Aufgaben
Würfle 100-mal und bestimme die relative Häufigkeit der Augenzahl 6 für
  • die ersten 20,
  • die zweiten 20,
  • die dritten 20,
  • die vierten 20 und
  • die fünften 20 Würfe.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit

Um die relative Häufigkeit deines Ergebnisses zu bestimmen, rechnest du allgemein: 
Anzahl der Zahl 6Wurfanzahl\displaystyle \mathrm{\frac{Anzahl\ der\ Zahl\ 6}{Wurfanzahl}}
Beispielsweise könnte dein Ergebnis so aussehen:

Würfe

Anzahl der 6er

relative Häufigkeit

1 - 20

2

%%\frac2{20}=0{,}1=10\,\% %%

21 - 40

6

%%\frac6{20}=0{,}3=30\,\% %%

41 - 60

4

%%\frac4{20}=0{,}2=20\,\% %%

61 - 80

0

%%\frac0{20}=0\,\% %%

81 - 100

10

%%\frac{10}{20}=0{,}5=50\,\% %%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit

Die Gesamtzahl der Schüler kann aus der Anzahl der einzelnen Noten ermittelt werden.
3+2+9+6+7+2=293+2+9+6+7+2= 29
Berechne für jede Note die relative Häufigkeit.

Note

relative Häufigkeit

%%1%%

%%\frac3{29}=0{,}1034\approx10\,\% %%

%%2%%

%%\frac2{29}=0{,}06897\approx7\,\% %%

%%3%%

%%\frac9{29}=0{,}3103\approx31\,\% %%

%%4%%

%%\frac6{29}=0{,}2069\approx21\,\% %%

%%5%%

%%\frac7{29}=0{,}2414\approx24\,\% %%

%%6%%

%%\frac2{29}=0{,}06897\approx7\,\% %%

Oma hat in einer Schublade 18 blaue und 12 andersfarbige Kugelschreiber. Bei sieben blauen Kugelschreibern und bei fünf der anderen ist die Mine eingetrocknet.

a. Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.

b. Erstelle ein Baumdiagramm, mit dem die Fragen c) und d) beantwortet werden können.

(b=blau ; bn=nicht blau ; s=schreibt ; sn=schreibt nicht)

c. Oma greift ohne hinzusehen in die Schublade und nimmt einen Kugelschreiber heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist seine Mine nicht eingetrocknet?

d. Oma hat einen blauen Kugelschreiber aus der Schublade genommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit „schreibt“ er?

Teilaufgabe a

Trage die gegeben Werte in die entsprechenden Felder ein!

%%b%%

%%bn%%

Summe

%%sn%%

7

5

12

%%s%%

18

12

Berechne nun die fehlenden Werte:
%%|S \cap B|=|B|- | \overline{S} \cap B|= 18-7=11%%
Absolute Häufigkeit der Kulis: %%18+12=30%%
%%|S|=30-\overline{S}|=30-12=18%%
%%| S \cap \overline{B}|=|\overline{B}|-|\overline{S}-\overline{B}|=12-5=7%%

So sieht die fertige Vierfeldertafel dann aus :

%%b%%

%%bn%%

Summe

%%sn%%

7

5

12

%%s%%

11

7

18

18

12

30

Teilaufgabe b

 Baumdiagramm

 

Teilaufgabe c

Es muss entweder ein blauer Stift sein, der schreibt %%(b\ s)%%, oder ein andersfarbiger Stift, der schreibt %%(bn\ s)%%.

Lies die Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm von b) ab und addiere sie für die Gesamtwahrscheinlichkeit (2. Pfadregel).

$$P(s)= P(b\ s)+P(bn\ s)=\frac{11}{30} + \frac7{30}=\frac{18}{30}=\frac35=0,6$$

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 60% Wahrscheinlichkeit ist der Stift nicht eingetrocknet.

Teilaufgabe d

Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagramm von b) ablesen

%%P(s|b)=\frac{11}{18}\approx0,61%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der blaue Stift schreibt zu ca. 61%.

