Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel

1
Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.
Hinweis: Bei der Eingabe in den Lösungsfeldern musst du Potenzen mit '^' schreiben (zum Beispiel x^2 und nicht x²), damit die Lösung als richtig erkannt wird.
1. $f (x) = x^{2} \cdot x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $f (x)$ $=$ $x^{2} \cdot x$
  ↓
  Wende die Produktregel an
  $f^{'} (x)$ $=$ $2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1$
  ↓
  Vereinfachen
  $=$ $3 x^{2}$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = (x - 1) (x^{2} + x + 7)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $f (x)$ $=$ $(x - 1) \cdot (x^{2} + x + 7)$
  ↓
  Wende die Produktregel an
  $f^{'} (x)$ $=$ $1 \cdot (x^{2} + x + 7) + (x - 1) \cdot (2 x + 1)$
  ↓
  Vereinfachen
  $=$ $x^{2} + x + 7 + 2 x^{2} + x - 2 x - 1$
  $=$ $3 x^{2} + 6$
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2
Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen unter Verwendung der Produktregel:
1. $f (x) = x^{2} \cdot (x - 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $f (x) = x^{2} \cdot (x - 1)$
  Wende die Produktregel an.
  $\begin{aligned} f^{'} (x) & = 2 x \cdot (x - 1) + x^{2} \cdot 1 \\ = 2 x^{2} - 2 x + x^{2} \\ = 3 x^{2} - 2 x \end{aligned}$
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2. $f (x) = (x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot (x^{3} + 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $f (x)$ $=$ $(x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot (x^{3} + 3)$
  ↓
  Wende die Produktregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $(2 x + \frac{1}{4}) \cdot (x^{3} + 3) + (x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot 3 x^{2}$
  $=$ $2 x^{4} + 6 x + \frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} + 3 x^{4} + \frac{3}{4} x^{3}$
  $=$ $5 x^{4} + x^{3} + 6 x + \frac{3}{4}$
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3. $f (x) = 4 x^{2} \cdot (- 2 x - 2)$
  
  Zum Lösen dieser Aufgabe benötigst du die Produktregel.
  $\begin{aligned} f (x) & = 4 x^{2} \cdot (- 2 x - 2) \\ f^{'} (x) & = 8 x \cdot (- 2 x - 2) + 4 x^{2} \cdot (- 2) \\ = (- 16 x^{2}) - 16 x - 8 x^{2} \\ = (- 24 x^{2}) - 16 x \end{aligned}$
  Wende die Produktregel an.
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3
Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Quotientenregel.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Um diese Aufgabe bearbeiten zu können solltest du Ableitungen und vor allem die Quotientenregel beherrschen.
  $f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$
  Wende die Quotientenregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x + 2) \cdot 2 x - x^{2} \cdot 2}{(2 x + 2)^{2}}$
  ↓
  Vereinfachen.
  $=$ $\frac{4 x^{2} + 4 x - 2 x^{2}}{(2 x + 2)^{2}}$
  $=$ $\frac{2 x^{2} + 4 x}{[2 (x + 1)]^{2}}$
  $=$ $\frac{2 x \cdot (x + 2)}{4 \cdot (x + 1)^{2}}$
  $=$ $\frac{x \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)^{2}}$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{4}{3 x - 2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Ableitungen und die Quotientenregel.
  $f (x) = \frac{4}{3 x - 2}$
  Wende die Quotientenregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(3 x - 2) \cdot 0 - 4 \cdot 3}{(3 x - 2)^{2}}$
  ↓
  Vereinfachen.
  $=$ $- \frac{12}{(3 x - 2)^{2}}$
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du dich mit Ableitungen und der Quotientenregel auskennen.
  $f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$
  Wende die Quotientenregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2}{(2 x - 1)^{2}}$
  ↓
  Vereinfachen.
  $=$ $\frac{2 \cdot (2 x - 1 - 2 x - 1)}{(2 x - 1)^{2}}$
  $=$ $- \frac{4}{(2 x - 1)^{2}}$
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4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du Ableitungen beherrschen. Vor allem die Quotientenregel und die Kettenregel sind wichtig.
  $f (x) = \frac{2 x + 1}{(2 x - 1)^{2}}$
  Wende die Quotientenregel an. Wende zudem die Kettenregel auf ${(2 x - 1)}^{2}$ an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x - 1)^{2} \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2 \cdot (2 x - 1) \cdot 2}{[(2 x - 1)^{2}]^{2}}$
  ↓
  $(2 x - 1)$ ausklammern.
  $=$ $\frac{(2 x - 1) \cdot [2 \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x + 1)]}{(2 x - 1)^{4}}$
  $=$ $\frac{4 x - 2 - 8 x - 4}{(2 x - 1)^{3}}$
  $=$ $\frac{- 4 x - 6}{(2 x - 1)^{3}}$
  $=$ $- \frac{2 \cdot (2 x + 3)}{(2 x - 1)^{3}}$
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5. $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{5}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zum Lösen dieser Aufgabe ist es hilfreich Ableitungen und Quotientenregel zu können.
  $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{5}}$
  Wende die Quotientenregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{x^{5} \cdot 2 - (2 x + 3) \cdot 5 x^{4}}{(x^{5})^{2}}$
  ↓
  Vereinfachen.
  $=$ $\frac{2 x^{5} - 10 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
  $=$ $\frac{- 8 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
  $=$ $\frac{x^{4} \cdot (- 8 x - 15)}{x^{10}}$
  ↓
  Faktorisiere.
  $=$ $- \frac{8 x + 15}{x^{6}}$
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4
Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel ab.
Hinweis: Man kann die Aufgaben auch ohne Quotientenregel lösen.
1. $f (x) = \frac{1}{x}$
  
