23Bruchgleichungen graphisch (2/2)

Definitionslücken

Die Definitionslücken einer Funktion sind im Graphen besonders gut als senkrechte Asymptoten erkennbar. Hier zeigen die gestrichelten Linien in der Grafik die senkrechten Asymptoten, also die Stellen an denen $f$ bzw. $g$ nicht definiert sind.

In dem Fall rechts gibt es zwei Asymptoten, nämlich bei der $-1$ und bei der $3$ .

An diesen Stellen sind die Nenner der Funktionsterme gleich $0$ . Alle anderen Werte können wir einsetzen. Für die Definitionsmenge $D_f$ von $f$ und für die Definitionsmenge $D_g$ von $g$ gilt also:

$D_f=\mathbb{Q}\backslash\{-1\}$
$D_g=\mathbb{Q}\backslash\{3\}$

Also ist die Definitionsmenge der Gleichung $D=\mathbb{Q}\backslash\{-1{,}3\}$ .

Lösung der Gleichung

Gesucht ist die Lösung von $f(x)=g(x)$ mit

$f(x)=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle {x+1}}$ und $g(x)=-\frac{\displaystyle 9} {\displaystyle {x-3}}$ .

Bestimmst du den Schnittpunkt der Graphen, erhältst du auch gleichzeitig die Lösung der Gleichung.

An den Graphen von oben kannst du den Schnittpunkt bestimmen, dieser liegt bei $P=\left(0\ |\ 3\right)$ . Es liegen keine weiteren Schnittpunkte vor.

Lies nun die $x$ -Koordinate von dem Schnittpunkt ab, diese ist die Lösung der Gleichung. Bei dem Beispiel ist $x_{p}=0$ die $x$ -Koordinate von $P$ . $x=0$ ist in der Definitionsmenge $D$ enthalten und somit tatsächlich eine Lösung der Gleichung.

Die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts $x=0$ ist die Lösung der Gleichung.

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