Ableitungen von ln-Funktionen Teil 2
f(x)=lnex1+exf(x)=\ln\frac{\mathrm e^{\mathrm {-x}}}{1+\mathrm {e^{-x}}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=ln(ex1+ex)f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}\right)
Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.
f(x)=ln(ex)ln(1+ex)f(\mathrm x)=\ln\left(\mathrm e^{-\mathrm x}\right)-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)
Den ersten Term vereinfachen.
f(x)=xln(1+ex)f(\mathrm x)=-\mathrm x-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)
Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .
f(x)=1ex(1+ex)f'(\mathrm x)=-1-\frac{-\mathrm e^{-\mathrm x}}{\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)}
Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.
=1+ex1+ex+ex1+ex=11+ex=-\frac{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}+\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}=\frac{-1}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}
Die Brüche addieren.
f(x)=ln(ex+ex)f(x)=\ln(e^x+e^{-x})

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=ln(ex+ex)f(x)=\ln(e^x+e^{-x})
Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.
f(x)=1ex+ex(exex)f'(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}\cdot(e^x-e^{-x})
=exexex+ex=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=ln(1+ex)f(x)=\ln(1+e^x)
Mit Hilfe der Kettenregel ableiten .
f(x)=11+exex=exex+1f'(x)=\dfrac{1}{1+e^x}\cdot e^x=\dfrac{e^x}{e^x+1}
f(x)=ln(logx)log(lnx)f(x)=\ln(\log x)-\log(\ln x)
f(x)=ln(ex)f(x)=\ln(e^x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=ln(ex)=xf(x)=\ln(e^x)=x
Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, wodurch diese sich gegenseitig aufheben.
f(x)=1f'\left(x\right)=1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=ln(xe)f(\mathrm x)=\ln(\mathrm x^\mathrm e)
f(x)=  eln(x)f(\mathrm x)=\;\mathrm e\cdot\ln(\mathrm x)
Wende die Ableitungsregel für den ln\ln an.
f(x)=  e1xf'\left(\mathrm x\right)=\;\mathrm e\cdot\frac1{\mathrm x}
f(x)=  e1x=exf'\left(\mathrm x\right)=\;\mathrm e\cdot\frac1{\mathrm x}=\frac{\mathrm e}{\mathrm x}
f(x)=xlnxxf(x)=x \ln x-x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=xlnxxf(x)=x \ln x-x
Berechne die Ableitung von u (xx) und v (lnx\ln x).
u(x)=1,    v(x)=1xu'(x)=1,\;\; v'(x)=\frac1x
f(x) mit Hilfe der Produktregel ableiten.
f(x)=x1x+1lnx1f'\left(x\right)=x\cdot\frac1x+1\cdot\ln x-1
=1+lnx1=lnx=1+\ln x-1=\ln x
f(x)=13(lnx)3f(x)=\frac13\left(\ln x\right)^3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=13(lnx)3f(x)=\frac13\left(\ln x\right)^3
Wende die Kettenregel zum Ableiten an und differenziere mit der Ableitung von ln(x) nach.
f(x)=133(lnx)21xf'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3 \cdot (\ln x)^2\cdot \frac{1}{x}
=(lnx)2x=\frac{(\ln x)^2}{x}
f(x)=x[(lnx)33(lnx)2+6lnx6]f(x)=x\left[\left(\ln x\right)^3-3(\ln x)^2+6\ln x-6\right]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

f(x)=x[(lnx)33(lnx)2+6lnx6]f(x)=x\left[\left(\ln x\right)^3-3(\ln x)^2+6\ln x-6\right]
Wende die Produktregel zum Ableiten an. Hierbei muss die Ableitung von u=xu=x und v=3(lnx)2+6lnx6v=-3(\ln x)^2+6\ln x-6 gebildet werden.
u=1u'=1
v=3(lnx)21x32(lnx)1x+61xv'=3\left(\ln x\right)^2\cdot\frac1x-3\cdot2\left(\ln x\right)\cdot\frac1x+6\cdot\frac1x
Um vv abzuleiten, wird jeder Summand gesondert betrachtet. Für die Ableitung der ersten beiden Summanden ist die Kettenregel notwendig, wobei mit der Ableitung von lnx\ln x  nachdifferenziert werden muss. Für den dritten Summanden muss die Ableitung von lnx\ln x berechnet werden.
f(x)=1[(lnx)33(lnx)2+6(lnx)6]f'\left(x\right)=1\cdot\left[\left(\ln x\right)^3-3\left(\ln x\right)^2+6\left(\ln x\right)-6\right]  
+x[3(lnx)21x32(lnx)1x+61x]+x\cdot\left[3\left(\ln x\right)^2\cdot\frac1x-3\cdot2\left(\ln x\right)\cdot\frac1x+6\cdot\frac1x\right]
Multipliziere nun die Klammern aus.
=(lnx)33(lnx)2+6(lnx)6+3(lnx)26(lnx)+6=\left(\ln x\right)^3-3\left(\ln x\right)^2+6\left(\ln x\right)-6+3\left(\ln x\right)^2-6\left(\ln x\right)+6
Fasse jetzt zusammen.
=(lnx)3=\left(\ln x\right)^3