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Aufgaben

Vereinfache jeweils so weit wie möglich: (je 1 BE)

a) %%-4^2-(-4)^2=\hspace{4mm}%%

b) %%\frac 3 5 a-(b-\frac 2 5 a)=\hspace{4mm}%%

Teilaufgabe a)

$$\begin{array}{lllll} &−4^2&−(−4)^2\\ =&-16&-(16)\\ =&-16&-16\\ =&-32 \end{array}$$

Quadriere den Minuend und Subtrahend (Inhalt der Klammer)

Teilaufgabe b)

$$\begin{array}{llll} &\frac{3}{5}a&−(b&−\frac{2}{5}a)\\ =&\frac{3}{5}a&-b&+\frac{2}{5}a\\ =&\frac{5}{5}a&-b\\ =&a&-b \end{array}$$

Ermittle für das abgebildete Viereck ABCD den genauen Wert des Flächeninhalts. (2 BE)

Damit du die Fläche einfacher berechnen kannst, teilst du das Viereck zuerst in dir schon bekannte Figuren auf. Die orangene Strecke %%f%% auf dem Bild zeigt eine Möglichkeit, bei der zwei Dreiecke als Figuren gewählt wurden.

Dann beginnst du den Flächeninhalt der Dreiecke zu berechnen:

%%\begin{array}{llll}A_{\triangle ABD} &=&\frac{1}{2}&\cdot g&\cdot h\\ &= &\frac{1}{2}&\cdot \Delta x&\cdot \Delta y\\ &=&\frac{1}{2}\hspace{7mm}&\cdot (x_B-x_A)\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{5mm}&\cdot (y_D-y_B)\\\end{array}%%

Nun setzt du die Koordinatenwerte in die Rechnung ein:

%%\begin{array}{lllll} A_{\triangle ABD}&=&\frac{1}{2}&\cdot (3 \;\mathrm{cm}-1 \;\mathrm{cm})&\cdot (5 \;\mathrm{cm}-1 \;\mathrm{cm})\\\ &=&\frac{1}{2} &\cdot2\;\mathrm{cm}&\cdot4\;\mathrm{cm}\\ &=&\frac{1}{2} &\cdot8\;\mathrm{cm}^2\\ &=&4\;\mathrm{cm}^2 \end{array}%%

Das andere Dreieck ist nicht rechtwinklig, deswegen kannst du die Höhe des Dreiecks nicht mit den Koordinaten der gegebenen Punkte berechnen.

Für diese Flächenberechnung definierst du den Punkt %%E%%, der auf der Grundlinie %%[BD]%% des Dreiecks %%BCD%% liegt und die y-Koordinate von %%C%% hat. Die Strecke %%[EC]%% hat nun dieselbe Länge wie die Höhe des Dreiecks und steht im Lot auf der Grundlinie des Dreiecks.

%%\begin{array}{llll}A_{\triangle BCD} &=&\frac{1}{2}&\cdot g&\cdot h\\ &=&\frac{1}{2}\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{1mm}&\cdot \Delta y &\cdot\Delta x\\ &=&\frac{1}{2} \hspace{6mm}&\cdot(y_D-y_B)\hspace{10mm}&\cdot(x_C-x_E)\\\end{array}%%

Nun setzt du wieder die Koordinatenwerte in die Rechnung ein:

%%\begin{array}{llll}A_{\triangle BCD}&=&\frac{1}{2} &\cdot(5\;\mathrm{cm}-1\;\mathrm{cm}) &\cdot(6\;\mathrm{cm}-3\;\mathrm{cm}) \hspace{10mm}\\ &= &\frac{1}{2} &\cdot 4 \;\mathrm{cm} &\cdot 3 \;\mathrm{cm}\\ &= & \frac{1}{2} &\cdot 12 \;\mathrm{cm}^2\\ &= &6 \;\mathrm{cm}^2 \end{array}%%

Und jetzt addierst du noch den Flächeninhalt der beiden Dreiecke für den Flächeninhalt des gesamten Vierecks:

%%\begin{array}{llll} A_{gesamt}&= &A_{\triangle ABD} &+ &A_{\triangle BCD}\\ &= &4\; \mathrm{cm}^2 &+ & 6\;\mathrm{cm}^2\\ &= &10 \;\mathrm{cm}^2 \end{array}%%

In der abgebildeten Karte mit dem Maßstab %%1:150\ 000%% ist in Fettdruck der ungefähre Verlauf des Radwegs um den Großen Brombachsee dargestellt.

