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Einführung zu Bruchgleichungen

12Hauptnenner-Methode (2/3)

Die Abbildung (rechts) zeigt das Schema zur Lösung von Bruchgleichungen mithilfe des Hauptnenners. Den Hauptnenner kannst du seit der letzten Folie bilden. Nun musst du alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern.

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Betrachte nochmals das Beispiel von vorher:   \;

1x⋅(x+3)=45x\displaystyle\frac1{x\cdot(x+3)}=\frac4{5x}

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⇒\Rightarrow Der Hauptnenner besteht aus den Bausteinen [x][x], [x+3][x+3] und [5][5].

⇒\Rightarrow Hauptnenner: 5⋅x⋅(x+3)5\cdot x\cdot (x+3)

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Schema Hauptnenner-Methode Bruchgleichungen

Nun musst du alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern!

Achte darauf:

Jeder Bruch muss im Nenner jeden Baustein enthalten.

Betrachten wir die Brüche einzeln:

1. Bruch:

==1x⋅(x+3)\phantom{==}\dfrac1{\color{#FF6600}{x}\cdot\color{#cc0000}{(x+3)}}

Ermittle, welche Bausteine des Hauptnenners im Nenner des Bruchs fehlen (die Farben helfen dir dabei). Es fehlt der Baustein: [5]\color{#009999}{[5}] Erweitere mit diesem, indem du den Nenner und den Zähler mit [5]\color{#009999}{[5}] multiplizierst.

1⋅55⋅x⋅(x+3)=55⋅x⋅(x+3)\dfrac{1\cdot\color{#009999}{5}}{\color{#009999}{5}\cdot\color{#FF6600}{x}\cdot\color{#cc0000}{(x+3)}}=\dfrac5{\color{#009999}{5} \cdot\color{#ff6600}{x} \cdot\color{#cc0000}{(x+3)}}

Jetzt hat der Bruch den Hauptnenner als Nenner.

2. Bruch

==45⋅x\phantom{==}\dfrac4{\color{#009999}{5}\cdot\color{#ff6600}{x}}

Hier fehlt der Baustein: [x+3]\color{#cc0000}{[x+3}]. Erweitere mit diesem.

4⋅(x+3)5⋅x⋅(x+3)\dfrac{4\cdot\color{#cc0000}{(x+3)}}{\color{#009999}{5}\cdot\color{#ff6600}{x}\cdot\color{#cc0000}{(x+3)}}


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