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Produktregel

Die Produktregel ist eine Regel für das Ableiten von Produkten zweier differenzierbarer Funktionen u\sf u und v\sf v.

Produktregel

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x)=x2\sf f(x) = x^2 mittels der Produktregel.

Damit du die Produktregel anwenden kannst, musst du f(x)=u(x)v(x)\sf f(x) = u(x) \cdot v(x) schreiben.

Dazu setze

v(x)=xv(x)=1\sf v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1.

Das kannst du in die Formel einsetzen und erhältst

Fällt dir was auf?

Dieses Ergebnis hättest du auch mit der Ableitungsregel für Polynome erhalten können. Aber es ist doch sehr beruhigend, dass beide Wege dir das gleiche (richtige!) Ergebnis liefern, nicht wahr?

Wenn du kompliziertere Funktionen ableiten sollst, ist es daher immer wichtig, dass du dir vorher überlegst, welche Ableitungsregel sich gerade besonders gut eignet.

Weiteres Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x)=x2sin(x)\sf f(x) = x^2 \cdot \sin(x) mittels der Produktregel.

Bringe dafür f(x)\sf f(x) auf die Form f(x)=u(x)v(x)\sf f(x)= u(x)\cdot v(x).

Dazu setzt du u(x)=x2\sf u(x) =x^2 und v(x)=sin(x)\sf v(x) = \sin (x).

Die Ableitungen von u\sf u und v\sf v lauten

(x2)=2x\sf (x^2)' = 2x und (sin(x))=cos(x).\sf (\sin(x))' = \cos(x).

Jetzt kannst du alles in die Formel einsetzen und erhältst


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