Exponentielles Wachstum wird in der Praxis häufig mit der %%e%%-Funktion modelliert, dam man damit leichter rechnen kann (v.a. Ableitung und Integral).

Aus der Beziehung %%a^x=e^{\ln(a)\cdot x}%% und der Funktionsgleichung %%N(t)=N_0\cdot a^t%% folgt für die Darstellung exponentiellen Wachstums zur Basis %%e%%:

$$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$

Dabei sind:

  • %%N(t)%%: die Anzahl oder Größe eines Wertes nach der Zeit %%t%%,
  • %%N_0%%: die Anzahl oder Größe des Wertes nach der Zeit %%0%%, also der Startwert,
  • %%\lambda=\ln(a)%%: die Wachstums- oder Zerfallskonstante,
  • %%e%%: die Eulersche Zahl.

Für %%\lambda%% gilt:

  • Wachstumsprozesse: %%a>1%% %%\Rightarrow%% %%\lambda>0%%
  • Zerfallsprozesse: %%a<1 \Rightarrow \lambda <0%%

Konvention

Oft wird die Wachstums- und die Zerfallskonstante %%\lambda%% immer positiv gewählt. Also hat man auch bei Zerfallsprozessen eine positive Zerfallskonstante; Die Formel muss dann natürlich um ein Minuszeichen ergänzt werden: %%N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}%% .

Diese Konvention hat vor allem Vorteile bei der Berechnung der Halbwerts- und Verdoppelungszeit.

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