Grenzwerte einiger Funktionen

In diesem Artikel findest du die Grenzwerte von einigen wichtigen Funktionen. Die graphischen Darstellungen sollen dabei helfen, sich diese Grenzwerte einzuprägen. Zur Bedeutung von Grenzwerten siehe Grenzwertbetrachtung.

Potenzfunktion

Für gerade und ganzzahlige %%n>0%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n=\infty$$
Grafik - Beispiel %%y=x^2%%

Graph

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=x^2%%. Bewegen wir uns nun auf der x-Achse in Richtung immer größer werdender negativer Werte (minus unendlich), so werden die Funktionswerte immer größer (Grenzwert ist plus unendlich).

Und für ungerade und ganzzahlige %%n>0%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n=-\infty$$
Grafik - Beispiel %%y=x^3%%

Graph

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=x^3%%. Bewegen wir uns nun auf der x-Achse in Richtung immer größer werdender negativer Werte (minus unendlich), so werden die Funktionswerte immer kleiner (Grenztwert ist minus unendlich).

Für ungerade sowie gerade ganzzahlige %%n>0%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}x^n=\infty$$
Grafik - Beispiel

Klappe die obigen beiden Spoiler für die Beispiele %%y=x^2%% und %%y=x^3%% aus. Wenn du dich nun entlang der x-Achse in positiver Richtung (also in Richtung des Pfeils) bewegst, dann werden die Funktionswerte für beide Beispiele immer größer (plus unendlich).

Für gerade und ganzzahlige %%n<0%% gilt:

  • $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x< 0}} x^n=\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x> 0}} x^n=\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=\frac{1}{x^2}%%

Graph

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\frac{1}{x^2}%%. Bewegen wir uns nun auf der x-Achse in Richtung %%x=0%% von linker Seite, dann werden die Funktionswerte immer größer (plus unendlich, linksseitiger Grenzwert). Bewegen wir uns in Richtung %%x=0%% von der rechten Seite, dann werden die Funktionswerte auch immer größer (plus unendlich, rechtsseitiger Grenzwert). Wir stellen fest, dass links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.

Für ungerade und ganzzahlige %%n<0%% gilt:

  • $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x< 0}} x^n=-\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x> 0}} x^n=\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=\frac{1}{x}%%

Graph

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\frac{1}{x}%%. Bewegen wir uns nun auf der x-Achse in Richtung %%x=0%% von linker Seite, dann werden die Funktionswerte immer kleiner (minus unendlich). Bewegen wir uns in Richtung %%x=0%% hingegen von der rechten Seite, dann werden die Funktionswerte diesmal immer größer (plus unendlich). Rechts- und linksseitiger Grenzwert sind verschieden!

Für gerade sowie ungerade ganzzahlige %%n<0%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n=0$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}x^n=0$$

Grafik - Beispiel

Klappe die obigen beiden Spoiler für die Beispiele %%y=\frac{1}{x^2}%% und %%y=\frac{1}{x}%% aus. Wenn du dich nun entlang der x-Achse in positiver Richtung (also in Richtung des Pfeils; plus unendlich) bewegst, dann werden die Funktionswerte für beide Beispiele immer kleiner und nähern sich der Null an (der Grenzwert ist Null). Bewegst du dich in Richtung der negativen x-Werte, dann werden die Funktionswerte auch immer kleiner und nähern sich ebenfalls der Null an (Grenzwert ist Null).

Wurzelfunktion

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x}=\infty$$

  • $$\lim_{x\rightarrow0}\sqrt{x}=0$$

Grafik - Beispiel %%y=\sqrt{x}%%

Graph

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\sqrt{x}%%. Bewegen wir uns entlang der x-Achse in positiver Richtung, dann werden auch die Funktionswerte immer größer (der Grenzwert ist plus unendlich).
Die Wurzelfunktion ist nur für nichtnegative reelle Zahlen definiert. Der Grenzwert bei Annäherung an die Null von der rechten Seite ist somit Null.
Ein Grenzwert für x gegen minus unendlich existiert nicht, da Wurzeln im Bereich der reellen Zahlen nur für %%x\ge 0%% berechnet werden können.

Exponentialfunktion

Für reelle %%a>1%% gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=0$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=2^x%%

Graph

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=2^x%%. Bewegen wir uns entlang der x-Achse in positiver Richtung, dann werden auch die Funktionswerte immer größer (der Grenzwert ist plus unendlich).
Bewegen wir uns hingegen in Richtung negativer x-Werte, so werden die Funktionswerte immer kleiner und gehen gegen Null (der Grenzwert ist Null).

Für reelle a, welche im Intervall (0;1) liegen, gilt:

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=\infty$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=0$$

Wie kann man dies bestimmen?

