Aufgaben

Gegeben ist der Term %%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%% .

Berechne T(4), T(–5) und %%T\left(\frac12\right)%% .

gebrochenrationale Funktionen

T(4)

 

  %%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

4 für a einsetzen.

 %%T(4)=\frac3{1-4}=%%

         %%=\frac3{-3}=%%

          %%=-1%%

 

 

 

T(-5)

 

%%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

-5 für a einsetzen.

%%T(-5)=\frac3{1-\left(-5\right)}=%%

            %%=\frac36=%%

             %%=\frac12%%

 

 

 

%%T\left(\frac12\right)%%

 

%%T\left(a\right)=\frac3{1-a}%%

%%\frac12%% für a einsetzen.

%%T\left(\frac12\right)=\frac3{1-\frac12}=%%

              %%=\frac3{\frac12}=%%

Die 2 lässt sich in den Zähler des Bruchs schreiben (siehe Division ).

              %%=\frac{3\cdot2}1=%%

 

              %%=6%%

 

Erläutere, wo diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl liegen, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben.

Einfache gebrochenrationale Funktionen

%%T(a)=\frac3{1-a}%%

"a" muss sich immer weiter von a < 1 an 1 annähern, damit sich möglichst große Werte ergeben. Dadurch nähert der Nenner sich 0 an und lässt so den Termwert immer größer werden.

Antwort: Die Zahlen von "a" nähern sich auf dem Zahlenstrahl 1 an, sind aber immer kleiner 1.

Wie ändert sich der Wert des Terms %%T\left(x\right)=1-\frac1x%% , wenn x „immer größer“ bzw. „immer kleiner“ wird?

 

Termen umformen

 

für x %%\frac1{100}%% %%\frac1{10}%% 1 100 1000
%%T\left(x\right)=1-\frac1x%% siehe 1) siehe 2) siehe 3) siehe 4) siehe 5)
  -99 -9 0 0,99 0,999

 

1)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

%%x=\frac1{100}%% einsetzen.

%%=1-\frac1{\frac1{100}}=%%

Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.

%%=1-1\cdot\frac{100}1=%%

 

%%=1-100=%%

 

%%=-99%%

 

 

 

2)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

%%x=\frac1{10}%% einsetzen.

%%=1-\frac1{\frac1{10}}=%%

Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.

%%=1-1\cdot\frac{10}1=%%

 

%%=1-10=%%

 

%%=-9%%

 

 

 

3)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

%%x=1%% einsetzen.

%%=1-\frac11=0%%

 

 

 

4)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

%%x=100%% einsetzen.

%%=1-\frac1{100}=%%

Hauptnenner bilden. auf 100 im Nenner erweitern.

%%=\frac{100}{100}-\frac1{100}=%%

 

%%=\frac{99}{100}=0,99%%

 

 

 

5)

 

%%T\left(x\right)=1-\frac1x=%%

x=1000 einsetzen.

%%=1-\frac1{1000}=%%

Hauptnenner bilden. auf 1000 im Nenner erweitern.

%%=\frac{1000}{1000}-\frac1{1000}=%%

 

%%=\frac{999}{1000}=0,999%%

 

 

Für %%0

Für %%x=1%% ist %%T(x)%% gleich 0. 

Für %%x>1%% ist %%T\left(x\right)%% größer als 0 und nähert sich 1 an.

 

 

Gegeben ist der Bruchterm %%T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}%% .

Fasse die beiden Brüche zusammen und vereinfache.

Gebrochen-rationale Funktionen

%%T\left(x\right)=\frac1x-\frac1{x+2}%%

           %%=\frac{x+2}{x(x+2)}-\frac x{\left(x+2\right)x}%%

 

           %%=\frac{x+2-x}{\left(x+2\right)x}%%

 

           %%=\frac2{x^2+2x}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%T(x)=\frac2{x^2+2x}%%

 

Gegeben ist die Funktion %%h:\;x\mapsto\frac{1+x}{x-2}%%

Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

Ermitteln von Funktionswerten

   %%h(x)=\frac{1+x}{x-2}%%

Den Funktionsterm gleich 4 setzen!

