Aufgaben
Addition von Dezimalbrüchen
0,44+0,2340{,}44+0{,}234

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Dezimalbrüchen

0,44+0,2340{,}44+0{,}234\\
Achte darauf, dass die Kommas untereinanderstehen, und fülle die kürzere Zahl mit Nullen auf.
+  0,440+  0,234\begin{array}{rcl}\hphantom{ +\; } 0{,}440\\{+\;0{,}234}\\\\\end{array}
Addiere schriftlich und setze im Ergebnis das Komma direkt unter die anderen.
+  0,440+  0,234+  0,674\begin{array}{rcl}\hphantom{ +\; } 0{,}440\\\underline{+\;0{,}234}\\\hphantom{ +\; }0{,}674\end{array}
2,983+0,2302{,}983+0{,}230

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Dezimalbrüchen

+  21,91813+  01,21310\begin{array}{rcl}\hphantom{ +\; } 2\hphantom{_1},9\hphantom{_1}8\hphantom{_1}3\\+\;0 \phantom{_1},2 \hphantom{_1}3\hphantom{_1}0\\\\\end{array}
Achte darauf, dass die Kommata direkt untereinanderstehen, und addiere schriftlich 
+  21,91813+  01,21310+  31,21113\begin{array}{rcl}\hphantom{ +\; } 2\hphantom{_1},9\hphantom{_1}8\hphantom{_1}3\\\underline{+\;0_1,2_13\hphantom{_1}0}\\\hphantom{ +\; }3\hphantom{_1},2\hphantom{_1}1\hphantom{_1}3\end{array}
9,33+49{,}33+4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Dezimalbrüchen

9,33+4\displaystyle 9{,}33+4\\
Schreibe die Zahlen so untereinander, dass die Kommas untereinanderstehen, und fülle die 44 mit Nullen nach dem Komma auf.
+  19,33+  4,00\begin{array}{rcl}\hphantom{ +\;1 }9{,}33\\\hphantom{}+\;4{,}00\\\\\end{array}
Addiere schriftlich und setze im Ergebnis das Komma direkt unter die anderen.
+  19,331+  4,00+  13,33\begin{array}{rcl}\hphantom{ +\;1 }9{,}33\\\hphantom{1}\underline{+\;4{,}00}\\\hphantom{ +\; }13{,}33\end{array}
0,00034+0,0320{,}00034+0{,}032

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Dezimalbrüchen

+  0,00034+  0,03234\begin{array}{rcl}\hphantom{ +\; }0{,}00034\\\underline{+\;0{,}032\hphantom{34}}\\\end{array}
Achte darauf, dass die Kommata direkt untereinanderstehen, und fülle die Nachkommastellen mit Nullen auf.
+  0,00034+  0,0320034\begin{array}{l}\hphantom{ +\; }0{,}00034\\\underline{+\;0{,}03200\hphantom{34}}\\\end{array}
Addiere schriftlich und setze das Komma direkt unter die anderen.
+  0,00034+  0,03234+  0,03234\begin{array}{l}\hphantom{ +\; }0{,}00034\\\underline{+\;0{,}032\hphantom{34}}\\\hphantom{ +\; }0{,}03234\end{array}
0,983+2,78+11,6730{,}983+2{,}78+11{,}673

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Dezimalbrüchen

+  102,92823+  122,728+  111,61723\begin{array}{l}\hphantom{ +\;1 }0\hphantom{_2},9\hphantom{_2}8\hphantom{_2}3\\\hphantom{ +\;1 }2\hphantom{_2},7\hphantom{_2}8\\+\;11 \hphantom{_1},6\hphantom{_1}7\hphantom{_2}3\\\\\end{array}
Achte darauf, dass die Kommata direkt untereinanderstehen, und fülle die Nachkommastellen mit Nullen auf.
+  102,92823+  122,72810+  111,61723\begin{array}{rcl}\hphantom{ +\;1 }0\hphantom{_2},9\hphantom{_2}8\hphantom{_2}3\\\hphantom{ +\;1 }2\hphantom{_2},7\hphantom{_2}8\hphantom{_1}0\\+\;11\hphantom{_1},6\hphantom{_1}7\hphantom{_2}3\\\\\end{array}
+  102,92823+  122,72810+  112,62723+  152,42326\begin{array}{l}\hphantom{ +\;1 }0\hphantom{_2},9\hphantom{_2}8\hphantom{_2}3\\\hphantom{ +\;1 }2\hphantom{_2},7\hphantom{_2}8\hphantom{_1}0\\\underline{+\;11_{2},6_{2}7\hphantom{_2}3}\\\hphantom{ +\; }15\hphantom{_2},4\hphantom{_2}3\hphantom{_2}6\end{array}
2,3+3,22{,}3+3{,}2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Dezimalbrüchen

