Ableitungen von ln-Funktionen Teil 2

%%f(x)=\ln\frac{\mathrm e^{\mathrm {-x}}}{1+\mathrm {e^{-x}}}%%

%%f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}\right)%%

Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.

%%f(\mathrm x)=\ln\left(\mathrm e^{-\mathrm x}\right)-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)%%

Den ersten Term vereinfachen.

%%f(\mathrm x)=-\mathrm x-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)%%

Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .

%%f'(\mathrm x)=-1-\frac{-\mathrm e^{-\mathrm x}}{\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)}%%

Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.

%%=-\frac{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}+\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}=\frac{-1}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}%%

Die Brüche addieren.

%%f(x)=\ln(e^x+e^{-x})%%

%%f(x)=\ln(\log x)-\log(\ln x)%%

%%f(x)=\ln(\log x)-\log(\ln x)%%

Leite beide Elemente mit Hilfe der Kettenregel ab.

%%f'(x)=\frac1{\mathrm{logx}}\cdot\frac1x\cdot\frac1{\mathrm{ln10}}-\frac1{\mathrm{lnx}}\cdot\frac1{\mathrm{ln10}}\cdot\frac1x%%

Nun wende die Logarithmusformel an: %%\log x=\frac{\ln\;x}{\ln\;10}%%

%%=\frac{\ln10}{\ln x \;\cdot\;x\;\cdot\;\mathrm{ln10}}-\frac1{\mathrm{lnx}\;\cdot\; x\;\cdot\;\mathrm{ln10}}%%

%%=\frac{\ln10-1}{\ln x\;\cdot\; x\; \cdot\;\mathrm{ln10}}%%

%%f(x)=\ln(x^e)%%

Ableitung berechnen

%%f(\mathrm x)=\ln(\mathrm x^\mathrm e)%%

%%f(\mathrm x)=\;\mathrm e\cdot\ln(\mathrm x)%%

Wende die Ableitungsregel für den %%\ln%% an.

%%f'\left(\mathrm x\right)=\;\mathrm e\cdot\frac1{\mathrm x}%%

%%f'\left(\mathrm x\right)=\;\mathrm e\cdot\frac1{\mathrm x}=\frac{\mathrm e}{\mathrm x}%%

%%f(x)=x\left(\ln x\right)^2-2x \ln x+2x%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=x\left(\ln x\right)^2-2x\ln x+2x%%

Zum Ableiten betrachte jeden Summanden einzeln. Für die Ableitung des ersten Summanden wende die Kettenregel sowie die Ableitungsregel für den %%\ln%% an. Für den zweiten Summanden verwende nur die Ableitungsregel für den %%\ln%% .

%%f'\left(x\right)=\left[1\cdot\left(\ln x\right)^2+x\cdot2\ln x\cdot\frac1x\right]-\left[2\ln x+2x\cdot\frac1x\right]+2%%

Multipliziere aus und vereinfache.

%%=\left(\ln x\right)^2+2\ln x-\left[2\ln x+2\right]+2%%

 

%%=\left(\ln x\right)^2+2\ln x-2\ln x-2+2%%

 

%%=\left(\ln x\right)^2%%

 

%%f(x)=x\left[\left(\ln x\right)^3-3(\ln x)^2+6\ln x-6\right]%%

Ableitung berechnen

%%f(x)=x\left[\left(\ln x\right)^3-3(\ln x)^2+6\ln x-6\right]%%

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Hierbei muss die Ableitung von %%u=x%% und %%v=-3(\ln x)^2+6\ln x-6%% gebildet werden.

%%u'=1%%

 

%%v'=3\left(\ln x\right)^2\cdot\frac1x-3\cdot2\left(\ln x\right)\cdot\frac1x+6\cdot\frac1x%%

Um %%v%% abzuleiten, wird jeder Summand gesondert betrachtet. Für die Ableitung der ersten beiden Summanden ist die Kettenregel notwendig, wobei mit der Ableitung von %%\ln x%%  nachdifferenziert werden muss. Für den dritten Summanden muss die Ableitung von %%\ln x%% berechnet werden.

%%f'\left(x\right)=1\cdot\left[\left(\ln x\right)^3-3\left(\ln x\right)^2+6\left(\ln x\right)-6\right]%%  

%%+x\cdot\left[3\left(\ln x\right)^2\cdot\frac1x-3\cdot2\left(\ln x\right)\cdot\frac1x+6\cdot\frac1x\right]%%

Multipliziere nun die Klammern aus.

%%=\left(\ln x\right)^3-3\left(\ln x\right)^2+6\left(\ln x\right)-6+3\left(\ln x\right)^2-6\left(\ln x\right)+6%%

Fasse jetzt zusammen.

%%=\left(\ln x\right)^3%%