%%\frac{1+x}{x-2}=4%%

%%\vert\;\cdot(x-2)%%

  %%1+x=(x-2)\cdot4%%

  %%1+x=4x-8%%

%%\left|{-4x\;-1}\right.%%

%%x-4x=-8-1%%

 

   %%-3x=-9%%

%%\left|{:\left(-3\right)}\right.%%

         %%x=3%%

 

Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:

Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift %%f:x\mapsto\frac{2x}{2x+3}%% .

Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?

Berechne f(10), f(100), f(1000).

Berechnen von Funktionswerten

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 10

%%f(10)\;=\;\frac{2\cdot10}{2\cdot10+3}\approx\;0,869%%

 

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 100

%%f(100)\;=\;\frac{2\cdot100}{2\cdot100+3}\approx\;0,985%%

 

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 1000

%%f(1000)\;=\;\frac{2\cdot1000}{2\cdot1000+3}\approx\;0,999%%

 

Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.

Gib die Gleichungen der Asymptoten von  %%G_f%% an.

Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

 

Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen %%y=\frac{x-2}{1+x}%% und %%y=-\frac12x+1%% .

Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung %%\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1%% .

Zeichne die Graphen zu den Termen  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}%%  und  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x%%  in ein Koordinatensystem.

Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3%%  und die Schnittpunkte von f und g.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

%%f(x)=\dfrac{x}{x-2}%%

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. %%\rightarrow%% Setze %%\mathrm z\left(\mathrm x\right)=0%%

%%\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0%%

Der Graph hat bei %%x_N=0%% eine Nullstelle.

x-Wert mit  %%f(x)=-3%%

Setze %%f(x)=-3%%

%%\frac{x}{x-2}=-3%%

%%\left|\cdot\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%\mathrm x=-3\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren

%%\mathrm x=-3\mathrm x+6%%

%%\left|+3\mathrm x\right.%%

%%4\mathrm x=6%%

%%\left|:4\right.%%

%%x=\frac64%%

%%\mathrm x=1,5%%

Für %%x=1,5%% nimmt die Funktion den Wert %%-3%% an.

Bestimmung der Schnittpunkte

%%f(x)= \dfrac{x}{x-2}%% , %%g(x)=\dfrac x3%%

Setze %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%% und %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}=\frac{\mathrm x}3%%

%%\left|\cdot3\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%3\mathrm x=\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren.

%%3\mathrm x=\mathrm x^2-2\mathrm x%%

%%\left|-3\mathrm x\right.%%

%%\mathrm x^2-5\mathrm x=0%%

Klammere x aus.

%%\mathrm x\left(\mathrm x-5\right)=0%%

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

%%{\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5%%

Setze  %%{\mathrm x}_{\mathrm S2}%%  in eine der beiden Funktionen ein.

%%{\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0/0\right)\;\;\;\;\;{\mathrm S}_2\left(5/\frac53\right)%%

In der Definitionsmenge von %%f(x)%% muss nur %%2%% ausgenommen werden, bei %%g(x)%% sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: %%L=\{0,5\}%%

Gegeben ist die Funktion %%f:x\mapsto f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%   mit maximaler Definitionsmenge.

  1. Gib die maximale Definitionsmenge an.

  2. Weise nach, dass der Graph der Funktion f achsensymmetrisch zur
    y-Achse ist.

  3. Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

  4. Für welche Werte von x unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion f um weniger als  %%\frac1{100}%% vom Wert 2?

Teilaufgabe a)

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0, da nicht durch 0 geteilt werden darf.

  %%\Rightarrow%%   %%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%

 

 

Teilaufgabe b

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%

Ersetze x durch -x.

%%f\left(-x\right)=\frac1{\left(-x\right)^2}+2%%

 

            %%=\frac1{x^2}+2=f\left(x\right)%%

 

Da %%f\left(-x\right)=f\left(x\right)%% ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse .

 

Teilaufgabe c

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/943.xml

 

Teilaufgabe d

%%\left|f\left(x\right)-2\right|< \frac {1}{100}%%

%%f\left(x\right)%% einsetzen.

%%\left|\frac1{x^2}+2-2\right| < \frac{1}{100}%%

Den Betrag weglassen, da die linke Seite, aufgrund des %%x^2%% immer positiv ist.

%%\frac1{x^2} < \frac{1}{100}%%

%%\left|{\cdot x^2\;\cdot100}\right.%%

%%100 < x^2%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\sqrt{100} < x%%

Wurzel ziehen .

Da nicht bekannt ist, ob x positiv oder negativ ist, gibt es zwei Lösungen.

%%\ \ \ 10 < x%%
%%-10 >x%%

Die gesamte Lösung sind beide Lösungen vereinigt.

%%x<-10%% oder %%x>10%%

 

Zeichne die Graphen der Funktionen %%f:\;x\mapsto\frac3{x+2}%% und %%f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}%%

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch.

Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen

Zeichnung

%%f_{}:\;x\mapsto\frac3{x+2}%%%%f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}%%

Schnittpunkt A bei (1/1)

Geogebra File: /uploads/legacy/2710_UvQn0LETgM.xml

Rechnung

 

 

Gleichsetzen der beiden Funktionsterme

%%\frac3{2+x}=\frac1{2-x}%%

%%3\cdot(2-x)=1\cdot(2+x)%%

%%6-3x=2+x%%

nach %%x%% auflösen

%%4=4x%%

%%\vert\;:\;4%%

%%x=1%%

 

  %%f_{}:\;x\mapsto\frac3{x+2}%%

Einsetzen von x in einen der Funktionsterme

%%y=\frac1{2-1}=\frac11=1%%

 

Schnittpunkt bei %%(1/1)%%

 

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.

$$y=\frac{2x}{x+3}$$

Senkrechte Asymptote

%%f(x)=\dfrac{2x}{x+3}%%

Setzte den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.

%%x+3=0%%

|-3

%%x=-3%%

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.

Waagrechte Asymptote

%%f(x)=\dfrac{2x}{x+3}%%

Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen %%+\infty%% und %%-\infty%%.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x+3}=%%

Klammere x aus.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\frac 3x}=2%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{x+3}=%%

Klammere x aus.

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2}{1+\frac 3x}=2%%

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.

Wertetabelle

x

-4

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

8

-4

-1

0

0,5

%%\frac 45%%

1

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph einer gebrochen rationalen Funktion

$$y=-\frac2x+\frac32$$

Senkrechte Asymptote

%%f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32%%

Bringe alles auf einen Nenner.

%%f(x)= \dfrac{-4+3x}{2x}%%

Lese die senkrechte Asymptote ab:

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.

Waagrechte Asymptote

%%f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32%%

Betrachte die Grenzwerte gegen %%+\infty%% und %%-\infty%%, um waagrechte Asymptoten herauszufinden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32%%

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= %%\dfrac 32%%

Wertetabelle

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f(x)

2

%%\frac {10}{6}%%

1,5

3,5

-0,5

0,5

%%\frac {2}{10}%%

1

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph mit einer gebrochen-rationalen Funktion

Spiegeln, verschieben, stauchen

Zeichne den Graphen der Funktion %%f(x)=\frac3x%% und bestimme damit die Graphen von %%g(x)=-\frac3x-2%% , %%h(x)=\frac3{x+1,5}%% und %%k(x)=\frac{1,5}x%%

  • %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac3{\mathrm x}%%

Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein.
Bsp.: %%\mathrm x=3\;;\;\rightarrow\;\mathrm y=1%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5391_p3pwAagN1e.xml

  • %%g(x)=-\frac3x-2%%

%%g(x)=-\frac3x-2%%    %%\rightarrow%% Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5393_SjsykLLL6M.xml

  • %%h(x)=\dfrac {3}{x+1,5}%%

Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.

Plot der Funktion h

  • %%k(x)=\frac{1,5}{x}%%

Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.

Plot der Funktion k

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