2,3+3,2\displaystyle 2{,}3+3{,}2\\
Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinanderstehen.
+  2,3+  3,2\begin{array}{l}\hphantom{ +\; }2{,}3\\+\;3{,}2\\\\\end{array}
Addiere schriftlich und setze das Komma direkt unter die anderen.
+  2,3+  3,2+  5,5\begin{array}{l}\hphantom{ +\; }2{,}3\\\underline{+\;3{,}2}\\\hphantom{ +\; }5{,}5\end{array}
22+7,535+0,09322+7{,}535+0{,}093

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Dezimalbrüchen

22+7,535+0,093\displaystyle 22+7{,}535+0{,}093\\
Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinanderstehen, und fülle bei der 2222 die fehlenden Nachkommastellen mit Nullen auf.
+  22,01010+  27,51315+  20,01913\begin{array}{l}\hphantom{ +\; }22,0\hphantom{_1}0\hphantom{_1}0\\\hphantom{ +\;2 }7,5\hphantom{_1}3\hphantom{_1}5\\+\;\hphantom{2}0,0\hphantom{_1}9\hphantom{_1}3\\\\\end{array}
Addiere schriftlich und setze das Komma direkt unter die anderen.
+  22,01010+  27,51315+  20,01913+  29,61218\begin{array}{l}\hphantom{ +\; }22,0\hphantom{_1}0\hphantom{_1}0\\\hphantom{ +\;2 }7,5\hphantom{_1}3\hphantom{_1}5\\\underline{+\;\hphantom{2}0,0_{1}9\hphantom{_1}3}\\\hphantom{ +\; }29,6\hphantom{_1}2\hphantom{_1}8\end{array}

Subtrahiere die Dezimalbrüche

%%1{,}782-0{,}234%%

%%1{,}782-0{,}234\\%%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinanderstehen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }1,7\;8\;2\\ -\;0,2\;3\;4\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }1,7\overset{7}{\not8}\overset{12}{\not2}\\ \underline{-\;0,2\;3\;4}\\ \hphantom{ -\; }1,5\;4\;8 \end{array}%%

%%34{,}98-1{,}061%%

%%34{,}98-1{,}061\\%%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinanderstehen, und fülle fehlende Nachkommastellen mit Nullen auf.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }3\;4,9\;8\;0\\ -\;\hphantom{3\;}1,0\;6\;1\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }3\;4,9\overset{7}{\not8}\overset{10}{\not0}\\ \underline{-\;\hphantom{3\;}1,0\;6\;1}\\ \hphantom{ -\; }3\;3,9\;1\;9 \end{array}%%

%%4{,}913-2{,}911%%

%%4{,}913-2{,}911\\%%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinanderliegen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }4{,}913\\ -\;2{,}911\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }4{,}913\\ \underline{-\;2{,}911}\\ \hphantom{ -\; }2{,}002 \end{array}%%

%%2{,}043-1{,}921%%

%%2{,}043-1{,}921\\%%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinanderliegen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\; }2,\;043\\ -\;1,\;921\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ - }\overset{1}{\not2},\overset{10}{\not0}43\\ \underline{-\;1,\;921}\\ \hphantom{ -\; }0,\,122 \end{array}%%

%%11{,}693-7{,}777%%

%%11{,}693-7{,}777\\% %%

Schreibe die Zahlen so auf, dass die Kommas untereinanderliegen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}11{,}693\\ -\hphantom{1}7{,}777\\ \\ \end{array}%%

Subtrahiere schriftlich und setze das Komma unter die beiden anderen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{ -\ }\not1\overset{\overset{10}{\not0}}{\not1},\overset{16}{\not6}\overset{8}{\not9}\overset{13}{\not3}\\ \underline{-\;\hphantom{\not10}7,\;7\;7\;7}\\ \hphantom{ -\; }\hphantom{\not10}3,\;9\;1\;6 \end{array}%%

Subtraktion von Brüchen und Dezimalbrüchen

%%1{,}04-\frac12%%

%%1{,}04-\frac12\\%%

Wandle zuerst %%\frac{1}{2}%% in einen Dezimalbruch um.