Oma hat für ihre Familie insgesamt 80 Plätzchen gebacken und in kleine Tütchen verpackt.
Insgesamt haben 48 der Plätzchen einen Überzug aus Schokolade, 20 haben eine Füllung aus Omas selbstgemachter Erdbeermarmelade. Unter diesen 48 bzw. 20 Plätzchen gibt es 12 Plätzchen, die sogar beides haben: Schokoladenüberzug und Marmeladenfüllung.
Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Zuerst legst du zwei Ereignisse fest, anhand welcher du später deine Vierfeldertafel erstellen wirst. Welche Ereignisse gibt es? In der Aufgabenstellung werden Plätzchen mit Schokoladenüberguss sowie mit Marmeladenfüllung genannt. Es gibt aber auch Plätzchen, die beide Eigenschaften erfüllen, also mit Marmelade gefüllte Schokoplätzchen. Man unterscheidet zwischen Plätzchen mit bzw. ohne Schokolade sowie mit bzw. ohne Marmelade.
Dadurch entstehen die Ereignisse
  • SS: Das Plätzchen ist mit Schokolade überzogen.
  • MM: Das Plätzchen ist mit Marmelade gefüllt.
Zuerst erstellst du eine Vierfeldertafel: Die Zeilen sind die Ereignisse SS (mit Schokoladenüberzug) und S\overline S (ohne Schokoladenüberzug). Die Spalten sind die Ereignisse MM (mit Marmeladenfüllung) und M\overline M (ohne Marmeladenfüllung).

%%M%%

%%\overline M%%

%%S%%

%%\overline S%%

Du weißt bereits, dass es insgesamt 8080 Plätzchen gibt. Daher ist G=80G=80.
Insgesamt sind 4848 dieser Plätzchen mit Schokolade überzogen, wohingegen 2020 eine Marmaladenfüllung haben. Daher ist H(S)=48H(S)=48 und H(M)=20H(M)=20.
Du weißt außerdem, dass 1212 der Plätzchen mit Schokolade überzogen sind und eine Marmeladenfüllung haben. Gegeben ist also die Schnittmenge von SS und MM. Also weißt du auch H(SM)=12H(S\cap M)=12.
Diese Zahlen kannst du an den entsprechenden Stellen schon in die Tafel eintragen.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%\color{#CC0000}{12}%%

%%\color{#CC0000}{48}%%

%%\overline{S}%%

%%\color{#CC0000}{20}%%

%%\color{#CC0000}{80}%%

S=M+M\displaystyle S = M + \overline{M}
Da M\overline{M} als einziger Wert aus der Tabelle noch nicht ausgefüllt ist, stellst du danach um.
M=SM\displaystyle \overline{M} = S - M
Dann setzt du die Werte aus der Tabelle einfach ein und rechnest aus.
M=4812=36\displaystyle \overline{M} = 48 - 12 = 36
Trage im Anschluss den ausgerechneten Wert in die Tafel ein und überprüfe, ob der Wert in die Tafel passt und Sinn ergibt.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%12%%

%%\color{#CC0000}{36}%%

%%48%%

%%\overline{S}%%

%%20%%

%%80%%

Nun solltest du eine Zeile oder Spalte aussuchen, in der bereits zwei Felder ausgefüllt sind. Du bist dann eigentlich frei, in welcher Reihenfolge du diese Werte ausrechnest. Es ist z.B. sinnvoll, erst "innerhalb" des Feldes ausrechnen, also SM\overline{S} \cap M. Dann kannst du dich langsam an die Werte, die "außerhalb" liegen antasten. Denn es ist meistens einfacher, diese auszurechnen.
(SM)+(SM)=M\displaystyle (S \cap M) + (\overline{S} \cap M) = M
Stelle nach dem leeren Feld SM\overline{S} \cap M um.
(SM)=M(SM)\displaystyle (\overline{S} \cap M) = M - (S \cap M)
Setze die Werte ein.
(SM)=2012=8\displaystyle (\overline{S} \cap M) = 20 - 12 = 8
Trage den gefundenen Wert in die Tabelle ein.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%12%%

%%36%%

%%48%%

%%\overline{S}%%

%%\color{#CC0000}{8}%%

%%20%%

%%80%%

Da "innerhalb" des Feldes keine Zeile oder Spalte mit bereits zwei eingefüllten Feldern vorliegt, gehst du an das "Äußere" der Tafel. Die Reihenfolge, ob du zuerst S\overline{S} oder M\overline{M} ausrechnest, spielt erneut keine Rolle.
S+S=80\displaystyle S + \overline{S} = 80
Stelle nach dem gesuchten Wert um.
S=80S\displaystyle \overline{S} = 80 - S
Setze den Wert für SS ein und rechne aus.
S=8048=32\displaystyle \overline{S} = 80 - 48 = 32