Für reelle %%a>1%% kann man die Funktion %%f(x)=a^x%% zunächst umschreiben (Rechenregeln für Logarithmen nutzen):

$$f(x)=e^{\ln(a^x)}=e^{x\cdot \ln(a)}$$

Nun können die Informationen aus dem Abschnitt "e-Funktion" unter Nutzung der Rechenregeln, die weiter unten angebenen sind, verwendet werden.
Für x gegen Unendlich strebt die e-Funktion gegen Unendlich. Für x gegen minus Unendlich geht die e-Funktion gegen Null. Dabei hat der Konstante Faktor %%\ln(a)%% gegenüber der Variable x bei der Grenzwertberechnung keinen Einfluss, da "die Unendlichkeit überwiegt".
Ein analoges Vorgehen ist für den Fall möglich, dass a im Intervall (0,1) liegt.

Grafik - Beispiel %%y=\left( \frac{1}{2}\right) ^x%%

Graph

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\left( \frac{1}{2}\right) ^x%%. Bewegen wir uns entlang der x-Achse in positiver Richtung, dann werden die Funktionswerte immer kleiner und gehen gegen Null (der Grenzwert ist Null).
Bewegen wir uns hingegen in Richtung negativer x-Werte, so werden die Funktionswerte immer größer und gehen gegen plus unendlich (der Grenzwert ist plus unendlich).

e-Funktion

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl %%e%% als Basis. Die Bezeichnung wird an dieser Stelle genutzt, da sehr häufig mit e-Funktionen gearbeitet wird.

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=0$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty$$

Logarithmusfunktion

  • $$\lim_{x\rightarrow0}\;\ln(x)=-\infty$$

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\ln(x)=\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=ln(x)%%

Graph

Im Bild siehst du als Beispiel die Funktion %%y=\ln(x)%%. Bewegen wir uns entlang der x-Achse in positiver Richtung, dann werden auch die Funktionswerte immer größer (der Grenzwert ist plus unendlich).
Bewegen wir uns hingegen in Richtung %%x=0%% so werden die Funktionswerte immer kleiner und gehen gegen minus unendlich (der Grenzwert ist minus unendlich).

Ein Grenzwert für x gegen minus unendlich existiert nicht, da der Logarithmus im Bereich der reellen Zahlen nur für %%x>0%% berechnet werden kann. Beachte den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion.

Tangensfunktion

  • $$\lim_{\substack{x\to-\frac{\pi}{2} \\ x< -\frac{\pi}{2}}} \tan(x)=\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to-\frac{\pi}{2} \\ x> -\frac{\pi}{2}}} \tan(x)=-\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to\frac{\pi}{2} \\ x< \frac{\pi}{2}}} \tan(x)=\infty$$

  • $$\lim_{\substack{x\to\frac{\pi}{2} \\ x> \frac{\pi}{2}}} \tan(x)=-\infty$$

Grafik - Beispiel %%y=tan(x)%%

Graph

Bewegt man sich gegen %%-\frac{\pi}{2}%% von links, so wachsen die Funktionswerte gegen unendlich an. Geht man gegen %%-\frac{\pi}{2}%% von rechts, dann werden die Funktionswerte immer kleiner und der Grenzwert ist minus unendlich. Analoges gilt für %%\frac{\pi}{2}%%.

Rechenregeln

Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten

  • $$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)+\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte und der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte.

Achtung!

Falls der Limes nicht endlich ist, gelten die Produkt- und die Summenregel nicht: $$\lim_ {x\rightarrow 0} 1 = \lim_ {x\rightarrow 0} \frac{x}{x} \neq\underbrace{\lim_ {x\rightarrow 0} x}_ {\rightarrow 0} \cdot \underbrace{\lim_ {x\rightarrow 0} \frac{1}{x}}_ {\rightarrow \pm\infty} = ? $$

  • $$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)-\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

  • $$\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)\cdot\;\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

  • $$\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{\substack{x\rightarrow a}}\;f(x)}{\lim_{\substack{x\rightarrow a}}\;g(x)}$$

Konstanter Faktor

  • $$\lim_{x\rightarrow a}b\cdot f(x)= b\cdot\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$

Der konstante Faktor b kann vor den Limes gezogen werden. Konstante Faktoren können Variablen als Platzhalter für Zahlen oder auch Zahlen selbst sein. Achtung: Damit ist aber gemeint, dass b unabhängig von x ist!

Logarithmus und e-funktion

Bei Produkten von e-Funktionen, Polynomen und Logarithmus gilt der Merkspruch  "e-Funktion gewinnt immer, Logarithmus verliert immer", d.h. z.B., dass bei einem Grenzwert wie

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^5e^x,$$

bei dem die e-Funkion gegen %%0%% und das Polynom gegen %%\infty%% geht, der Grenzwert sich nach der e-Funktion richtet:

  • $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^5e^x=0$$

Beim Logarithmus geht es genau andersrum, also bei dem Grenzwert

  • $$\lim_{x\rightarrow0}x\cdot \ln(x),$$

bei dem das Polynom gegen %%0%% geht und der Logarithmus gegen %%-\infty%% geht gilt

  • $$\lim_{x\rightarrow0}x\cdot \ln(x) = 0.$$

Regel von de L'Hospital 

Mit der Regel von de L'Hospital kann man den Grenzwert einiger Funktionen leichter bestimmen.

 

 

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