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Aufgaben

a) Bestimme die Lösung der Gleichung %%3x-0,8=8+x%%. (1 BE)

b) Vereinfache den Term so weit wie möglich: (2 BE)

%%2a-a(1-a)-2a^2=%%

Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe musst du die Umformung von Gleichungen beherrschen.

%%\phantom{-8-}3x−0,8=8+x%%

%%|-8%%

%%3x-0,8-8=8+x-8%%

Fasse zusammen.

%%\phantom{-0,8}3x-8,8=x%%

%%|-3x%%

%%-8,8=-2x%%

%%\phantom{-}4,4=x%%

%%|:(-2)%%

Die Lösung lautet

%%x=4,4%%

Teilaufgabe b)

Gegeben: %%2a-a(1-a)-2a^2 =%%

Multipliziere den Faktor %%-a%% mit jedem Eintrag der Klammer.

%%2\ a-a\cdot(1)-a\cdot(-a)-2a^2\;=%%

Nun musst du ausmultiplizieren.

%%2a-a+a^2-2a^2 =%%

Im letzten Schritt fasst du alle %%a%% und %%a^2%% zusammen.

%%a-a^2%%

Lukas möchte wissen, wie viele Grashalme auf einem quadratischen Rasenstück stehen, das 1 %%\text{m}^2%% groß ist. Er legt dazu sein Lineal an einige Halme (vgl. Abbildung).

Schätze mithilfe der Abbildung nachvollziehbar die Anzahl der Grashalme auf dem Rasenstück ab. (2 BE)

Lösung der Aufgabe zur Grashalmanzahl

Für diese Aufgabe musst du dich mit Längeneinheiten und Flächeneinheiten auskennen.

Außerdem sind bei dieser offenen Aufgabe mehrere Lösungswege möglich.

Anzahl der Grashalme pro %%1\;cm%%

Anhand des Bildes sind etwa %%2%% Grashalme pro %%1\;cm%% Rasenlänge erkennbar. Wir nehmen an, dass die Grashalme auf dem Rasen gleichmäßig verteilt wachsen.

=> %%1\;cm%% Rasenlänge %%=2%% Grashalme.

Anzahl der Grashalme pro %%1\;cm^2%%

Da es sich aber um eine Rasenfläche handelt, entsprechen

%%1\;cm%% Rasenlänge %%=2%% Grashalme

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung.

%%1\;cm^2%% Rasen %%\;=\;4\;%% Grashalme.

Anzahl der Grashalme pro %%1\;m^2%%

%%1\;m^2\;=\;1\;m\;\cdot\;1\;m\;=\;100\;cm\;\cdot\;100\;cm\;=\;10\;000\;cm^2%%

Nun berechnen wir, wie viele Grashalme auf %%1\;m^2\;=\:10\;000\;cm^2%% wachsen:

Dafür nehmen wir die Gleichung von oben zur Hilfe.

%%1\;cm^2%% Rasen %%\;=\;4\;%% Grashalme

Hier multiplizieren wir auf beiden Seiten der Gleichung mit %%10\;000%%.

%%10\;000\;cm^2%% Rasen %%= 40\;000%% Grashalme

Unsere Antwort lautet nun: Auf %%1\;m^2%% Rasen wachsen ca. %%40\; 000%% Grashalme.

Ergänze: zwei Millionen achtzigtausend %%= \qquad\qquad\qquad \cdot 10^4%% (1BE)

Lösung zur Darstellung der Zahl zwei Millionen achtzigtausend

Für diese Aufgabe sind Kenntnisse zur Stellenwerttafel und dem Dezimalsystem nötig.

Zwei Millionen achtzigtausend in Ziffern geschrieben sind: %%2\;000\;000 + 80\;000 = 2\;080\;000%%.
Außerdem beachten wir, dass %%10^4\;=\; 10\;000\;\;%%

Beispiele für Exponenten zur Basis 10

%%10^1 = 10%%
%%10^2 = 100%%
%%10^3 = 1000%%
%%10^4 = 10 000%%

Lösungsmöglichkeit 1

Wir wollen wissen, wie viele Zehntausender %%2\;080\;000%% enthält, da %%10^4\;=\; 10\;000%% ist. Dafür nehmen wir die 10er Stellenwerttafel zur Hand.

M

HT

ZT

T

H

Z

E

2

0

8

0

0

0

0

Aus dem Stellenwertsystem können wir ablesen, dass die Zahl Zwei Millionen achtzigtausend aus %%208%% Zehntausendern besteht.

Genauso können wir das Komma, das wir uns hinter die letzte Stelle denken, also %%2\;080\;000, 0%% um vier Stellen nach links verschieben => %%208,00000%%.

