Aufgaben

Gegeben ist die Funktion %%f(x)= \frac {1}{2x+5}%%.

Gib den Term an, der zu derjenigen Funktion gehört, deren Graph im Vergleich zum Graphen von %%f%%

um 1 nach links verschoben ist

%%f(x)=\frac1{2x+5}%%

Verschiebe den Graphen um 1 nach links.

%%g(x)=f(x+a)%%

Setze für %%a=1%% ein

%%g(x)=\frac1{2(x+1)+5}%%

Rechne die Klammer aus und fasse zusammen

%%g(x)=\frac1{2x+2+5}=\frac1{2x+7}%%

Der Term des um 1 nach links verschobenen Graphen lautet

%%g(x)=\frac1{2x+7}%%

Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der verschobene Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

mit dem Faktor 5 in y-Richtung gestreckt ist

%%f(x)=\frac1{2x+5}%%

Streckungsfaktor %%a=5%%

%%g(x)=a\cdot f(x)%%

Setze %%a=5%% ein

%%g(x)=5\cdot f(x)=5(\frac1{2x+5})%%

Rechne die Klammer aus

%%g(x)=\frac5{2x+5}%%

Der Term lautet %%g(x)=\frac5{2x+5}%%

Im Folgenden ist der Graph Gf der Ausgangsfunktion f rot eingezeichnet und der gestreckte Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

um 2 nach oben verschoben ist

Funktionsgraphen verschieben

%%f(x)=\frac1{2x+5}%%

Verschiebung des Graphen um 2 nach oben.

%%g(x)=f(x)+a%%

Setzte für %%a=2%% ein

%%g(x)=f(x)+2=\frac1{2x+5}+2%%

Der Term des um 2 nach oben verschobenen Graphen lautet

%%g(x)=\frac1{2x+5}+2%%

Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der verschobene Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=2x^3+x^2-3x+1%%

Gib den Term der Funktion an, wenn die Funktion mit dem Streckungsfaktor %%a=2%% in Richtung der %%y%% -Achse gestreckt wird.

%%f(x)=2x³+x^2-3x+1%%

Streckungsfaktor in %%y%% -Richtung: a=2

%%g(x)=a\cdot f(x)%%

%%g(x)=2\cdot f(x)=2\cdot(2x^3+x^2-3x+1)=4x^3+2x^2-6x+2%%

Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f rot eingezeichnet und der gestreckte Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

Der in Richtung der %%y%%-Achse gestreckte Graph hat den Term

%%g(x)=4x^3+2x^2-6x+2%%

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=\frac1{x^2-1}%%

Gib den Term der Funktion an, wenn die Funktion mit dem Streckungsfaktor %%a=4%% in Richtung der %%x%% -Achse gestreckt wird.

%%f(x)=\frac1{x^2-1}%%

Streckungsfaktor %%a=4%%

%%g(x)=f(\frac xa)%%

Setze %%a=4%% ein

%%g(x)=f(\frac x4)=\frac1{({\displaystyle\frac x4})^2-1}%%

Rechne die Klammer aus

%%g(x)=\frac1{{\displaystyle\frac{x²}{16}}-1}%%

Wandle den Nenner in einen Bruch um.

%%g(x)=\frac1{\displaystyle\frac{x²-16}{16}}%%

Berechne den Bruch

%%g(x)=\frac{16}{x²-16}%%

Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f rot eingezeichnet und der gestreckte Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

Der in Richtung der %%x%%-Achse gestreckte Graph hat den Term

%%g(x)=\frac{16}{x^2-16}%%

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=x^4-3x^3+x%%

Gib den Term der Funktion an, wenn die Funktion mit dem Streckungsfaktor %%a=-\frac14%% in Richtung der %%y%% -Achse gestreckt wird. Welche Besonderheit ergibt sich aus dem Streckungsfaktor?

%%f(x)=x^4-3x^3+x%%

Streckungsfaktor %%a=-\frac14%%

%%g(x)=a\cdot f(x)%%

%%g(x)=-\frac14(x^4-3x^3+x)=-\frac14x^4+\frac34x^3-\frac14x%%

Da %%\vert a\vert<1%% ist, wird der Graph gestaucht und weil a negativ ist, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f rot eingezeichnet und der gestauchte Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

Der Term des gestauchten Graphen lautet

%%g(x)=-\frac14x^4+\frac34x^3-\frac14x%%

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=x^3+2x^2+2%%

Gib den Term der Funktion an, wenn die Funktion mit dem Streckungsfaktor %%a=-\frac12%% in Richtung der %%x%% -Achse gestreckt wird. Welche Besonderheit ergibt sich aus dem Streckungsfaktor?

%%f(x)=x^3+2x^2-2%%

Streckungsfaktor %%a=-\frac12%%

%%g(x)=f(\frac xa)%%

%%g(x)=f(\frac xa)=(-2x)^3+2(-2x)^2-2=-8x^3+8x^2-2%%

%%g(x)=f(\frac xa)%%

Setze für %%a%% %%-\frac12%% ein

%%g(x)=f(\frac x{-{\displaystyle\frac12}})=f(-2x)%%

Berechne %%f(-2x)%%

%%g(x)=(-2x)^3+2(-2x)^2-2%%

Rechne die Klammern aus

%%g(x)=-8x^3+8x^2-2%%

Da %%\vert a\vert<1%% ist wird der Graph gestaucht und weil a negativ ist, wird der Graph zusätzlich an der %%y%%-Achse gespiegelt.

Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f rot eingezeichnet und der gestauchte Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

Der Term des gestauchten Graphen lautet

%%g(x)=-8x^3+8x^2-2%%

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=4x^3-1%%

Gib den Term an, der zu derjenigen Funktion gehört, deren Graph im Vergleich zum Graphen von f um 2 nach rechts verschoben wird.

Funktionsgraphen verschieben

%%f(x)=4x³-1%%

Verschiebung des Graphen um 2 nach rechts.

%%g(x)=f(x-a)%%

Setze für a=2 ein

%%g(x)=f(x-2)=4(x-2)³-1%%

Rechne die Klammer aus

%%\begin{array}{l}g(x)=4(x²-2x+4)(x-2)-1=\\\;\;\;\;\;\;\;\;=4(x³-2x²-2x²+4x+4x-8)-1=\\\;\;\;\;\;\;\;\;=4(x³-4x²+8x-8)-1=\\\;\;\;\;\;\;\;\;=4x³-16x²+32x-32-1=\\\;\;\;\;\;\;\;\;=4x³-16x²+32x-33\end{array}%%

Der Term des um 2 nach rechts verschobenen Graphen lautet

%%g(x)=4x³-16x²+32x-33%%

Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der verschobene Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=x⁴+3x³%%

Gib den Term an, der zu derjenigen Funktion gehört, deren Graph im Vergleich zum Graphen von f um 1 nach unten verschoben wird.

Funktionsgraphen verschieben

%%f(x)=x⁴+3x³%%

Verschiebung des Graphen um 1 nach unten.

%%g(x)=f(x)-a%%

Setzt für %%a=1%% ein.

%%g(x)=f(x)-1=x⁴+3x³-1%%

Der Term des um 1 nach unten verschobenen Graphen lautet

%%g(x)=x⁴+3x³-1%%

Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der verschobene Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.

Funktionsgraph

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