M+M=80\displaystyle M + \overline{M} = 80
Stelle nach dem gesuchten Wert um.
M=80M\displaystyle \overline{M} = 80 - M
Setze den Wert für MM ein und rechne aus.
M=8020=60\displaystyle \overline{M} = 80 - 20 = 60
Trage die soeben ausgerechneten Werte S\overline{S} und M\overline{M} in die Verfeldertafel ein.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%12%%

%%36%%

%%48%%

%%\overline{S}%%

%%8%%

%%\color{#CC0000}{32}%%

%%20%%

%%\color{#CC0000}{60}%%

%%80%%

Rechne als letztes den fehlenden Wert aus und trage ihn ebenfalls in die Tabelle ein.
M=(SM)+(SM)\displaystyle \overline{M} = (S \cap \overline{M}) + (\overline{S} \cap \overline{M})
Stelle nach dem gesuchten Wert um.
(SM)=M(SM)\displaystyle (\overline{S} \cap \overline{M}) = \overline{M} - (S \cap \overline{M})
Setze die Werte ein und rechne aus.
(SM)=6036=24\displaystyle (\overline{S} \cap \overline{M}) = 60 - 36 = 24


%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%12%%

%%36%%

%%48%%

%%\overline{S}%%

%%8%%

%%\color{#CC0000}{24}%%

%%32%%

%%20%%

%%60%%

%%80%%

Überprüfe jetzt unbedingt die einzelnen Zeilen und Spalten. Dadurch kannst du sehen, ob die Werte deiner Vierfelder stimmen.
Passt deine Tafel? Super, du hast es geschafft und die Aufgabe gut gelöst! :-)

Für Fortgeschrittene: Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten

Nun zu den Wahrscheinlichkeiten: Du weißt bereits, dass es insgesamt 8080 Plätzchen gibt und die Anzahl an den speziellen Sorten. Diese kannst du auch bereits in Form von Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel eintragen.
Dabei stehen dir zwei Möglichkeiten zur Auswahl: Du schreibst am Anfang die Ereignisse als Wahrscheinlichkeit der Ereignissen auf. Oder du rechnest die Tabelle mit absoluten Häufigkeiten in relative Häufigkeiten um.

Relative Häufigkeit von Anfang an ausrechnen

Du hast bereits gegeben, wie viele Plätzchen es von den insgesamten 8080 Plätzchen gibt. Also kannst du auch schreiben:
  • P(S)=4880=610=35P(S) = \frac{48}{80} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
  • P(M)=2080=28=14P(M) = \frac{20}{80} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
  • P(SM)=1280=640=320P(S \cap M) = \frac{12}{80} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}
Diese Werte trägst du nun in die Tafel ein.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%\color{#CC0000}{\frac{3}{20}}%%

%%\color{#CC0000}{\frac{3}{5}}%%

%%\overline{S}%%

%%\color{#CC0000}{\frac{1}{4}}%%

%%1%%

Anschließend rechnest du die fehlenden Werte aus den (noch) leeren Feldern wie oben aus. Am Ende kommst du auf die folgende Vierfeldertafel:

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%\frac{3}{20}%%

%%\frac{9}{20}%%

%%\frac{3}{5}%%

%%\overline{S}%%

%%\frac{1}{10}%%

%%\frac{6}{20}%%

%%\frac{8}{20}%%

%%\frac{1}{4}%%

%%\frac{3}{4}%%

%%1%%

Überprüfe auch hier, ob die Werte stimmen.

Vierfeldertafel am Ende umrechnen

Das geht ganz einfach: Du teilst den Wert aus einem beliebigen Feld durch die Gesamtanzahl. Sie ist in diesem Fall 8080. Dieses Verfahren führst du für alle Felder durch und erhälst so wieder die obige Tafel.
Ein Konditormeister hat 200 Pralinen hergestellt. 80% von ihnen sind aus dunkler Schokolade, der Rest aus weißer Schokolade. 30% der 200 Pralinen enthalten Nüsse; unter den Pralinen aus weißer Schokolade haben jedoch nur 12,5% einen Nussanteil.
Stelle die beschriebene Situation dar, und zwar
  1. mit einer Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten
  2. mit einer Vierfeldertafel für die relativen Häufigkeiten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Festlegen von geeigneten Abkürzungen

Als Erstes legst du die betrachteten Ereignisse bzw. geeignete Abkürzungen dafür fest, zum Beispiel:
  • D\mathrm{D} : "Die Praline ist aus dunkler Schokolade."
  • N\mathrm{N} : "Die Praline hat einen Nussanteil."

