Aufgaben
In den folgenden Bildern ist je eine Ebene E dargestellt. Stelle die dargestellte Ebene in Parameterform auf.

Ebene in Parameterform aufstellen

Lese die gegebenen Punkte ab:
A(1;  0;  0)\mathrm A(1;\;0;\;0)   ,   B(0;  3;  0)\mathrm B(0;\;3;\;0)
Der Vektor  AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}   ist einer der Richtungsvektoren der Ebene E\mathrm E .
AB=BA=(030)(100)=(130)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}
Der zweite Richtungsvektor v\overrightarrow{\mathrm v}  ist parallel zur  x3Achse{\mathrm x}_3-\mathrm{Achse}  .
  v=(001)\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
Wähle den Punkt  A\mathrm A  oder  B\mathrm B  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  E\mathrm E  auf.
E:  x=(100)+λ(130)+μ(001)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

Ebene in Parameterform aufstellen

Lese die gegebenen Punkte ab:
A(2;  0;  0)\mathrm A(2;\;0;\;0)   ,   B(0;  0;  3)\mathrm B(0;\;0;\;3)
Der Vektor  AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}   ist einer der Richtungsvektoren der Ebene E\mathrm E .
AB=BA=(003)(200)=(203)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}
Der zweite Richtungsvektor  v\overrightarrow{\mathrm v}  ist parallel zur  x2Achse{\mathrm x}_2-\mathrm{Achse}  .
  v=(010)\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}
Wähle den Punkt  A\mathrm A  oder  B\mathrm B  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  E\mathrm E  auf.
E:  x=(200)+λ(203)+μ(010)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}

Ebene in Parameterform aufstellen

Lese die gegebenen Punkte ab:
A(1;  0;  0)\mathrm A(1;\;0;\;0)   ,   B(0;  3;  0)\mathrm B(0;\;3;\;0)   ,   C(0;  0;  2)\mathrm C(0;\;0;\;2)
Der Vektor  AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}   und AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  sind die Richtungsvektoren der Ebene E\mathrm E .
AB=BA=(030)(100)=(130)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}
AC=CA=(002)(100)=(102)\overrightarrow{AC}=\overrightarrow C-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}
Wähle einen der  Punkte  A\mathrm AB\mathrm B  oder C\mathrm C  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  E\mathrm E  auf.
E:  x=(100)+λ(130)+μ(102)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}

Ebene in Parameterform aufstellen

Lese die gegebenen Punkte ab:
A(0;  0;  3)\mathrm A(0;\;0;\;3)
Einer der Richtungsvektoren der Ebene  E\mathrm E  ist parallel zur  x1Achse{\mathrm x}_1-\mathrm{Achse} .
  v=(100)\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
Der andere Richtungsvektor ist parallel zur  x2Achse{\mathrm x}_2-\mathrm{Achse} .
  u=(020)\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}
Wähle den Punkt  A\mathrm A  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung Ebene  E\mathrm E  auf.
E:  x=(003)+λ(100)+μ(010)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}

Gegeben sind die parallelen Geraden  %%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%  und  %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}%%  . Bestimme die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  in Parameterform, in der die beiden Geraden  %%\mathrm g%%  und  %%\mathrm h%%  liegen.

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den Vektor zwischen den Aufpunkten  %%{\mathrm A}_\mathrm g%%  und  %%{\mathrm A}_\mathrm h%%  der

beiden Geraden als ersten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne  %%\overrightarrow{{\mathrm A}_\mathrm g{\mathrm A}_\mathrm h}%%  .

%%\overrightarrow{{\mathrm A}_\mathrm g{\mathrm A}_\mathrm h}=\overrightarrow{{\mathrm A}_\mathrm h}-\overrightarrow{{\mathrm A}_\mathrm g}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\\-2\end{pmatrix}%%

Wähle einen der Aufpunkte der beiden Geraden, z.b.  %%{\mathrm A}_\mathrm g%%  ,

als Aufpunkt der Ebene.

Wähle einen der Richtungsvektoren der beiden Geraden

z.B.  %%\overrightarrow{{\mathrm v}_\mathrm g}%%  , als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Stelle nun die Ebenengleichung auf.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\4\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%

Gegeben ist die Gerade  %%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}%%  und der Punkt  %%\mathrm P(1;\;-3;\;-3)%%  , der nicht auf der Geraden liegt. Bestimme die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  in Parameterform, in der der Punkt  %%\mathrm P%%  und die Gerade  %%\mathrm g%%  liegen.

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den Richtungsvektor der Geraden  %%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}%%  als ersten

Richtungsvektor und den Vektor zwischen dem Punkt %%\mathrm P%%  und dem

Aufpunkt %%\mathrm A%%  der Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene %%\mathrm E%% .

Berechne  %%\overrightarrow{\mathrm{PA}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm A}-\overrightarrow{\mathrm P}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\mathrm P%%  als Aufpunkt der Ebene %%\mathrm E%%  . 