Ermittle mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Länge dieses Radwegs. Gib die Länge in km an. (2 BE)

Bild nicht verfügbar! Klicke hier, um es anzuschauen.

Wenn du die Länge des Radweges in der Zeichnung ausmisst, wirst du in etwa eine Länge von %%10%% cm messen.

Du kennst den Maßstab der Zeichnung und weißt, dass ein Zentimeter in der Zeichnung bei einem Maßstab von %%1\,: \,150\,000%% %%150\,000%% cm in echt entsprechen.

%%10%% cm in der Zeichnung entsprechen dann %%10 \cdot 150\,000 = 1\,500\,000%% cm in echt.

Dies musst du nun noch in Kilometer umrechnen:

%%1\,500\,000 \text{ cm} = 15\, 000 \text{ m} = 15 \text{ km}%%

Der Radweg ist in etwa %%15%% km lang.

a) Gib drei zweistellige Primzahlen an. (1 BE)

b) Die beiden Produkte %%26\cdot 33%% und %%22\cdot 39%% haben den gleichen Wert. Begründe dies, ohne den Wert zu berechnen. (1 BE)

c) Klara behauptet: "Der Wert eines Produkts aus zwei beliebigen Faktoren ändert sich nicht, wenn man zum einen Faktor drei addiert und vom anderen Faktor drei subtrahiert." Begründe, dass Klara nicht recht hat. (1 BE)

Teilaufgabe a)

Für zweistellige Primzahlen gibt es einige. Drei Beispiele sind %%11%%, %%13%% und %%17%%. Alle weiteren Möglichkeiten findest du hier.

Teilaufgabe b)

Schaue dir bei diesen Produkten die Primfaktorzerlegung an:

%%26\cdot 33 = 2 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 11%%

%%22\cdot 39 = 2 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 13%%

Jetzt kannst du erkennen, dass beide Produkte aus den gleichen Faktoren bestehen. Damit müssen sie auch den gleichen Wert besitzen.

Teilaufgabe c)

Am einfachsten erklärst du, dass Klara falsch liegt, indem du ein Beispiel findet, wo sie nicht recht hat.

%%4 \cdot 2 = 8%%

Folgst du Klaras Anweisung, erhältst du das Produkt

%%(4-3)\cdot (2+3)=1\cdot 5= 5%%

Damit erhältst du nicht den gleichen Wert und somit liegt Klara mit ihrer Behauptung falsch.

Um im November sicher Naturschnee für eine Langlaufloipe zur Verfügung zu haben, soll in einem Wintersportort bereits im Januar Schnee angehäuft und mit einer Dämmschicht geschützt werden. Trotz der Dämmschicht ist davon auszugehen, dass im November nur noch etwa %%60 \% %% des im Januar angehäuften Schnees vorhanden sind. Berechne, wie viele %%\mathrm{m}^3%% Schnee im Januar mindestens angehäuft werden müssen, um daraus im November eine %%3\; \mathrm{km}%% lange, %%2 \;\mathrm{m}%% breite und %%50 \;\mathrm{cm}%% hohe Schneeschicht herstellen zu können. (2 BE)

Um die benötigte Menge an Schnee zu berechnen, musst du wissen wie viel %%\mathrm{m}^3%% Schnee im November für die Loipe benötigt werden. Die in der Aufgabe angegebenen Maße für die Loipe sind %%3 \;\mathrm{km}%%, %%2 \;\mathrm{m}%% und %%50 \;\mathrm{cm}%%. Um das Ergebnis am Ende in %%\mathrm{m}^3%% angeben zu können, wandelst du nun die Einheiten dieser Abmessungen in Meter um.

%%\begin{array}{lllll}3 &\cdot &1.000 &= &3.000 &\Rightarrow3.000\; \mathrm{m}\\ 50&:&100 &= &0,5 &\Rightarrow0,5 \;\mathrm{m}\end{array}%%

Jetzt kannst du auch schon die benötigten %%\mathrm{m}^3%% Schnee berechnen:

%%\begin{array}{lllll} &3.000\;\mathrm{m} &\cdot &2\;\mathrm{m} &\cdot&0,5\;\mathrm{m}\\ = &3.000\;\mathrm{m} &\cdot &1\;\mathrm{m}^2\\ = &3.000\;\mathrm{m}^3 \end{array}%%

Fehlt nur noch die Schneemenge für den Januar! Dafür kannst du den Dreisatz benutzen, indem du die %%3.000 \;\mathrm{m}^3%% Schnee aus dem November %%60\% %% zuordnest.