Teilaufgabe 1: Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten

Gesucht: Vierfeldertafel für absolute Häufigkeiten
Zunächst legst du das Grundgerüst für die Vierfeldertafel an:
  • Betrachte die beiden Ereignisse, um die es geht.
  • Das eine davon kommt in die Spalten, das andere in die Zeilen.

Grundgerüst anlegen

 DD NNP(AB)P(AB) 200\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & & \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & \hphantom{200}\\\end{array}
Hier steht jetzt D\mathrm{D} in den Spalten und N\mathrm{N} in den Zeilen - das kannst du natürlich auch andersherum machen.

Informationen aus dem Aufgabentext eintragen

Da eine Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten gesucht ist, trägst du in das äußerste Feld rechts unten die Gesamtzahl "200" ein.
 DD NNP(AB)P(AB) 200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & & \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & 200\ \end{array}
Die übrigen Zahlen musst du noch aus dem Text herausfinden bzw. später ausrechnen.
In der Aufgabe ist angegeben, dass
  • 80% der 200 Pralinen aus dunkler Schokolade sind, und
  • 30% der 200 Pralinen einen Nussanteil haben.
Berechne daraus (z.B. mit der entsprechenden Formel zur Prozentrechnung), wie viele Pralinen zu D und wie viele zu N gehören.
D=0,80200=160|\mathrm{D}|= 0,80\cdot 200= 160
N=0,30200=60|\mathrm{N}|= 0,30\cdot 200= 60
Diese Werte trägst du in der Vierfeldertafel in den Rändern an den jeweiligen Stellen ein(, denn betrachtet werden hier D bzw. N alleine und nicht irgendwelche Schnittmengen).
 DD N60NP(AB)P(AB) 160200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & & 200\ \end{array}
So, damit könntest du die Werte auf den Rändern jetzt schon vollständig ausrechnen.
Um die Vierfeldertafel ganz vervollständigen zu können, brauchst du aber noch irgendeinen Wert in einem der vier inneren Felder.
 DD N???60NP(AB)P(AB) 160200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & ??? &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & & 200\ \end{array}
Du hast noch die Angabe, dass 12,5% der Pralinen mit weißer Schokolade einen Nussanteil haben.
Das kannst du aber nur auswerten, wenn du weißt, wie viele Pralinen mit weißer Schokolade es insgesamt sind, "Weiße Schokolade" bedeutet "Nicht dunkle Schokolade" - das heißt, du brauchst die Anzahl von D\overline{\mathrm D}.
 DD N60NP(AB)P(AB) 160D=?200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & &60 \\ \hline \mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & |\overline{\mathrm D}|=?& 200\ \end{array}
D=200160=40|\overline{\mathrm D}|=200-160 = 40
D|\overline{\mathrm D}| findest du leicht mit Hilfe der bisherigen Einträge in die Vierfeldertafel heraus:
Die Zahlen, die auf den Rändern noch fehlen, erhältst du nämlich ganz einfach, indem du jeweils zur 200 ergänzt.
(Den Wert D=40|\overline{\mathrm D}|= 40 trägst du natürlich gleich in das entsprechende Feld auf dem Rand der Vierfeldertafel ein.)
 DD N???60NP(AB)P(AB) 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & ??? &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\ \hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}
Es sind also 40 Pralinen mit weißer Schokolade, und von diesen haben 12,5% einen Nussanteil.
Berechne 12,5% von 40.
12,5%12,5\% von 40 (Pralinen):
12,510040=12,540100=5\dfrac{12,5}{100} \cdot 40=\dfrac{12,5\cdot 40}{100}=5
5 der Pralinen sind somit weiß und haben einen Nussanteil.
Trage die Zahl "5" in das Feld für DN|\overline{\mathrm{D}}\cap \mathrm{N}| ein.
 DD N560NP(AB)P(AB) 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & 40 & 200\ \end{array}

