Aufgaben
Berechne den Vektor zwischen den Punkten.
A=(11),B=(11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen

Um den Vektor zwischen AA und BB zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.
AB=ba\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a
Setz die Werte ein.
AB=(11)(11)\displaystyle \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
=(1111)=(22)=\displaystyle \begin{pmatrix}-1-1\\-1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}
C=(1050),D=(714)\displaystyle C=\begin{pmatrix}10\\50\end{pmatrix},\,D=\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen

Um den Vektor zwischen CC und DD zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.
CD=dc\overrightarrow{CD}=\overrightarrow d-\overrightarrow c
Setz die Werte ein.
CD=(714)(1050)\displaystyle \overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\50\end{pmatrix}
=(7101450)=(336)=\begin{pmatrix}7-10\\14-50\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-36\end{pmatrix}
E=(32),F=(52)\displaystyle E=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix},\, F=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen

Um den Vektor zwischen EE und FF zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.
EF=fe\overrightarrow{EF}=\overrightarrow f-\overrightarrow e
Setz die Werte ein.
EF=(52)(32)\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}
(5(3)22)=(80)\begin{pmatrix}5-(-3)\\2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}
Bestimme die Koordinaten des Vektors, der im Bild zu sehen ist.
Vektor

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor

Aufgabenstellung
Zähle am Gitternetz die Zahl der Kästchen ab, die der Vektor nach rechts/links bzw. oben/unten führt.
Ablesen
Wie du links in der Skizze erkennen kannst, führt der Vektor zwei Kästchen nach rechts und drei Kästchen nach oben.
Da der Vektor nach oben und rechts führt, sind beide Koordinaten positiv.
\Rightarrow Der Vektor hat die Koordinaten(23)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
Vektor

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor

Vektor
Zähle am Gitternetz die Zahl der Kästchen ab, die der Vektor nach rechts/links bzw. oben/unten führt.
Ablesen
Wie du links in der Skizze erkennen kannst, führt der Vektor vier Kästchen nach rechts und ein Kästchen nach unten.
Vorsicht! Da der Vektor nach unten führt, ist die yy-Koordinate negativ.
\Rightarrow Der Vektor hat die Koordinaten(41)\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}
Bestimme die Koordinaten des Vektors v\vec{v} mit Fußpunkt AA und Spitze BB.
A(20)A(2|0), B(89)B(8|9)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren

v=(bxaxbyay)\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}

A(20)ax=2,ay=0A(2|0)\Rightarrow a_x=2,a_y=0
B(89)bx=8,by=9B(8|9)\Rightarrow b_x=8,b_y=9
Setze die Koordinaten des Fußpunkts und der Spitze in die Formel ein.
(8290)=(69) \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 9 - 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}
Damit hast du die Koordinaten berechnet.
v=(69)\Rightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}
Skizze des Vektors:
Skizze
A(45)A(4|5), B(01)B(0|1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren

v=(bxaxbyay)\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}
Setze die Werte ein.
(0415)=(44)\begin{pmatrix} 0 - 4 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix}
Skizze des Vektors:
Skizze
A(41)A(-4|-1), B(41)B(4|1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren

v=(bxaxbyay)=(4(4)1(1))=(82)\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - (-4) \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}
A(40)A(-4|0), B(77)B(7|-7)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren

v=(bxaxbyay)=(7(4)70)=(117)\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - (-4) \\ -7 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -7 \end{pmatrix}

Bestimme die Koordinaten des angegebenen Vektors

Der Vektor %%\vec{v}%% verläuft von Punkt %%A(2|-10)%% zum Punkt %%B(-8|7)%%.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinaten eines Vektors bestimmen

Koordinaten eines Vektors bestimmen

Fußpunkt und Spitze von v\vec{v} sind wie in der Beschreibung der Formel zur Bestimmung der Koordinaten als AA bzw. BB bezeichnet.
Setze die Koordinaten von AA und BB in die Formel ein.
v=(bxaxbyay)=(827(10))\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 2 \\ 7 - (-10) \end{pmatrix}
v=(1017)\vec{v} = \begin{pmatrix} -10 \\ 17 \end{pmatrix}


Vektor %%\vec{a}%% hat Fuß %%P(3|6)%% und Spitze %%Q(1|1)%%.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinaten eines Vektors zwischen 2 Punkten bestimmen



Fuß: P(36)P(3|6)
Spitze: Q(11)Q(1|1)
Verwende zur Berechnung der Koordinaten die Formel zur Bestimmung der Koordinaten.
a=(bxaxbyay)\vec{a} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}
Die Punkte sind in diesem Fall nicht als AA und BB bezeichnet. Dementsprechend muss die Formel angepasst werden.
a=(qxpxqypy)\vec{a} = \begin{pmatrix} q_x - p_x \\ q_y - p_y \end{pmatrix}
P(36)px=3,py=6P(3|6) \Rightarrow p_x = 3, p_y = 6Q(11)qx=1,qy=1Q(1|1) \Rightarrow q_x = 1, q_y = 1
Nun kannst du die Koordinaten der Punkte in die Formel einsetzen.
a=(1316)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 1 - 6 \end{pmatrix}
a=(25)\vec{a}= \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}