%%1{,}04-0{,}5\\%%

Subtrahiere die beiden Dezimalbrüche schriftlich.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}{\not1}{,}04\\ \underline{-\;0{,}50}\\ \hphantom{-\;}0{,}54 \end{array} \\ %%

Alternative Lösung

%%1{,}04-\frac12=\\%%

Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um.

%%=\frac{104}{100}-\frac12\\%%

Berechne den Hauptnenner (100).

%%=\frac{104}{100}-\frac{50}{100}\\%%

%%=\frac{54}{100}=\frac{27}{50}=0{,}54%%

%%\frac63-0{,}23%%

%%\frac63-0{,}23\\%%

Kürze zuerst %%\frac63%% und subtrahiere dann die beiden Dezimalbrüche. Schreibe hierbei die %%2%% als %%2{,}00%%.

%%\begin{array}{l} \hphantom-2{,}00\\ \underline{-0{,}23}\\ \hphantom-1{,}77 \end{array} %%

Alternative Lösung

%%\frac63-0{,}23=%%

Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um.

%%=\frac63-\frac{23}{100}%%

Bilde den Hauptnenner (300).

%%=\frac{600}{300}-\frac{69}{300}%%

%%=\frac{531}{300}=\frac{177}{100}=1{,}77%%

Es wird die folgende Summe gebildet: %%1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+…%%

Bedenke dabei: %%0{,}\overline2=\frac29,\;0{,}\overline3=\frac39=\frac13,\;0{,}\overline7=\frac79%% usw.

  1. Schreibe die drei Nachfolger des Summanden 0,001 hin. Beschreibe, wie sich die Summe aufbaut.

  2. Berechne den Wert der obigen Summe.

  3. Berechne den Wert der Differenz %%3-0{,}2-0{,}02-0{,}002-…%%

Teilaufgabe 1

… 0,0001; 0,00001; 0,000001;

Jeder weitere Summand ist ein Zehntel seines Vorgängers.

Teilaufgabe 2

%%\rightarrow%% Da jeder weitere Summand ein Zehntel seines Vorgänger ist, muss das Ergebnis %%1{,}\overline1%% sein.

%%1,\;\;\;\underset{\text{Zehntel}}{\overset{+0,1}1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underset{\text{Hundertstel}}{\overset{+0,01}1\;}\;\;\;\;\;\underset{\text{Tausendstel}}{\overset{+0,001}1}\;\;\text{usw.}%%

%%\frac{10}9%% ist hierbei der Bruch für %%1{,}\overline1%%.

Teilaufgabe 3

%%\rightarrow%% Da jeder weitere Subtrahend ein Zehntel seines Vorgängers ist, muss das Ergebnis %%3-0{,}\overline2%% sein.

%%\frac{25}9%% ist hierbei der Bruch für %%3-0{,}\overline2%% .

Multiplikation von Dezimalbrüchen.

%%2{,}5\cdot10%%

%%\begin{array}{l}\underline{2{,}5\cdot10}\\ \hphantom{200}000\\ \underline{\hphantom{2,0}250}\\ \hphantom{20\,}25{,}0 \end{array}%%

%%25{,}0=25%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Anzahl der Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%1+0=1%% Nachkommastellen setzen.

In diesem Spezialfall ist einer der Faktoren gleich %%10%%. Deshalb gibt es einen schnelleren Weg:

%%2{,}5\cdot10%%

Merke: Wenn man einen Dezimalbruch mit %%10%% multipliziert, verschiebt man das Komma um eine Stelle nach rechts.

%%=25%%

%%2{,}5\cdot0{,}1%%

%%\begin{array}{r}\underline{2{,}5\cdot0{,}1}\\ 25\\ \underline{\hphantom{2{,}\cdot{,}}000}\\ 0{,}25 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Anzahl der Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%1+1=2%% Nachkommastellen setzen.