%%\Rightarrow\;\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

Gegeben sind die zueinander windschiefen Geraden  g:  x=(132)+λ(123)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}  und  h:  x=(1443)+μ(230)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix} . Bestimme die Gleichung der Ebene  E\mathrm E  in Parameterform, in der die Gerade  g\mathrm g  liegt und zu der die Gerade  h\mathrm h  parallel ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den Aufpunkt der Geraden  g\mathrm g  als Aufpunkt und die beiden Richtungsvektoren u=(123)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}  und  v=(230)\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}  der Geraden als Richtungsvektor  der Ebene  E\mathrm E .
Die Gleichung der Ebene lautet dann :      E:  x=(132)+λ(123)+μ(230)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}


Stelle aus den folgenden drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

%%\mathrm A(1 ;\;0 ;\;3)%%   ,   %%\mathrm B(0 ;\;2 ;\;1)%%   ,   %%\mathrm C(2 ;\;2 ;\;4)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(0;\; 1;\;2)%%   ,   %%\mathrm B(3 ,\;3 ;\;3)%%   ,   %%\mathrm C(-1;\; 1;\;4)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(0;\; 0;\;0)%%   ,   %%\mathrm B(1;\; 0;\;3)%%   ,   %%\mathrm C(-1;\;2 ;\;0)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm O}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow O+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

Den Ortsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm O}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}%%  kann man auch weglassen.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(1;\; 1;\;-1)%%   ,   %%\mathrm B(1;\;2;\;1)%%   ,   %%\mathrm C(0;\;3;\;1)%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  :
AB=BA=(121)(111)=(012)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}
AC=CA=(031)(111)=(122)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}
Wähle  OA\overrightarrow{\mathrm{OA}}  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung E:  x=OA+λAB+μAC\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}  ein.
E:  x=(111)+λ(012)+μ(122)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}
E:  x=(111)+λ(012)+μ(122)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}

%%\mathrm A(3;\;1;\;2)%%   ,   %%\mathrm B(2;\;3;\;1)%%   ,   %%\mathrm C(4;\;3;\;3)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(2;\;2;\;2)%%   ,   %%\mathrm B(5;\;2;\;1)%%   ,   %%\mathrm C(3;\;2;\;4)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(40;\;80;\;0)%%   ,   %%\mathrm B(20;\;60;\;10)%%   ,   %%\mathrm C(55;\;90;\;20)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform

aufstellen

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}20\\60\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}%%

Da sich die Richtung eines Vektors durch Multiplikation mit einer reellen Zahl nicht ändert, kann man  %%10%%  ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}55\\90\\20\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}%%

Auch hier kann man  %%5%%  ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}%%

Stelle aus zwei Punkten und einem Richtungsvektor eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

%%\mathrm A(1;\;3;\;-2)%%   ,   %%\mathrm B(3;\;7;\;5)%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als ersten Richtungsvektor und  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%% .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\7\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\7\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ein.

%%\mathrm A(2;\;1;\;-3)%%   ,   %%\mathrm B(1;\;-3;\;-3)%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als ersten Richtungsvektor und  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%% .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}%%

Um einen einfacheren Vektor zu erhalten, kann man gegebenenfalls noch  %%-1%%  ausklammern.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(8;\;13;\;9)%%   ,   %%\mathrm B(4;\;-3;\;-1)%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-6\\1\\1\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als ersten Richtungsvektor und  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  als

zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\13\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-16\\-10\end{pmatrix}%%

Um einen einfacheren Vektor zu erhalten, kann man gegebenenfalls noch %%-2%%  ausklammern.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}2\\8\\5\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}8\\13\\9\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-6\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\8\\5\end{pmatrix}%%

Stelle aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebenengleichung in Parameterform auf.
A(1;  3;  2)\mathrm A(1;\;3;\;-2)   ,   u=(2107)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}   ,    v=(126)\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  OA\overrightarrow{\mathrm{OA}}  als Aufpunkt und u\overrightarrow{\mathrm u}  und  v\overrightarrow{\mathrm v}  als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung  E:  x=OA+λu+μv\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm u}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm v}  ein:
E:  (132)+λ(2107)+μ(126)\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}
A(1;  1;  1)\mathrm A(1;\;1;\;1)   ,   u=(111)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}   ,    v=(111)\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  OA\overrightarrow{\mathrm{OA}}  als Aufpunkt und  u\overrightarrow{\mathrm u}  und  v\overrightarrow{\mathrm v}  als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung  E:  x=OA+λu+μv\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm u}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm v}  ein:
E:  (111)+λ(111)+μ(111)\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}
A(5;  5;  23)\mathrm A(5;\;5;\;-23)   ,   u=(6117)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}6\\1\\-17\end{pmatrix}   ,    v=(1,528)\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1,5\\-2\\8\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Paramterform aufstellen

Wähle  OA\overrightarrow{\mathrm{OA}}  als Aufpunkt und  u\overrightarrow{\mathrm u}  und  v\overrightarrow{\mathrm v}  als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung  E:  x=OA+λu+μv\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm u}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm v}  ein:
E:  (5523)+λ(6117)+μ(1,528)\mathrm E:\;\begin{pmatrix}5\\5\\-23\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}6\\1\\-17\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1,5\\-2\\8\end{pmatrix}
E:  (5523)+λ(6117)+μ(1,528)\mathrm E:\;\begin{pmatrix}5\\5\\-23\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}6\\1\\-17\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1,5\\-2\\8\end{pmatrix}
Gegeben sind die Geraden  g:  x=(223)+λ(211)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}  und  h:  x=(301)+μ(122)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}  , die sich im Punkt  S(2;  2;  3)\mathrm S(2;\;2;\;-3)  schneiden. Bestimme die Ebene  E\mathrm E  in Parameterform, in der beide Geraden liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den gemeinsamen Schnittpunkt  S\mathrm S  der Geraden als Aufpunkt und die beiden Richtungsvektoren  u=(211)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}  und  v=(122)\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}  der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene E\mathrm E .
Die Gleichung der Ebene  E\mathrm E  lautet dann:     E:  x=(223)+λ(211)+μ(122)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
Die Gleichung der Ebene  E\mathrm E  lautet dann:     E:  x=(223)+λ(211)+μ(122)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
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