Bilde die Ableitung folgender e-Funktionen.
f(x)=exf(x)=e^{-x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung der e-Funktion



f(x)=exf(x)=e^{-x}
Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, dass Minus im Exponenten nachzudifferenzieren.
f(x)=exf'(x)=-e^{-x}

f(x)=e2xf(x)=e^{2x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel



f(x)=e2xf(x)=e^{2x}
Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, die 22 im Exponenten nachzudifferenzieren.
f(x)=2e2xf'(x)=2e^{2x}

f(x)=ex2f(x)=e^{x^2}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel



f(x)=ex2f(x)=e^{x^2}
Bilde die erste Ableitung. Die 2x2x vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten x².
f(x)=2xex2f'(x)=2\mathrm{xe}^{x^2}

f(x)=exf(x)=e^{\sqrt x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Schreibe etwas oder füge mit ⊕ Elemente hinzu.

f(x)=exf(x)=e^{\sqrt x}
Bilde die erste Ableitung. Die 121x \frac12\cdot\frac1{\sqrt x} vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten x\sqrt x.
f(x)=121xexf'(x)=\frac12\cdot\frac1{\sqrt x}\cdot e^{\sqrt x}
Wenn du möchtest, kann du noch ein wenig vereinfachen:
f(x)=12xexf'(x)=\frac1{2\sqrt x}e^{\sqrt x}

f(x)=exf(x)=\sqrt{e^x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel





Schreibe die Wurzel als Potenz.
f(x)=ex=e12xf(x)=\sqrt{e^x}=e^{\frac12x}
Bilde nun die Ableitung. Vergiss nicht, die 1/21/2 im Exponenten nachzudifferenzieren.
f(x)=12e12x=12exf'\left(x\right)=\frac12\cdot e^{\frac12x}=\frac12\cdot\sqrt{e^x}

f(x)=esinx+cosxf(x)=e^{\sin x+\cos x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Überlege dir, was die äußere und innere Funktion ist. Leite die Funktion dann mit der Kettenregel ab.
Die äußere Funktion ist u(x)=ex u(x) =e^x.
Die innere Funktion ist v(x)=sinx+cosxv(x)=sinx+cosx.
Die Ableitung der inneren Funktion ist v´(x)=cosxsinxv´(x)= cosx-sinx .
Nun kannst du die Funktion direkt mit der Kettenregel ableiten.
f(x)=esinx+cosx(cosxsinx)f'(x)=e^{\sin x+\cos x}\cdot\left(\cos x-\sin x\right)

f(x)=e12x2f(x)=e^{-\frac12x^2}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=e12x2f(x)=e^{-\frac12x^2}
Bilde die erste Ableitung. Die x-x vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten 12x² \frac 1 2 \cdot x².
f(x)=212xe12x2=xe12x2f'(x)=-2\cdot\frac12\cdot x\cdot e^{-\frac12x^2}= -x \cdot e^{- \frac 1 2 \cdot x^2}= 



f(x)=1ex3f(x)=\frac1{\sqrt[3]{e^x}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=1ex3f(x)=\frac1{\sqrt[3]{e^x}}
Schreibe die Wurzel als Potenz.
f(x)=1e13xf(x) =\dfrac1{e^\frac 1 3 \cdot x}
Bevor du ableitest, bietet es sich an, den Bruch "aufzulösen". Das kannst du mit einem Minus vor dem Exponenten machen.
f(x)=e13xf(x)=e^{-\frac 1 3 \cdot x}
Bilde die erste Ableitung. Die 13-\frac 1 3 vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten 13x \frac 1 3 x.
f(x)=13e13xf'\left(x\right)=-\frac1 3\cdot e^{-\frac 1 3 x}
Wenn du möchtest, kannst du das Ergebnis noch einmal umformen.
=13ex3=-\dfrac1{3\cdot\sqrt[3]{e^x}}

f(x)=x2exf\left(x\right)=x^2e^{-\sqrt x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

Diese Aufgabe ist eine Kombination von Produkt und Kettenregel. Überlege dir, ob du zuerst Produkt oder Kettenregel anwenden musst.
f(x)=x2exf\left(x\right)=x^2e^{-\sqrt x}
Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren u(x)=x2u(x)=x^2 und v(x)=exv(x)=e^{-\sqrt x}. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren u(x) u(x) und v(x)v(x).
u(x)=2xu'(x)=2x
Zur Berechnung von v(x)v'(x) benötigst du die Kettenregel.
v(x)=12x12exv'(x)=-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}
Wende nun die Produktregel an.
f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)=2xex+x2(12x12ex)f'\left(x\right)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)= 2x\cdot e^{-\sqrt x}+x^2\cdot\left(-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}\right)
Löse die Klammer auf.
=2xex12x2x12ex=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^2\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}
Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil x2 x^2 mit x12 x^{- \frac 1 2}.
=2xex12x32ex=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt x}
Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. exe^{-\sqrt x} ausklammern.
=ex(2x12x32)= e^{-\sqrt x} \cdot ( 2x-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}})