%%\begin{array}{llll}3.000 \; \mathrm{m}^3 &\rightarrow 60\%\\ (3.000:6= 500)\\ 500 \;\mathrm{m}^3 &\rightarrow 10\% \\ (500 \cdot 10 = 5.000)\\ 5.000\;\mathrm{m}^3 &\rightarrow 100\%\end{array}%%

%%\color{#ffffff}{Abstandshalter}%%

Lösungssatz:

Im Januar müssen mindestens %%5.000\;\mathrm{m}^3%% Schnee angehäuft werden, um daraus im November eine %%3 \;\mathrm{km}%% lange, %%2 \;\mathrm{m}%% breite und %%50 \;\mathrm{cm}%% hohe Schneeschicht herstellen zu können.

Die Tabelle gibt Aufschluss darüber, wie viel Zeit 11- bis 17-jährige Jugendliche täglich mit der Nutzung von Bildschirmmedien verbringen (Fernsehen/Video, Spielkonsole, PC/Internet).

Nutzungsdauer in Stunden pro Tag

0 bis 2

mehr als 2 bis 4

mehr als 4 bis 6

mehr als 6

Anteil der Jungen

28 %

31 %

21 %

20 %

Anteil der Mädchen

42 %

31 %

16 %

11 %

(Quelle: KiGGS, Studie zur Gesundheit von Kindern und Jugendlichen in Deutschland, Robert Koch-Institut )

a) Formuliere auf der Grundlage einer von dir ausgewählten Spalte der Tabelle eine Aussage über einen deutlichen Unterschied zwischen Jungen und Mädchen bezüglich der Nutzung von Bildschirmmedien. (1 BE)

b) Gib an, wie viel Prozent der 11- bis 17-jährigen Mädchen Bildschirmmedien mehr als zwei Stunden pro Tag nutzen. (1 BE)

c) Die in der Tabelle enthaltenen Informationen über Jungen sollen in einem Kreisdiagramm dargestellt werden. Berechne die Größe des Winkels, der zum Anteil der Jungen gehört, die Bildschirmmedien mehr als 6 Stunden pro Tag nutzen. (1 BE)

d) Eines der folgenden Kreisdiagramme passt zu den in der Tabelle enthaltenen Informationen über Mädchen. Kreuze nur dieses an. (1 BE)

Teilaufgabe a)

Eine Spalte, wo du einen großen Unterschied sehen kannst, ist "mehr als 4 bis 6": Hier ist der Anteil der Jungen 31 % und der Anteil der Mädchen 16 %. Das heißt der Anteil der Jungen ist fast doppelt so groß: %%16\cdot 2= 32%% %.

Genauso verhält es sich mit der Spalte "mehr als 6".

Teilaufgabe b)

Zu den Mädchen, die Bildschirmmedien mehr als zwei Stunden nutzen, gehören alle, außer denen, die sie zwischen 0 und 2 Stunden nutzen. Das heißt du kannst den Anteil ausrechnen, indem du die Gesamtheit, 100 %, minus den Anteil der Mädchen, die es zwischen 0 und 2 Stunden nutzen, rechnest.

%%100\% - 42\% = 58 \% %%

Alternativ könntest du auch alle Spalten außer der ersten addieren:

%%31 \% + 16\% + 11\%= 58\% %%

58 % ist der Anteil der Mädchen, die mehr als 2 Stunden täglich Bildschirmmedien nutzen.

Teilaufgabe c)

Du sollst den Anteil der Jungen, die Bildschirmmedien mehr als 6 Stunden täglich verwenden, in einem Kreis darstellen. Dieser Anteil beträgt 20 %. Die dazugehörige Gradzahl kannst du mittels Dreisatz oder der Prozentformel bestimmen.

Lösung mit Dreisatz

%%100 \% \quad\widehat{ = }\quad 360°%%

Ein ganzer Kreis hat 360°.

%%20 \% \quad\widehat{ = }\quad 360°: 5 = 72°%%

20 % ist ein Fünftel von 100 %, also musst du 360° durch 5 teilen.

