2^x}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{2^x}_{\rightarrow0}}}_{\rightarrow\infty}\cdot\underbrace{\sin\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\sin x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{x^2}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{x^2}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{x^2}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{x^2}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(2x+3\right)\cos x\ =\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(2x+3\right)}_{\rightarrow+\infty}\underbrace{\cos\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(2x+3\right)\cos x\ =\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(2x+3\right)}_{\rightarrow-\infty}\underbrace{\cos\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot2^x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}5\cdot\underbrace{2^x}_{\rightarrow +\infty}=+\infty$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot2^x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}5\cdot\underbrace{2^x}_{\rightarrow 0}=0$