  $f (x)$ $=$ $\frac{1}{x}$
  $=$ $x^{- 1}$
  $f ´ (x)$ $=$ $- 1 x^{- 1 - 1}$
  $=$ $- x^{- 2}$
  $=$ $\frac{- 1}{x^{2}}$
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2. $f (x)$ $=$ $\frac{x^{2 a}}{4 a}$
  
  $f ´ (x)$ $=$ $\frac{2 a \cdot x^{2 a - 1}}{4 a}$
  $=$ $\frac{x^{2 a - 1}}{2}$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$x^{2} \cdot x$
	↓	Wende die Produktregel an
$f^{'} (x)$	$=$	$2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$3 x^{2}$

$f (x)$	$=$	$(x - 1) \cdot (x^{2} + x + 7)$
	↓	Wende die Produktregel an
$f^{'} (x)$	$=$	$1 \cdot (x^{2} + x + 7) + (x - 1) \cdot (2 x + 1)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$x^{2} + x + 7 + 2 x^{2} + x - 2 x - 1$
	$=$	$3 x^{2} + 6$

$f (x)$	$=$	$(x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot (x^{3} + 3)$
	↓	Wende die Produktregel an.
$f^{'} (x)$	$=$	$(2 x + \frac{1}{4}) \cdot (x^{3} + 3) + (x^{2} + \frac{1}{4} x) \cdot 3 x^{2}$
	$=$	$2 x^{4} + 6 x + \frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} + 3 x^{4} + \frac{3}{4} x^{3}$
	$=$	$5 x^{4} + x^{3} + 6 x + \frac{3}{4}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x + 2) \cdot 2 x - x^{2} \cdot 2}{(2 x + 2)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{4 x^{2} + 4 x - 2 x^{2}}{(2 x + 2)^{2}}$
	$=$	$\frac{2 x^{2} + 4 x}{[2 (x + 1)]^{2}}$
	$=$	$\frac{2 x \cdot (x + 2)}{4 \cdot (x + 1)^{2}}$
	$=$	$\frac{x \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(3 x - 2) \cdot 0 - 4 \cdot 3}{(3 x - 2)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$- \frac{12}{(3 x - 2)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2}{(2 x - 1)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{2 \cdot (2 x - 1 - 2 x - 1)}{(2 x - 1)^{2}}$
	$=$	$- \frac{4}{(2 x - 1)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x - 1)^{2} \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2 \cdot (2 x - 1) \cdot 2}{[(2 x - 1)^{2}]^{2}}$
	↓	$(2 x - 1)$ ausklammern.
	$=$	$\frac{(2 x - 1) \cdot [2 \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x + 1)]}{(2 x - 1)^{4}}$
	$=$	$\frac{4 x - 2 - 8 x - 4}{(2 x - 1)^{3}}$
	$=$	$\frac{- 4 x - 6}{(2 x - 1)^{3}}$
	$=$	$- \frac{2 \cdot (2 x + 3)}{(2 x - 1)^{3}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{x^{5} \cdot 2 - (2 x + 3) \cdot 5 x^{4}}{(x^{5})^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{2 x^{5} - 10 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
	$=$	$\frac{- 8 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
	$=$	$\frac{x^{4} \cdot (- 8 x - 15)}{x^{10}}$
	↓	Faktorisiere.
	$=$	$- \frac{8 x + 15}{x^{6}}$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{x}$
	$=$	$x^{- 1}$
$f ´ (x)$	$=$	$- 1 x^{- 1 - 1}$
	$=$	$- x^{- 2}$
	$=$	$\frac{- 1}{x^{2}}$

$f ´ (x)$	$=$	$\frac{2 a \cdot x^{2 a - 1}}{4 a}$
	$=$	$\frac{x^{2 a - 1}}{2}$

Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel

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