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Wachstums- und Zerfallprozesse mit e-Funktion

Exponentielles Wachstum wird in der Praxis häufig mit der ee-Funktion modelliert, dam man damit leichter rechnen kann (v.a. Ableitung und Integral).

Aus der Beziehung ax=eln(a)xa^x=e^{\ln(a)\cdot x} und der Funktionsgleichung N(t)=N0atN(t)=N_0\cdot a^t folgt für die Darstellung exponentiellen Wachstums zur Basis ee:

N(t)=N0eλt\displaystyle N(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}

Dabei sind:

  • N(t)N(t): die Anzahl oder Größe eines Wertes nach der Zeit tt,

  • N0N_0: die Anzahl oder Größe des Wertes nach der Zeit 00, also der Startwert,

  • λ=ln(a)\lambda=\ln(a): die Wachstums- oder Zerfallskonstante,

  • ee: die Eulersche Zahl.

Für λ\lambda gilt:

  • Wachstumsprozesse: a>1a>1 \Rightarrow λ>0\lambda>0

  • Zerfallsprozesse: a<1λ<0a<1 \Rightarrow \lambda <0

Konvention

Oft wird die Wachstums- und die Zerfallskonstante λ\lambda immer positiv gewählt. Also hat man auch bei Zerfallsprozessen eine positive Zerfallskonstante; Die Formel muss dann natürlich um ein Minuszeichen ergänzt werden: N(t)=N0eλtN(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t} .

Diese Konvention hat vor allem Vorteile bei der Berechnung der Halbwerts- und Verdoppelungszeit.


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