e-Funktion

Die Exponentialfunktion mit der Basis $e$ , der Eulerschen Zahl, wird natürliche Exponentialfunktion oder auch $e$ -Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:

f : ℝ \to ℝ^{+}, x \mapsto e^{x}

Besonderheit

Die Exponentialfunktion erfüllt in allen Punkten die Eigenschaft $f (a + b) = f (a) \cdot f (b)$ (dies wird auch als definierende Eigenschaft der e-Funktion bezeichnet)

Wieso ist das so?

Auch für die Exponenten der Exponentialfunktion gelten ganz normal die Potenzgesetze:

$f (a + b) = e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b} = f (a) \cdot f (b)$

Die Vielfachen der e-Funktion sind die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft: $f^{'} (x) = f (x)$

Wieso gilt diese Gleichung für die e-Funktion

Es ist bekannt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ gegeben ist durch $f^{'} (x) = \ln (a) \cdot a^{x}$ . Für die natürliche Exponentialfunktion mit Basis $e$ gilt also:

f^{'} (x) = {(e^{x})}^{'} = \ln (e) \cdot e^{x} = e^{x} = f (x)

Dabei wurde verwendet, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist und deswegen $\ln (e) = \ln (e^{1}) = 1$ gilt.

Gibt es noch andere Funktionen mit dieser Eigenschaft?

Wir nehmen an, dass für eine Funktion $f$ die Gleichung $f^{'} (x) = f (x)$ gilt.

Jetzt bilden wir die Hilfsfunktion $g (x) = e^{- x} \cdot f (x)$ und leiten sie mit der Produktregel ab. Dabei verwenden wir, dass die Ableitung von $e^{- x}$ nach der Kettenregel $- e^{- x}$ ist.

g^{'} (x) = - e^{- x} \cdot f (x) + e^{- x} \cdot f^{'} (x)

Weil $f^{'} (x) = f (x)$ ist, können wir das vereinfachen zu

g^{'} (x) = - e^{- x} \cdot f (x) + e^{- x} \cdot f (x) = 0.

Darum muss die Funktion $g$ konstant sein, also $g (x) = c$ .

Weil also $g (x) = e^{- x} \cdot f (x) = c$ ist, erhalten wir durch Multiplikation mit $e^{x}$ daraus

f (x) = c \cdot e^{x} .

Daher sind die Vielfachen der Exponentialfunktion die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft $f^{'} (x) = f (x)$ .

Eigenschaften

Die $e$ -Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Exponentialfunktionen zu beliebigen positiven Basen. Weil $e \approx 2,718 > 1$ , ist sie streng monoton steigend.

Graph der $e$ -Funktion:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1686.xml

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus. Für $f (x) = e^{x}$ gilt also:

$f^{- 1} (x) = \ln (x) \Rightarrow e^{\ln (x)} = x = \ln (e^{x})$

Ableitung und Stammfunktion

Wie bereits erwähnt gilt:

$f^{'} (x) = f (x) = e^{x}$

Folglich ist die Stammfunktion $F (x) = e^{x}$ , denn $F^{'} (x) = e^{x} = f (x)$ .

Übungsaufgaben

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Gemischte Aufgaben zur e- und ln-Funktion

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