%%\vec{w}%% hat Fuß %%B(-1|2)%% und Spitze %%A(-1|-3)%%.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinaten eines Vektors zwischen 2 Punkten bestimmen



Fuß: B(12)B(-1|2)
Spitze: A(13)A(-1|-3)
Verwende zur Berechnung der Koordinaten die Formel zur Bestimmung der Koordinaten.
a=(bxaxbyay)\vec{a} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}
Vorsicht! In dieser Aufgabe sind der Fuß als BB und die Spitze als AA bezeichnet, also genau umgekehrt wie in der Formel. Diese lautet also in diesem Fall:
a=(axbxayby)\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}
B(12)bx=1,by=2B(-1|2) \Rightarrow b_x = -1, b_y = 2A(13)ax=1,ay=3A(-1|-3) \Rightarrow a_x = -1, a_y = -3
Nun kannst du die Koordinaten der Punkte in die Formel einsetzen.
a=(1(1)32)\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 - (- 1) \\ -3 - 2 \end{pmatrix}
a=(05)\vec{a}= \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \end{pmatrix}

Repräsentanten

Von allen abgebildeten Vektoren sind mehrere Repräsentanten im Gitternetz zu sehen. In der folgenden Abbildung sind Repräsentanten desselben Vektors in derselben Farbe eingefärbt.
Vektoren markiert
Somit reicht es, wenn du von jedem Vektor nur einen Repräsentanten betrachtest und dessen Koordinaten und somit die des Vektors bestimmst. Es ergeben sich vier Vektoren. Hier werden sie als t\vec{t}, u\vec{u}, v\vec{v} und w\vec{w} bezeichnet.
t=(11)\color{#FF6600}{\vec{t} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}}, u=(21)\color{#009999}{\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}}, v=(32)\color{#006400}{\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}} und w=(02)\color{#660099}{\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}}
Bestimme jeweils die Koordinaten des Vektors v\vec v und veranschauliche in den Teilaufgaben b) bis d) durch eine Zeichnung!
Vektor

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkoordinaten

Zähle am Gitternetz die Anzahl der Längeneinheiten ab, die der Vektor (vom Fuß zur Spitze) nach rechts/links bzw. oben/unten führt.
Längeneinheiten des Vektors
Der Vektor führt 5 LE nach rechts und 2 LE nach unten.
\Rightarrow Koordinaten: v=(52)\vec v = \begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}
A(21),B(57,5),v=ABA(2|1), B(5|7,5), \vec v = \overrightarrow{AB}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen

geg.: A(21),B(57,5)A(2|1), B(5|7,5)
ges.: v=AB\vec v = \overrightarrow{AB}
Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors der Punkte AA und BB, indem du "Spitze minus Fuß" rechnest!
v=AB=(527,51)=(36,5)\displaystyle \vec v = \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}5-2\\7,5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6,5\end{pmatrix}

Grafische Veranschaulichung

Graphische Veranschaulichung
Gegenvektor von v=(1,54)\vec v = \begin{pmatrix}-1,5\\4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenvektor

geg.: v=(1,54)\vec v = \begin{pmatrix}-1,5\\4\end{pmatrix}
ges.: Gegenvektor v-\vec v
Um den Gegenvektor zu bestimmen, ändere bei jeder Koordinate des Vektors das Vorzeichen!
v=((1,5)4)=(1,54)\displaystyle -\vec v = \begin{pmatrix}-(-1,5)\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,5\\-4\end{pmatrix}

Grafische Veranschaulichung

Vektor und Gegenvektor
Berechne zu den gegebenen Koordinaten A,BA,B jeweils den Verbindungsvektor AB\overrightarrow{AB}.
Hinweis: Gib den Vektor ( xyz)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} als (x,y,z)\left(x,y,z\right) in das Feld ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen

Gegeben: A(001),B(100)A(0|0|-1), B(1|0|0)
Gesucht: AB\overrightarrow{AB}
Es ist AB=OBOA\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.
AB=(100)(0 0 1)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
AB=(10000(1))=(101)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 1-0 \\ 0-0 \\ 0-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
A(123),B(321)A(1|2|3), B(3|2|1)
A(246),B(321)A(-2|-4|-6), B(-3|-2|-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen

Gegeben: A(246),B(321)A(-2|-4|-6), B(-3|-2|-1)
Gesucht: AB\overrightarrow{AB}
AB=OBOA\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}
AB=(3(2)2(4)1(6))=(125)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -3-(-2) \\ -2-(-4) \\ -1-(-6) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}
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