Fehlende Werte in der Vierfeldertafel ausrechnen

 DD N560N??? 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & & & ??? \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}
Berechne nun die noch fehlenden Werte,
Zum Beispiel als erstes die Zahl für N|\overline{\mathrm N}| , die auf dem Rand noch fehlt. Sie erhältst du, indem du wieder zur 200 ergänzt:
N=20060=140|\overline{\mathrm N}|=200-60=140
 DD N???560N140 16040200\begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} &??? & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\\ \end{array}
Danach kannst du zum Beispiel ND|\mathrm{N\cap D}| errechnen:
ND=605=55|\mathrm{N\cap D}|=60-5 = 55
 DD N55560N???140 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} &55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & ??? & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}
… und danach zum Beispiel ND|\mathrm{\overline{N}\cap D}|:
ND=16055=105|\mathrm{\overline{N}\cap D}|= 160-55 =105
 DD N55560N105140 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & 55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & 105 & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}
… und zuletzt ND|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|:
Entweder du rechnest
  • ND=140105=35|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|=140-105=35
oder du rechnest
  • ND=405=35|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|=40-5=35
(bzw. du rechnest am besten beides und überprüftst das eine mit dem anderen.)
Das trägst du ein, und dann ist die Vierfeldertafel fertig.

Fertige Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten:

 DD N55560N10535140 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \qquad \mathrm{D} \qquad& \qquad \mathrm{\overline D}\qquad & \ \\\hline\mathrm{N} & 55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & 105 & 35 & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}

Teilaufgabe 2 : Vierfeldertafel für die relativen Häufigkeiten

in Arbeit

In einer Schulklasse ergaben sich bei einer Mathematikschulaufgabe folgende Noten:

Note

1

2

3

4

5

6

Anzahl der Schüler

1

4

11

8

5

1

Als Notendurchschnitt gibt der Lehrer 3,5 an.

  1. Prüfe, ob der Notendurchschnitt exakt angegeben oder gerundet wurde.

  2. Ermittle die relativen Häufigkeiten der einzelnen Noten und erstelle ein geeignetes Diagramm zur Darstellung der Notenverteilung.

Aufgabe 1

1-mal Note 1

4-mal Note 2

11-mal Note 3

8-mal Note 4

5-mal Note 5

1-mal Note 6

Berechne daraus das arithmetische Mittel.

$$\frac{1\cdot1+2\cdot4+3\cdot11+4\cdot8+5\cdot5+6\cdot1}{1+4+11+8+5+1}$$

Rechne aus und vereinfache.

%%=\frac{105}{30}=3{,}5%%

 

%%\Rightarrow%% Der Notendurchschnitt ist exakt angegeben worden.

Aufgabe 2

Ermittle die relative Häufigkeit der jeweiligen Note, indem du die Häufigkeit der Note durch die Gesamtanzahl der Schüler dividierst.

Note 1: %%\frac1{30}=0{,}0\overline3=3{,}\overline3\,\% %%

 

Note 2: %%\frac4{30}=0{,}1\overline3=13{,}\overline3\,\% %%

 

Note 3: %%\frac{11}{30}=0{,}3\overline6=36{,}\overline6\,\% %%

 

Note 4: %%\frac8{30}=0{,}2\overline6=26{,}\overline6\,\% %%

 

Note 5: %%\frac5{30}=0{,}1\overline6=16{,}\overline6\,\% %%

 

Note 6: %%\frac1{30}=0{,}0\overline3=3{,}\overline3\,\% %%

 

Diagramm:

 

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Sei xx der Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere haben.
x+14+12=1x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=1
Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1. Dabei ist 14\frac{1}{4} die relative Häufigkeit der Schüler, die einen Hund haben, und 12\frac{1}{2} die relative Häufigkeit der Schüler, die eine Katze haben.
xx==1341-\dfrac{3}{4}
nach x auflösen
xx==14=0,25=25%\dfrac14=0{,}25=25\,\%
In einer Schulklasse sind 28 Schüler, darunter 12 Mädchen. Bei einer Umfrage gaben 7 Mädchen und 8 Buben an, Sport sei ihr Lieblingsfach.
Ist das Fach Sport laut der Umfrage bei den Mädchen oder bei den Jungen in der Klasse beliebter?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Anzahl Mädchen in der Klasse =12=12
Anzahl Jungen in der Klasse =2812=16=28-12=16
Relative Häufigkeit der Mädchen, die am liebsten Sport mögen  =71258%=\frac7{12}\approx58\,\% 
Relative Häufigkeit der Jungen, die am liebsten Sport mögen =816=12=50%=\frac8{16}=\frac12=50\,\% 
\Rightarrow Sport ist bei den Mädchen insgesamt beliebter.
In einem Hörsaal sitzen 150 Studenten. 110 von ihnen sprechen nur Englisch, 20 nur Spanisch und 15 sprechen beide Sprachen.
Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die keine der beiden Sprachen sprechen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis

Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und/oder Spanisch sprechen, teile sie durch die Gesamtanzahl der Studenten und ziehe das Ergebnis von 1 ab.