In diesem Spezialfall ist einer der Faktoren gleich %%0{,}1%%. Deshalb gibt es einen schnelleren Weg:

%%2{,}5\cdot 0{,}1%%

Merke: Bei der Multiplikation mit %%0{,}1%% verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links.

%%=0{,}25%%

%%5{,}1\cdot2{,}9%%

%%\begin{array}{r}\underline{5{,}1\cdot2{,}9}\\ 459\\ \underline{\hphantom{{,}\cdot{,}}1020}\\ 14{,}79 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Anzahl der Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%1+1=2%% Nachkommastellen setzen.

%%2{,}45\cdot0{,}671%%

%%\begin{array}{r}\underline{2{,}45\cdot0{,}671}\\ 245\\ 17150\\ \underline{\hphantom{2{,}\cdot{,}}147000}\\ 1{,}64395 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%2+3=5%% Nachkommastellen setzen.

%%9\cdot0{,}686%%

%%\begin{array}{r}\underline{9\cdot0{,}686}\\ 54\\ 720\\ \underline{\hphantom{9\cdot{,}}5400}\\ 6{,}174 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%0+3=3%% Nachkommastellen setzen.

%%2{,}5 \cdot 100%%

%%\begin{array}{r}\underline{2{,}5\cdot100}\\ 00\\ 000\\ \underline{\hphantom{2\cdot{,}}2500}\\ 250{,}0 \end{array}%%

Kommas "wegdenken", schriftlich multiplizieren, Nachkommastellen zählen und im Ergebnis das Komma mit %%1+0=1%% Nachkommastellen setzen.

Schnelle Lösung:

%%2{,}5 \cdot 100 = 2{,}50 \cdot 100 = 250%%

Merke: Bei der Multiplikation mit %%100%% wird das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben.

Berechne den Wert der Division von Dezimalbrüchen.

%%8{,}45:100%%

%%8{,}45:100=0{,}0845%%

Teilt man einen Dezimalbruch durch 100, so verschiebt sich das Komma um 2 Stellen nach links.

Alternativer Weg

%%8{,}45:100=845:10000%%

Multipliziert man den Dividenden und den Divisor mit 100, so ändert sich der Wert der Division nicht. Dadurch wird das Komma bei beiden um zwei Stellen nach rechts verschoben.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}845:10000=0{,}0845\\ \underline{-\hphantom{84}0}\\ \hphantom{-}8450\\ \underline{-\hphantom{845}0}\\ \hphantom{-}84500\\ \underline{-80000}\\ \hphantom{-0}45000\\ \hphantom{0}\underline{-40000}\\ \hphantom{-00}50000\\ \hphantom{00}\underline{-50000}\\ \hphantom{-000000}0 \end{array}%%

%%16:0{,}25%%

%%16:0{,}25=1600:25%%

Multipliziert man den Divisor und den Dividenden mit 100 (Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben), ändert das den Wert der Division nicht.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}1600:25=64\\ \underline{-150}\\ \hphantom{-1}100\\ \hphantom{0}\underline{-100}\\ \hphantom{-000}0 \end{array}%%

%%8{,}5:0{,}160%%

%%8{,}5 : 0{,}160 = 8{,}5 : 0{,}16%%

Schreibe den Divisor als 0,16 statt 0,160.
Das Weglassen von Nullen am Ende eines Dezimalbruchs ändert nichts an dessen Wert.

%%8{,}5:0{,}16 = 850 : 16%%

Multipliziere sowohl den Dividenden als auch den Divisor jeweils mit 100, d. h., verschiebe das Komma um 2 Stellen nach rechts.
Durch Multiplikation sowohl des Divisors als auch des Dividenden mit der gleichen Zahl ändert sich der Wert der Division nicht.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}850:16=53{,}125\\ \underline{-80}\\ \hphantom{-1}50\\ \hphantom{0}\underline{-48}\\ \hphantom{-00}20\\ \hphantom{00}\underline{-16}\\ \hphantom{-000}40\\ \hphantom{000}\underline{-32}\\ \hphantom{-0000}80\\ \hphantom{0000}\underline{-80}\\ \hphantom{-00000}0 \end{array}%%