Zusammenfassend können wir sagen: zwei Millionen achtzigtausend %%=208\;\cdot\;10^4%%.

Lösungsmöglichkeit 2

%%2\;080\;000\; =\;x\;\cdot\;10^4\;%%

Schreibe %%10^4%% um (ohne Exponenten)

%%2\;080\;000\; =\;x\;\cdot\;10\;000\;%%

Dividiere nun auf beiden Seiten der Gleichung durch %%10\;000%%.

%%2\;080\;000\;\div\;10\;000 \;=\; x\;%%

Rechne die Division auf der linken Seite der Gleichung aus.

%%208\;=\;x%%

%%\Rightarrow\;\;%% Unsere Antwort lautet nun zwei Millionen achtzigtausend %%=208\;\cdot\;10^4%%.

a) Prüfe für jede Aussage, ob sie mit dem Diagramm in Einklang steht. (1 BE)

1. Die Freizeitaktivität „Telefonieren“ nimmt im betrachteten Zeitraum ständig zu.

2. Die Freizeitaktivität „Telefonieren“ nimmt im betrachteten Zeitraum ständig ab.

3. Die Freizeitaktivität „Schwimmen gehen“ wurde jeweils am seltensten genannt.

4. Die Freizeitaktivität „Telefonieren“ wurde jeweils am häufigsten genannt.

b) Das Diagramm veranschaulicht die dargestellten Zahlen korrekt. Charlotte behauptet dennoch das Gegenteil. Sie begründet dies damit, dass die Seiten länge des Quadrats mit der „90“ ihrer Ansicht nach 10-mal so groß sein müsste wie die Seitenlänge des Quadrats mit der „9“. Gib an, warum Charlottes Begründung falsch ist. (1 BE)

c) Erläutere, woran man erkennen kann, dass bei dieser Befragung Mehrfachnennungen möglich waren. (1 BE)

d) Um wie viel Prozent hat die Freizeitaktivität „Sich mit dem Computer beschäftigen“ von Personen ab 14 Jahren in Deutschland von 1995 bis 2015 insgesamt zugenommen?

Wähle aus. (1 BE)

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Für diese Aufgabe musst du die Zahlen in den Zeilen und Spalten vergleichen und die Prozentrechnung beherrschen.

Teilaufgabe a)

  1. Die Aussage Die Freizeitaktivität "Telefonieren“ nimmt im betrachteten Zeitraum ständig zu ist falsch. Von 2005 bis 2015 nimmt sie von 90 auf 89 ab.

  2. Die Aussage Die Freizeitaktivität "Telefonieren“ nimmt im betrachteten Zeitraum ständig ab ist falsch. Von 1995 bis 2005 nimmt sie von 59 auf 90 zu.

  3. Die Aussage Die Freizeitaktivität "Schwimmen gehen“ wurde jeweils am seltensten genannt ist falsch. Die Freizeitaktivität "Sich mit dem Computer beschäftigen" wurde 1995 am seltensten genannt.

  4. Die Aussage Die Freizeitaktivität „Telefonieren“ wurde jeweils am häufigsten genannt ist richtig.

Teilaufgabe b)

Im Diagramm werden die Inhalte durch die Fläche und nicht durch die Seitenlänge der Quadrate dargestellt. Da sich die Berechnung der Fläche durch Multiplikation der Seitenlängen ergibt, sind die Unterschiede nicht so groß.

Teilaufgabe c)

Bei 100 Befragten gab es pro Jahr mehr als 100 Rückmeldungen.

Beispiel 1995: Die Summe der Rückmeldungen beträgt %%27+33+59+11=130.%%

Dies bedeutet, dass es Mehrfachmeldungen gab.

Teilaufgabe d)

Im Jahr 1995 gaben 11 Befragte an, sich mit dem Computer zu beschäftigen. Im Jahr 2015 waren es 61. Damit ist 11 der Grundwert und 50 der Prozentwert. Wenn du die Formel für Prozentrechnung verwendest, erhältst du

%%\displaystyle\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}=\frac{50}{11}=4.5454…%%

Nun musst du das Ergebnis noch in Prozent umrechnen:

%%4,5454 \cdot 100 \% = 454,54 \ \%\approx 455\,\% %%

Die Freizeitaktivität „Sich mit dem Computer beschäftigen“ hat von 1995 bis 2015 um %%455\,\% %% zugenommen.

Simon konstruiert ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen %%a = 10 \; \mathrm{cm}%% , %%h_a=4,8\ \mathrm{cm}%% und %%\alpha =90°%%. Seine wesentlichen Konstruktionsschritte sind in der Bilderreihe schematisch dargestellt.

a) Ergänze Simons Überlegungen zur Konstruktion. (2 BE)

Die Seite a legt die Punkte B und C fest.

