Ein Schnittpunkt zweier Funktionen ist ein Punkt in der Ebene, in dem sich die beiden Funktionsgraphen schneiden, d.h. wenn man die x-Koordinate des Punktes in beide Funktionen einsetzt, erhält man bei beiden denselben Wert (nämlich die y-Koordinate des Punktes).

Im diesem Artikel wird die Art und Anzahl der Schnittpunkte erklärt. Für die genaue Vorgehensweise bei der  Bestimmung von Schnittpunkten siehe Artikel " Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen ".

 

Informationen zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen findest du in dem Artikel " Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ".

Formale Definition

Ein Punkt %%(a,b)%% ist ein Schnittpunkt von zwei Funktionen %%f(x)%% und %%g(x)%%, wenn

$$f(a)=g(a)=b$$

   

Die maximale Anzahl an Schnittpunkten

Eine kurze Übersicht über Funktionen, bei denen man zumindest weiß, wie viele Schnittpunkte es maximal gibt, auch wenn man sie dann noch nicht unbedingt bestimmen kann.

 

Zwei Geraden

Zur Erinnerung: Der Funktionsterm einer Gerade hat die Form

$$f(x)=mx+t$$

wobei m und t jeweils Konstanten sind. m ist dabei die Steigung der Gerade und t die Verschiebung in der y-Richtung, oder der y-Achsenabschnitt.

 

Es gibt 3 Möglichkeiten für die Anzahl von Schnittpunkten bei zwei Geraden:

  1. Sie schneiden sich nicht, d.h. sie sind  echt parallel zueinander.
  2. Sie schneiden sich in genau einem Punkt.
  3. Sie schneiden sich in unendlich vielen Punkten, d.h. sie sind identisch.

   

keine Schnittpunkte

Zwei Geraden ohne Schnittpunkte

ein Schnittpunkt

Zwei Geraden mit einem Schnittpunkt

unendlich viele Schnittpunkte

Zwei Geraden mit unendlich Schnittpunkten

Wie erkennt man die Anzahl durch eine Rechnung?
  1. Ein Schnittpunkt:

    Die Graphen der Funktionen $$f(x)=x+1$$ $$g(x)=-2x-5$$ schneiden sich im Punkt %%(-2,-1)%%.

    Folgt man den Anleitungen im Artikel Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen, so bekommt man diesen Punkt als Lösung. Tatsächlich ist der Funktionswert an der Stelle %%-2%% bei beiden gleich %%-1%%: $$f(-2)=-1$$ $$g(-2)=-1$$

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  2. Kein Schnittpunkt:

    Betrachte die Funktionen $$f(x)=2x+1$$ $$g(x)=2x-1$$ Setzt man beide Funktionen gleich, dann ergibt sich ein Widerspruch.

    %%2x+1=2x-1%% |%%-2x%% $$1=-1$$ Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist also leer, deshalb gibt es keinen Schnittpunkt.

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Parabel und Gerade

Eine Parabel hat mit einer Gerade höchstens 2 Schnittpunkte.

kein Schnittpunkt

Parabel und Gerade ohne Schnittpunkte

ein Schnittpunkt

Parabel und Gerade mit einem Schnittpunkt

zwei Schnittpunkte

Parabel und Gerade mit zwei Schnittpunkten

Die Anzahl an Schnittpunkte kann man in dem Fall mit Hilfe der Diskriminante erkennen. Dazu geht man wie folgt vor:

  1. Funktionsterme gleichsetzen

  2. Auf eine quadratische Gleichung der Form %%\mathrm{ax}²+\mathrm{bx}+\mathrm c=0%% bringen

  3. Diskriminante %%\boldsymbol D\boldsymbol=\boldsymbol b^\mathbf2\boldsymbol-\mathbf4\boldsymbol a\boldsymbol c%% berechnen:

  • Falls %%\boldsymbol D\boldsymbol<\mathbf0%% ist, dann gibt es keinen Schnittpunkt.
  • Falls %%\boldsymbol D\boldsymbol=\mathbf0%% ist, dann gibt es genau einen Schnittpunkt.
  • Falls %%\boldsymbol D\boldsymbol>\mathbf0%% ist, dann gibt es zwei Schnittpunkte.

   

Polynomfunktion und Gerade

 

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte von einer Polynomfunktion mit einer Gerade entspricht dem Grad des Polynoms.

So hat ein Polynom dritten Grades höchstens 3 Schnittpunkte mit einer Gerade, kann aber auch weniger Schnittpunkte haben.

Ein Polynom ungeraden Grades größer oder gleich 3 besitzt mit jeder Gerade mindestens einen Schnittpunkt.

Beispiel: Polynom vierten Grades

kein Schnittpunkt

Polynom und Gerade ohne Schnittpunkte

ein Schnittpunkt

Polynom und Gerade ein Schnittpunkt

zwei Schnittpunkte

Polynom und Gerade mit zwei Schnittpunkten

drei Schnittpunkte

Polynom und Gerade mit drei Schnittpunkten

vier Schnittpunkte

Polynom und Gerade mit drei Schnittpunkten

Beliebige Funktionen

Im Allgemeinen gibt es keine Höchstgrenze für die Anzahl der Schnittpunkte, auch wenn die Funktionen nicht identisch sind. Die zwei periodischen Funktionen Sinus und Kosinus zum Beispiel besitzen unendlich viele Schnittpunkte.

Sinus und Kosinusfunktion unendlich viele Schnittpunkte

Video zur Berechnung von Schnittpunkten

 

Bestimmung von Schnittpunkten  Artikel zum Thema

Die Bestimmung von Schnittpunkten besteht aus drei Schritte:

  1. Funktionsterme gleichsetzen
  2. Gleichung nach x auflösen
  3. Die Lösung der Gleichung in eine der Funktionsterme einsetzen.

Die Vorgehensweise genauer und Beispiele befinden sich im Artikel Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen .

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