Aufgaben
Berechne folgende Fakultäten
9!
Berechne
4!2!\frac{4!}{2!}
4!2!=432121=  43  =12\frac{4!}{2!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}=\;4\cdot3\;=12
4!2!=4422=164=4\frac{4!}{2!}=\frac{4\cdot4}{2\cdot2}=\frac{16}4=4
4!2!=4321  =  122=6\frac{4!}{2!}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}\;=\;\frac{12}2=6
4!2!=4121  =2\frac{4!}{2!}=\frac{4\cdot1}{2\cdot1}\;=\:2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultäten

Berechne Fakultäten

4!2!=432121\dfrac{4!}{2!}=\dfrac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}
Hier kannst du zuerst kürzen.
=43=12=4\cdot3=12
9!5!\frac{9!}{5!}
9!5!=98765432154321=98761=3024\frac{9!}{5!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}1=3024
9!5!=9554=94\frac{9!}{5!}=\frac{9\cdot5}{5\cdot4}=\frac94
9!5!=9854=9251=185\frac{9!}{5!}=\frac{9\cdot8}{5\cdot4}=\frac{9\cdot2}{5\cdot1}=\frac{18}5
9!5!=9955=8125\frac{9!}{5!}=\frac{9\cdot9}{5\cdot5}=\frac{81}{25}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultäten

Berechne Fakultäten

9!5!=98765432154321\dfrac{9!}{5!}=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}
Hier ist es einfacher erst zu kürzen.
=9876=3024=9\cdot8\cdot7\cdot6=3024

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultäten

Berechne Fakultäten

5!7!8!=(54321)(7654321)87654321\dfrac{5!\cdot7!}{8!}=\dfrac{(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}
Hier ist es einfacher erst zu kürzen.
543218=1208=15\dfrac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}8=\dfrac{120}8=15
2!3!9!\frac{2!\cdot3!}{9!}
2!3!9!=21321987654321=21987654=1987652=130240\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{2\cdot1}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}=\frac1{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot2}=\frac1{30240}
2!3!9!=2391=69=23\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{2\cdot3}{9\cdot1}=\frac69=\frac23
2!3!9!=2233399999=2219993=42187\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3}{9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9}=\frac{2\cdot2\cdot1}{9\cdot9\cdot9\cdot3}=\frac4{2187}
2!3!9!=23987654321=1987654=160480\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{2\cdot3}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac1{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}=\frac1{60480}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultäten

Berechne Fakultäten

2!3!9!=(21)(321)987654321\dfrac{2!\cdot3!}{9!}=\dfrac{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}
Hier ist es einfacher erst zu kürzen.
(21)987654=260480=130240\dfrac{(2\cdot1)}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}=\dfrac2{60\,480}=\dfrac1{30\,240}
Die elf Mädchen der 5a lassen sich fotografieren.
  1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Mädchen, sich nebeneinander aufzustellen?
  2. Wie viele verschieden Aufstellungen gibt es, wenn zusätzlich noch zwei Lehrerinnen mit auf das Bild sollen? Wie viele Tage dauert es, alle Aufstellungen auszuprobieren, wenn man für jede Anordnung eine Minute benötigt? Wie viele Jahre sind das ungefähr?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät

Teilaufgabe 1

Allgemein gilt, dass es um n Objekte in einer Reihe anzuorden n! Möglichkeiten gibt.
11!=3991680011!=39\,916\,800

Teilaufgabe 2

13!=622702080013!=6\,227\,020\,800
6227020800  Minuten=4324320  Tage11847  Jahre6\,227\,020\,800\;\text{Minuten}=4\,324\,320\;\text{Tage}\approx11\,847\;\text{Jahre}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät

Berechne

Wir benutzten die Definition der Fakultät.
1001!999!\frac{1001!}{999!}
=1001    1000    999!999!  =\frac{1001\;\cdot\;1000\;\cdot\;999!}{999!}\;
Der Faktor 999! ist zwar sehr groß, entfällt aber beim Kürzen:
=1001    1000  =1001\;\cdot\;1000\;
=1001000=1001000
Die Zahl 1000! hat am Ende viele Nullen. Wie viele sind es?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät

1000! enthält sicher öfter den Faktor 2 als den Faktor 5. Jedes Paar aus den Faktoren 2 und 5 ergibt eine Schlussnull. Die Zahl der Schlussnullen ist also gleich der Anzahl aller Primfaktoren 5.
Die Zahlen von 1 bis 1000 enthalten 1000:5=2001000:5=200 Vielfache von 5.
200:5=40200:5=40 dieser Zahlen sind Vielfache von 25 und enthalten damit einen weiteren Faktor 5.
40:5=840:5=8 der Vielfachen von 25 sind sogar Vielfache von 125 und enthalten deshalb noch einen weiteren Faktor 5.
Außerdem liefert die Zahl 625=54625=5^4 noch einen weit+eren Faktor 5.
Insgesamt hat man also 200+40+8+1=249200+40+8+1=249 mal den Faktor 5, also genau so viele Schlussnullen.
Nur zur Information: 1000! hat 2568 Stellen.
Wie oft enthält 30! den Primfaktor 3?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät

30! enhält 10 Faktoren, die ein Vielfaches von 3 sind, 3 Faktoren, die ein Vielfaches von 32=93^2=9 sind und einen Faktor, der ein Vielfaches von 33=273^3=27 ist.
Insgesamt enthält 30! also 10+3+1=1410+3+1=14 mal den Faktor 3.
Wie oft kann man 50! ohne Rest durch zwei teilen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät

50!50! enthält 25 gerade Faktoren, die also durch 2 teilbar sind, da jeder zweite Faktor eine gerade Zahl ist. Außerdem gibt es 12 Faktoren, die durch 4 teilbar sind; 6 Faktoren, die durch 8 teilbar sind; 3 Faktoren, die durch 16 teilbar sind und 1 Faktor, der durch 32 teilbar ist.
Insgesamt enthält 50!50! also 25+12+6+3+1=4725+12+6+3+1=47 mal den Faktor 2.
Es gilt 20!=243290200817664000020!=2\,432\,902\,008\,176\,640\,000.
Berechne 21!. Wie heißt das Ergebnis in Worten?
21!=2120!21!=21\cdot20!
21!  =212  432  902  008  176  640  00021!\;=\:21\cdot2\;432\;902\;008\;176\;640\;000
21!=212021!=21\cdot20
21!  =20    2  432  902  008  176  640  00021!\;=\:20\;\cdot\;2\;432\;902\;008\;176\;640\;000

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fakultät

21!=2120!=21    243290200817664000021!=21\cdot20!=21\;\cdot\;2\,432\,902\,008\,176\,640\,000 =51090942171709440000=51\,090\,942\,171\,709\,440\,000
In Worten:einundfünfzig Trillionen neunzig Billiarden neunhundertzweiundvierzig Billionen hunderteinundsiebzig Milliarden siebenhundertneun Millionen vierhundertvierzig Tausend
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