Der Punkt A liegt auf:

1.

2.

b) Berechne den Flächeninhalt F des Dreiecks ABC aus den gegebenen Größen. (2 BE)

c) Zusätzlich zu den gegebenen Größen gilt %%b = 8%%cm. Stelle eine Gleichung auf, mit der die Seitenlänge c berechnet werden kann. (1 BE)

Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.

Lösung Teilaufgabe a)

Für die Lösung der Teilaufgabe a) solltest du Kenntnisse über die Eigenschaften der Höhe eines Dreiecks und den Satz des Thales haben.

Gegeben: Die Seite a legt die Punkte B und C fest.
Gesucht: Der Punkt A liegt auf:

1.
2.

Für 1. benutzt du das zweite Bild der Bildreihe und die Angabe %%h_a\;=\;4,8\;cm%%. Außerdem nutzt du dein Wissen zur Höhe in einem Dreieck. Die Höhe %%h_a%% ist eine Strecke, die senkrecht auf der Seite a = [BC] steht und im Punkt A endet. Daraus kannst du folgern, dass der Punkt A auf der paralellen Geraden zur Strecke [BC] im Abstand %%4,8\;cm%% liegt.

parallele Gerade zu Strecke AB

Wir halten fest: Der Punkt A liegt auf einer parallelen Geraden, die den Abstand %%h_a\;=\:4,8\;cm%% von der Strecke [BC] hat.

Für 2. betrachtest du das dritte Bild der Bildreihe und nutzt dein Wissen zum Satz des Thales bzw. der Umkehrung des Thalessatzes.
Liegt unser Punkt A zusätzlich auf dem Thaleskreis über der Strecke [BC]. Verbindest du nun die Punkte AB und BC so erhältst du ein Dreieck, das beim Punkt A einen rechten Winkel einschließt, also %%\alpha = 90°%%.

Thaleskreis mit zwei Dreiecken

Die Antwort lautet folglich:

Die Seite a legt die Punkte B und C fest.
Der Punkt A liegt auf:
1. einer parallelen Geraden, die den Abstand %%h_a\;=\;4,8\;cm%% von der Strecke [BC] hat.
2. dem Thaleskreis über [BC]

Lösung Teilaufgabe b)

Für diese Teilaufgabe brauchst du Kenntnisse, wie du den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst.

Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:

%%\;F\;=\;\frac12\cdot\;g\;\cdot\;h=\;\frac12\cdot a\cdot h_a%%

Nun setzt du ein.

%%\;F\;=\;\frac12\cdot a\cdot h_a\;=\;\frac12\;\cdot\;10\;cm\;\cdot4,8\;cm\;=\;24\;cm^2%%

Lösung Teilaufgabe c)

Schneiden wir das Dreieck ABC entlang der Höhe %%h_a%% in zwei Teile, dann sind die beiden Teile genauso groß wie eine lila bzw. eine türkisfarbene Fläche in dem Bild. Da es sich bei unserem Dreieck ABC um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Es gilt %%h_a = h_2%%.

Thaleskreis mit Dreiecksflächen

Anhand unseren Überlegungen können wir die Gleichung über die Flächeninhalte der Rechtecke aufstellen. Die Lösung lautet folglich:

%%a\;\cdot\;h_a\;=\;b\;\cdot c%%

a) Kürze vollständig. (1 BE)

%%\displaystyle\frac{20\cdot6}{9\cdot 25}=%%

b) Jakob behauptet: Wenn sich ein Bruch als endlicher Dezimalbruch darstellen lässt, dann darf sein Nenner außer Zweien und Fünfen keine anderen Primfaktoren enthalten. Zeige am Beispiel %%\displaystyle\frac{15}{24}%%, dass Jakobs Behauptung falsch ist. (1 BE)

Für diese Aufgabe musst du die Primfaktorzerlegung beherrschen.

Teilaufgabe a)

%%\displaystyle\frac{20\cdot6}{9\cdot25}=%%

| 5 kürzen

%%\displaystyle\frac{4\cdot6}{9\cdot5}=%%

| 3 kürzen

%%\displaystyle\frac{4\cdot2}{3\cdot5}=\frac8{15}%%

Teilaufgabe b)

%%\displaystyle\frac{15}{24}%%

Zerlege Zähler und Nenner in Primfaktoren.

%%\displaystyle\frac{15}{24}=\frac{3\cdot5}{2\cdot2\cdot2\cdot3}=\frac58=0,625%%

Die Primzahlzerlegung von Zähler und Nenner des Bruches %%\frac{15}{24}%% enthält neben den Zahlen 2 und 5 auch die Zahl 3. Nach Kürzen von 3 ergibt sich der endliche Dezimalbruch 0,625.