1110+20+15150=11451501-\frac{110+20+15}{150}=1-\frac{145}{150}
Schreibe auf einen Bruch und wandle am Ende in Prozent um.
1145150=150145150=5150=1303,33%1-\frac{145}{150}=\frac{150-145}{150}=\frac{5}{150}=\frac{1}{30}\approx3{,}33\,\% 
Als Hausaufgabe sollten die Schüler der Klasse 6 b mindestens 100-mal würfeln und die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Augenzahlen aufgetreten sind, mit Hilfe einer Tabelle oder eines Diagramms darstellen.
Am nächsten Tag vergleichen Manfred, Peter, Klaus und Christian ihre Ergebnisse:
Diagrammarten
Klaus hat genau 200-mal gewürfelt. Wie oft hat er eine „6“ geworfen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Klaus hat in 17%17 \% der Fälle eine 66 gewürfelt. Du hast also die relative Häufigkeit gegeben, diese musst du jetzt mit der Gesamtanzahl an Würfen multiplizieren, um die absolute Häufigkeit zu erhalten:
17%200=34\displaystyle 17\% \cdot 200 = 34
Klaus hat also insgesamt 3434 Mal eine 66 gewürfelt.
Peter betrachtet kurz die Diagramme und verkündet dann laut: „Christian hat von uns vier den besten Würfel. Bei ihm fällt am häufigsten die Sechs.“ Wie kommt Peter zu dieser Aussage? Glaubst auch du, dass Christian den besten Würfel hat?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Christian hat mit 15=0,2=20%\dfrac{1}{5}=0{,}2=20\,\% den höchsten Anteil von Würfen mit 6 Augen. Bei vielen Würfelspielen wäre er also im Vorteil.
Ob Christian den besten Würfel hat, kann man aber so nicht sagen:
  • Würfeln ist ein Zufallsexperiment, d.h. es ist "normal", dass nicht jeder gleich oft die 6 würfelt
  • Die Jungen haben nicht gleich oft gewürfelt, das macht das vergleichen noch schwieriger
  • Es ist nicht in jedem Spiel besser viele 6er zu würfeln.
Du hast noch weitere Ideen, warum Christian im Vorteil ist oder vielleicht auch nicht? Schreib sie in die Kommentare! :-)

Bestimme die relative Häufigkeit der natürlichen Zahlen von 1 bis 100, die
  1. durch 2
  2. durch 3
  3. durch 2 oder 3 teilbar sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit



Teilaufgabe 1

Bestimme zunächst die Anzahl der Zahlen, die durch 2 teilbar sind.Es sind nur alle geraden Zahlen zwischen 1 und 100 durch 2 teilbar. Das sind 50 Stück. Andere Möglichkeit, auf die 50 Zahlen zu kommen:
Multipliziere die Zahlen 1, 2, 3, …, 50 mit der Zahl 2. Das ergibt die geraden Zahlen kleiner-gleich 100 und das sind wieder 50 Stück.
\Rightarrow Die relative Häufigkeit ist 50100=12=0,5=50%\frac{50}{100}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\,\% .

Teilaufgabe 2

Bestimme nun die Anzahl der Zahlen, die durch 3 teilbar sind.
Multipliziere die Zahlen 1, 2, 3, …, 33 mit der Zahl 3. Das ergibt die Zahlen 3, 6, 9, …, 99 kleiner-gleich 100 und das sind 33 Stück.
\Rightarrow Die relative Häufigkeit ist 33100=0,33=33%\frac{33}{100}=0{,}33=33\,\% .

Teilaufgabe 3

Verwende hier die dritte Rechenregel zur relativen Häufigkeit.
hn(AB)=hn(A)+hn(B)hn(AB)h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)
Sei AA die Menge der Zahlen, die durch 2 teilbar sind, und BB die Menge der Zahlen, die durch 3 teilbar sind.Dann ist ABA \cup B die gesuchte Menge, es fehlt noch ABA \cap B. Das sind alle Zahlen, die durch 2 und durch 3, also durch 6, teilbar sind. Also multipliziere wieder die Zahlen 1, 2, …, 16 mit der Zahl 6, um alle durch 6 teilbaren Zahlen kleiner 100 zu erhalten. Das sind 16 Stück.
Damit ist die relative Häufigkeit der Zahlen, die durch 2 und/oder 3 teilbar sind
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