Die Produktregel ist eine Regel für das Ableiten von Produkten zweier differenzierbarer Funktionen %%u%% und %%v%%.

Produktregel

$$\big(u(x)\cdot v(x)\big)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$

Herleitung der Produktregel

$$\begin{align} f'(x) = \ & \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x) }{h} \\[0.3em] & {\left\downarrow\ \color{Gray}{\text{Definition von } f(x)}\right.} \\ =\ & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{u(x+h) v(x+h)-u(x) v(x) }{h}} \\[0.3em] & {\left\downarrow\ \color{Gray}{-u(x+h)v(x)+u(x + h )v(x) = 0 }\right.} \\[0.3em] =\ & \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{u(x+h ) v(x+h)-u(x+h) v(x) + u(x+h) v(x) - u(x) v(x)}{h} \\[0.3em] & {\left\downarrow\ \color{Gray}{\text{Limes hineinziehen} }\right.} \\[0.3em] =\ & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{u(x+h)v(x+h) - u(x+h) v(x)}{h}} + \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{u(x+h) v(x) - u(x) v(x)}{h}} \\[0.3em] & {\left\downarrow\ \color{Gray}{ \text{Ausklammern von } u(x+h) \text{ und } v({x}) }\right.} \\[0.3em] =\ & \lim\limits_{h \rightarrow 0 }{u(x+h)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}} + \lim\limits_{h \rightarrow 0 }{v(x)\frac{u(x+h)-u({x})}{h}} \\[0.3em] & {\left\downarrow\color{Gray}{ \begin{array}{l} \text{1. Summand: Limes auseinanderziehen} \\[0.5em] \text{2. Summand: $v(x)$ hängt nicht von $h$ ab,} \\ \text{also können wir diese Konstante vor den Limes schreiben} \end{array}}\right.} \\[0.3em] =\ & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{u(x+h)} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0 }{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}} + v(x) \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0 }{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}} \\[0.3em] & {\left\downarrow\color{Gray}{ \text{ Es gilt }\lim_{h\rightarrow 0 } u(x+h) = u(x) } \right.} \\[0.3em] =\ & u(x) \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0 }{\frac{v(x+h) - v(x) }{h}} + v(x) \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{u(x+h)- u(x)}{h}} \\[0.3em] & {\left\downarrow\color{Gray}{\begin{array}{l} \text{$u$ und $v$ sind differenzierbar, d. h.} \\ \lim\limits_{h \rightarrow 0 }{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}} = v'({x}) \quad \text{und} \\ \lim\limits_{h \rightarrow 0 }{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}} = u'(x) \end{array}} \right.} \\[0.3em] =\ & u(x) v'(x) + v(x) u'(x) \end{align}$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion %%f(x) = x^2%% mittels der Produktregel.

Damit du die Produktregel anwenden kannst, musst du %%f(x) = u(x) \cdot v(x)%% schreiben.

Dazu setze

$$u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$$ %%v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1%%.

Das kannst du in die Formel einsetzen und erhältst $$(x^2)' = x \cdot 1 + 1 \cdot x = x+x= 2x$$

Fällt dir was auf?

Dieses Ergebnis hättest du auch mit der Ableitungsregel für Polynome erhalten können. Aber es ist doch sehr beruhigend, dass beide Wege dir das gleiche (richtige!) Ergebnis liefern, nicht wahr?

Wenn du kompliziertere Funktionen ableiten sollst, ist es daher immer wichtig, dass du dir vorher überlegst, welche Ableitungsregel sich gerade besonders gut eignet.

Weiteres Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion %%f(x) = x^2 \cdot \sin(x)%% mittels der Produktregel.

Bringe dafür %%f(x)%% auf die Form %%f(x)= u(x)\cdot v(x)%%.

Dazu setzt du %%u(x) =x^2%% und %%v(x) = \sin (x)%%.

Die Ableitungen von %%u%% und %%v%% lauten

%%(x^2)' = 2x%% und %%(\sin(x))' = \cos(x).%%

Jetzt kannst du alles in die Formel einsetzen und erhältst $$f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x).$$

Weitere Übungsaufgaben

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Produktregel

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Zu article Produktregel:
Simon 2017-12-03 14:34:51
Bei den Übungsaufgaben sollte eine Übungsaufgabe direkt in dem Artikel eingebunden sein und der Spoiler dann "Weitere Übungsaufgaben" heißen. Siehe Artikel-Richtlinien: https://de.serlo.org/90391
Nish 2017-12-08 09:49:01
Ich versehe gerade nicht, was du meinst. Meinst du vllt. statt eingebunden vorgerechnet? Das ist hier der Fall, nur das eben 2 Beispiele vorgerechnet werden und der Spoiler mit den Übungsaufgaben nach dem zweiten Beispiel komt.

Ich hab's eigentlich genauso gemacht, wie es in den Richtlinien steht. In den Richtlinien steht doch, dass der Spoiler den Titel "Übungsaufgaben" hat und im Spoiler nochmal mit "Weitere Übungsaufgaben" zum Aufgabenordner verlinkt wird.
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Zu article Produktregel: Verbesserungsvorschläge zum Abschnitt Herleitung
Nish 2016-09-20 09:58:48
- Wenn der neue Editor da ist, sollte im Spoiler ein 2-spaltiges Layout verwendet werden.
- Wichtige Begriffe verlinken
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Zu article Produktregel: Anschauliche Erklärung unanschaulich?
Christoph 2016-09-18 08:45:17
Folgende Punkte finde ich zu verbessern:
1. Der Zusammenhang von der Flächenberechnung und der Produktregel wird nicht klar dargestellt und nur am Ende kurz erwähnt.
2. Diese Art von Erklärung setzt ein gewisses Wissen von Linearisierung voraus, über welche die Schüler wohl noch nicht verfügen.
Ich würde sie daher komplett rausstreichen.
Nish 2016-09-20 08:07:20
Danke für die Änderung des Abschnitts!