%%0{,}125:0{,}5%%

%%0{,}125:0{,}5=125:500%%

Multipliziere Dividend und Divisor jeweils mit 1000, d. h., verschiebe beide Kommas um drei Stellen nach rechts. Der Wert der Division ändert sich nicht, wenn Dividend und Divisor mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

%%\begin{array}{l}\hphantom{-}125:500=0{,}25\\ \underline{-\hphantom{12}0}\\ \hphantom{-}1250\\ \underline{-1000}\\ \hphantom{-0}2500\\ \hphantom{0}\underline{-2500}\\ \hphantom{-0000}0 \end{array}%%

%%8{,}45 : 0{,}01%%

%%8{,}45 : 0{,}01 = 845%%

Teilt man einen Dezimalbruch durch 0,01, so verschiebt sich das Komma um 2 Stellen nach rechts.

Alternativer Weg

%%8{,}45 : 0{,}01 = 845 : 1%%

Multipliziert man den Dividenden und den Divisor mit 100, so ändert sich das Ergebnis nicht. Dafür verschiebt sich das Komma bei beiden um zwei Stellen nach rechts.

%%845:1=845%%

Berechne

Mit welcher Zahl muss man 0,0123 multiplizieren, um 1230 zu erhalten?

Terme aufstellen

Die Variable %%x%% entspricht hier der Zahl, mit der 0,0123 multipliziert werden muss, um 1230 zu erhalten.

Stelle folgende Gleichung auf:

%%0{,}0123\cdot x=1230%%

%%x=1230:0{,}0123%%

%%x=100\,000%%

%%|:0{,}0123%%

%%\Rightarrow\;%% Die gesuchte Zahl heißt %%100\,000%%.

Durch welche Zahl muss man 0,0123 dividieren, um 0,123 zu erhalten?

Terme aufstellen

Die Variable %%x%% entspricht hier der Zahl, durch die %%0{,}0123%% dividiert werden muss, um %%0{,}123%% zu erhalten.

Stelle folgende Gleichung auf:

%%\displaystyle \frac{0{,}0123}x=0{,}123%%

%%|\cdot x%%

%%\left|:0{,}123\right.%%

%%0{,}0123=0{,}123\cdot x%%

%%0{,}0123:0{,}123=x%%

%%0{,}1=x%%

%%\Rightarrow%% Die gesuchte Zahl lautet %%0{,}1%%.

Welche Zahl muss man durch 0,0123 dividieren, um 1000 zu erhalten?

Terme aufstellen

Die Variable %%x%% entspricht hier der Zahl, durch die man %%0{,}0123%% dividieren muss, um %%1000%% zu erhalten.

Stelle folgende Gleichung auf:

%%\displaystyle \frac x{0{,}0123}=1000%%

%%x=1000\cdot0{,}0123%%

%%x=12{,}3%%

%%|\cdot 0{,}0123%%

%%\Rightarrow%% Die gesuchte Zahl lautet %%12{,}3%%.

Formuliere, wie man bequem die Multiplikation mit 0,01 und die Division durch 0,01 ausführt.

Wenn wir irgendeine Zahl %%x%% mit %%0{,}01%% multiplizieren, sieht das so aus:

%%\hphantom{=.}x\cdot0{,}01%%

%%=x\cdot\frac1{100}%%

%%= x:100%%

%%\Rightarrow%% Man muss bei der Zahl %%x%% nur das Komma um zwei Stellen nach links verschieben, da man durch %%100%% dividiert.

Beispiel: %%13{,}7\cdot 0{,}01%%

%%\hphantom{Bei.:}= 13{,}7:100%%

%%\hphantom{Bei.:}= 0{,}137%%

Wenn wir irgendeine Zahl %%x%% durch %%0{,}01%% dividieren, sieht das so aus:

%%x:0{,}01%%

%%=x:\frac{1}{100}%%

%%=x\cdot100%%

%%\Rightarrow%% Man muss bei der Zahl %%x%% das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben, da mit %%100%% multipliziert wird.

Beispiel: %%13{,}7:0{,}01%%

%%\hphantom{Bei.:}= 13{,}7\cdot100%%

%%\hphantom{Bei.:}= 1370%%

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