Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.

Hinweis: Bei der Eingabe in den Lösungsfeldern musst du Potenzen mit '^' schreiben (zum Beispiel x^2 und nicht x²), damit die Lösung als richtig erkannt wird.

$f\left(x\right)=x^2\cdot x$

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x+7\right)$

2

Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen unter Verwendung der Produktregel:

$\displaystyle f(x)=x^2\cdot(x-1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$f(x)=x^2\cdot(x-1)$
Wende die Produktregel an.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f'(x)&=2x\cdot(x-1)+x^2\cdot1 \\ &=2x^2-2x+x^2 \\ &=3x^2-2x\end{aligned}$
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\displaystyle f(x)=\left( x^2+\frac{1}{4}x\right)\cdot(x^3+3)

$\displaystyle f(x)=4x^2\cdot(-2x-2)$

Zum Lösen dieser Aufgabe benötigst du die Produktregel.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= 4x^2\cdot(-2x-2) \\f'(x) &= 8x\cdot(-2x-2)+4x^2\cdot(-2) \\&=(-16x^2)-16x-8x^2 \\&=(-24x^2)-16x\end{aligned}$
Wende die Produktregel an.
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3

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Quotientenregel.

\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^2}{2x+2}

\displaystyle f\left(x\right)=\frac4{3x-2}

\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2x+1}{2x-1}

\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(2x-1\right)^2}

\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x^5}

4

Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel ab.

Hinweis: Man kann die Aufgaben auch ohne Quotientenregel lösen.

$f(x)=\frac{1}{x}$

$\displaystyle f\left(x\right)$ $=$ $\displaystyle \frac{x^{2a}}{4a}$
$\displaystyle f´\left(x\right)$ $=$ $\displaystyle \frac{2a\cdot x^{2a-1}}{4a}$
$=$ $\displaystyle \frac{x^{2a-1}}{2}$
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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot x$
	↓	Wende die Produktregel an
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot x+x^2\cdot1$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle 3x^2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x+7\right)$
	↓	Wende die Produktregel an
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot\left(x^2+x+7\right)+\left(x-1\right)\cdot\left(2x+1\right)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle x^2+x+7+2x^2+x-2x-1$
	$=$	$\displaystyle 3x^2+6$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{(2x+2)\cdot2x-x^2\cdot2}{(2x+2)^2}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4x^2+4x-2x^2}{(2x+2)^2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2x^2+4x}{[2(x+1)]^2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2x\cdot(x+2)}{4\cdot(x+1)^2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x\cdot(x+2)}{2\cdot(x+1)^2}$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{(3x-2)\cdot0-4\cdot3}{(3x-2)^2}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{12}{(3x-2)^2}$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot2-(2x+1)\cdot2}{(2x-1)^2}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot(2x-1-2x-1)}{(2x-1)^2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{(2x-1)^2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x^2+\frac{1}{4}x\right)\cdot\left(x^3+3\right)$
	↓	Wende die Produktregel an.
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2x+\frac{1}{4}\right)\cdot\left(x^3+3\right)+\left(x^2+\frac{1}{4}x\right)\cdot3x^2$
	$=$	$\displaystyle 2x^4+6x+\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{4}+3x^4+\frac{3}{4}x^3$
	$=$	$\displaystyle 5x^4+x^3+6x+\frac{3}{4}$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{(2x-1)^2\cdot2-(2x+1)\cdot2\cdot(2x-1)\cdot2}{[(2x-1)^2]^2}$
	↓	$(2 x - 1)$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot[2\cdot(2x-1)-4\cdot(2x+1)]}{(2x-1)^4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4x-2-8x-4}{(2x-1)^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-4x-6}{(2x-1)^3}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{2\cdot(2x+3)}{(2x-1)^3}$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^5\cdot2-(2x+3)\cdot5x^4}{(x^5)^2}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2x^5-10x^5-15x^4}{x^{10}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-8x^5-15x^4}{x^{10}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^4\cdot(-8x-15)}{x^{10}}$
	↓	Faktorisiere.
	$=$	$\displaystyle -\frac{8x+15}{x^6}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x}$
	$=$	$\displaystyle x^{-1}$
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -1\ x^{-1-1}$
	$=$	$\displaystyle -x^{-2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-1}{x^2}$

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2a\cdot x^{2a-1}}{4a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a-1}}{2}$

Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel

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