Lösung mit Prozentformel

20 % ist der Prozentsatz und 360° der Grundwert. Du suchst den Prozentwert. Setze in die Prozentformel ein:

%%\text{PW}= \text{PS}\cdot \text{GW}= 0,2 \cdot 360°= 72°%%

Die Größe des Winkels beträgt 72°.

Teilaufgabe d)

Das richtige Diagramm kannst du herausfinden, indem du nacheinander drei der vier Diagramme ausschließt.

Diagramm A kannst du ausschließen, weil die Anteile unterschiedlich groß sind, in A sind aber alle gleich groß eingezeichnet.

Diagramm B kannst du ausschließen, weil der kleinste Anteil im Diagramm ungefähr ein Fünftel des Kreises ist. In der Tabelle ist der kleinste Anteil aber 11 % (letzte Spalte), was nur etwa ein Zehntel ist. Hier wurde also etwas falsch gemacht.

Diagramm C kannst du ausschließen, weil hier der größte Anteil größer als die Hälfte ist. Er müsste also größer als 50 % sein, der größte Anteil in der Tabelle ist aber nur 42 % (erste Spalte). Das passt also nicht zusammen.

Nachdem du alle anderen Diagramme ausschließen kannst, bleibt Diagramm D als richtiges Diagramm übrig.

Auf der Außenseite eines Würfels befinden sich zwei Pfeile. Die Abbildung zeigt den Würfel und sein Netz. Ergänze im Netz den fehlenden Pfeil. (1 BE)

Überlege dir als Erstes, wo die Kanten des Würfels im Würfelnetz liegen. Du siehst das Ergebnis rechts.

Der Pfeil am Würfel zeigt auf die lilane Kante und liegt parallel zur türkisen Seite, genauso kannst du diesen Pfeil in das Würfelnetz einzeichnen: parallel zur türkisen Seite und mit der Spitze auf die lilane Seite. Den eingezeichneten Pfeil siehst du unten.

Bestimme die Lösung der Gleichung über der Grundmenge %%\mathbb{Q}%%. (2 BE)

%%2\cdot (5+x)-x=14 + \frac 1 3 x%%

In dieser Aufgabe löst du eine lineare Gleichung.

%%2\cdot (5+x)-x=14 + \frac 1 3 x%%

Löse als ersten Schritt die Klammer auf.

%%10+2x-x=14 + \frac 1 3 x%%

Bringe alle %%x%% auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite.

%%2x-x-\frac13 x=14 -10%%

Fasse die Seiten zusammen.

%%\frac23 x= 4%%

Dividiere durch %%\frac23%%, d.h multipliziere mit %%\frac32%%.

%%x=4\cdot \frac32=6%%

Die Lösung ist %%x=6%%.

Lösungsmenge: %%\mathbb{L}=\left\{6\right\}%%

Die Zahl 6 ist ein Element von %%\mathbb{Q}%% (%%6\in \mathbb{Q}%%).

Die abgebildeten Punkte P, Q, R und S liegen auf dem Kreis um M mit Durchmesser [PQ].

a) Begründe, dass die Dreiecke PQS und PQR rechtwinklig sind. (1 BE)

b) Begründe, dass die Winkel %%\epsilon%% und %%\mu%% gleich groß sind. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Die Strecke %%[PQ]%% ist der Durchmesser des Kreises, auf dem der dritte Eckpunkt %%S%% des Dreiecks %%PQS%% liegt und der dritte Eckpunkt %%R%% des Dreiecks %%PQR%%. Das ist genau die Situation, die der Satz des Thales beschreibt. Deswegen sind die Dreiecke rechtwinklig.

Teilaufgabe b)

Aus der Teilaufgabe a) weißt du, dass du die Winkel %%\sphericalangle PSR%% und %%\sphericalangle PRQ%% beide die Größe %%90°%% haben und somit auch gleich groß sind.

Außerdem weißt du, dass die beiden Winkel in der Mitte gleich groß sind, weil sie Scheitelwinkel sind.

Damit müssen auch die jeweils dritten Winkel in dem Dreieck gleich groß sein, da alle Winkel im Dreieck immer in Summe %%180°%% ergeben.

Also müssen die Winkel %%\epsilon%% und %%\mu%% gleich groß sein.

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