Das abgebildete Prisma hat als Grundfläche ein Fünfeck und insgesamt 10 Ecken, 7 Flächen und 15 Kanten.

a) Gib die Anzahl der Kanten eines Prismas an, dessen Grundfläche ein Sechseck ist. (1 BE)

Betrachtet wird nun die folgende Aussage:

"Anzahl der Ecken“ + „Anzahl der Flächen“ – „Anzahl der Kanten“ = 2

b) Zeige, dass die Aussage für das abgebildete Prisma mit fünfeckiger Grundfläche richtig ist. (1 BE)

c) Zeige, dass die Aussage allgemein für jedes Prisma gilt, dessen Grundfläche ein n- Eck%%^1%% ist. (2 BE)

%%^1%% Unter einem „n-Eck“ versteht man ein Vieleck, das n Ecken hat.

Teilaufgabe a)

Prisma mit sechseckiger Grundflaeche

Für diese Aufgabe benötigst du Kenntnisse über die Eigenschaften von Prismen.
Die Grundfläche und die Deckfläche begrenzen jeweils 6 Kanten. Außerdem verlaufen 6 Kanten von den Ecken der Grundfläche zu den Ecken der Deckfläche.

6 Kanten + 6 Kanten + 6 Kanten = 18 Kanten

Deshalb lautet die Antwort: Ein Prisma, dessen Grundfläche ein Sechseck ist hat 18 Kanten.

Teilaufgabe b)

Gegeben ist folgende Aussage: "Anzahl der Ecken" + "Anzahl der Flächen" - "Anzahl der Kanten" = 2
Außerdem haben wir ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche gegeben. Anhand der Abbildung zählst du nun die Ecken, Flächen und Kanten.

Anzahl der Ecken = 10
Anzahl der Flächen = 7
Anzahl der Kanten = 15

Zum Schluss setzt du die Werte in die Gleichung ein und rechnest die linke Seite der Gleichung aus.

"Anzahl der Ecken" + "Anzahl der Flächen" - "Anzahl der Kanten" = 10 + 7 - 15 = 2

Somit stimmt die Gleichung für ein Prisma, dessen Grundfläche ein Fünfeck ist.

Teilaufgabe c)

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Abbildung des Prismas mit der fünfeckigen Grundfläche zur Hilfe. Ausgehend von dieser Abbildung kannst du dir überlegen wie viele Ecken, Flächen und Kanten ein Prisma mit einer n-eckigen Grundfläche hat.

Gegeben ist wieder die Gleichung aus Teilaufgabe b)

"Anzahl der Ecken" + "Anzahl der Flächen" - "Anzahl der Kanten" = 2

Zunächst überlegst du dir, wie viele Ecken ein Prismas mit n-eckiger Grundfläche hat. Wir wissen, dass ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche 10 Ecken hat. Und zwar die 5 Ecken der Grundfläche und die 5 Ecken der Deckfläche, da die Grundfläche und die Deckfläche deckungsgleich sind.

Also hat ein Prisma mit n-eckiger Grundfläche %%n+n = 2n\;%% Ecken.

Nun überlegst du dir, wie viele Flächen ein Prisma mit n-eckiger Grundfläche hat. Jedes Prisma hat eine Grundfläche und eine Deckfläche. Zu diesen beiden Flächen kommen noch die einzelnen Flächen der Mantelfläche. Bei einem Prisma mit fünfeckiger Grundfläche besteht die Mantelfläche aus 5 einzelnen Flächen.

Insgesamt hat ein Prisma mit n-eckiger Grundfläche also %%2+n\;%% Flächen.

Zum Schluss überlegst du dir noch, wie viele Kanten ein Prisma mit n-eckiger Grundfläche besitzt. Hier hilft dir auch die Teilaufgabe a). Dort hast du dir überlegt wie viele Kanten ein Prisma mit sechseckiger Grundfläche hat und zwar begrenzen 6 Kanten die Grundfläche und 6 Kanten die Deckfläche. Außerdem verläuft jeweils eine Kante von jeder Ecke der Grundfläche zu einer Ecke der Deckfläche. Folglich hat die Mantelfläche auch 6 Kanten.

Also hat ein Prisma mit n-eckiger Grundfläche %%n+n+n = 3n\;%% Kanten.

Zum Schluss setzt du noch die Teilergebnisse in die gegebene Gleichung und vereinfachst die linke Seite.

"Anzahl der Ecken" + "Anzahl der Flächen" - "Anzahl der Kanten" = %%2n+(2+n)-3n= 2n + 2 +n - 3n= 3n - 3n +2 = 2%%

Im letzten Schritt siehst du, dass tatsächlich %%2%% herauskommt.

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