Aufgaben

Bestimme, wie sich die Funktion %%f%% im Unendlichen verhält.

%%f\left(x\right)=x^4-x^3%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=x^4-x^3%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$$

Betrachtung des Elements mit der höchsten Potenz.

$$\Rightarrow\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x^4}_{+\infty}=+\infty$$

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=x^4-x^3%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$$

Betrachtung des Elements mit der höchsten Potenz.

$$\Rightarrow\lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{x^4}_{+\infty}=+\infty$$

%%f\left(x\right)=-\frac13x^3+2x^2%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=-\frac13x^3+2x^2%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{-\frac{1}{3}\underbrace{x^3}_{\rightarrow+\infty}}_{\rightarrow-\infty}+\underbrace{2x^2}_{\rightarrow+\infty}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=-\infty%%

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=-\frac13x^3+2x^2%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{-\frac{1}{3}\underbrace{x^3}_{\rightarrow-\infty}}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{2x^2}_{\rightarrow+\infty}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=+\infty%%

%%f\left(x\right)=2x^4-3x^2-0,5x%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=2x^4-3x^2-0,5x%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{2x^4}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{3x^2}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{0,5x}_{\rightarrow+\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=+\infty%%

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

 

%%f\left(x\right)=2x^4-3x^2-0,5x%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{2x^4}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{3x^2}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{0,5x}_{\rightarrow-\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=+\infty%%

%%f\left(x\right)=\frac18x^3+\frac12x^2-x%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\frac18x^3+\frac12x^2-x%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\frac{1}{8}x^3}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{\frac{1}{2}x^2}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=+\infty%%

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\frac18x^3+\frac12x^2-x%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{\frac{1}{8}x^3}_{\rightarrow-\infty}+\underbrace{\frac{1}{2}x^2}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{x}_{\rightarrow-\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=-\infty%%

%%f(x)=x^5-\frac14x^3+2x%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f(x)=x^5-\frac14x^3+2x%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x^5}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{\frac{1}{4}x^3}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{2x}_{\rightarrow+\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=+\infty%%

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f(x)=x^5-\frac14x^3+2x%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x^5}_{\rightarrow-\infty}-\underbrace{\frac{1}{4}x^3}_{\rightarrow-\infty}+\underbrace{2x}_{\rightarrow-\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=-\infty%%

%%f(x)=x^6-\frac23x^4+3x^2%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f(x)=x^6-\frac23x^4+3x^2%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% berechnen.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x^6}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{\frac{2}{3}x^4}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{3x^2}_{\rightarrow+\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=+\infty%%

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f(x)=x^6-\frac23x^4+3x^2%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% berechnen.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x^6}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{\frac{2}{3}x^4}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{3x^2}_{\rightarrow+\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=+\infty%%

%%f(x)=-\frac32x^4+2x^2%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f(x)=-\frac32x^4+2x^2%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}-\underbrace{\frac32x^4}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{2x^2}_{\rightarrow+\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=-\infty%%

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f(x)=-\frac32x^4+2x^2%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}-\underbrace{\frac32x^4}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{2x^2}_{\rightarrow+\infty}=$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponten betrachtet werden.

%%=-\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion %%f%% für %%x\rightarrow -\infty%% und für %%x\rightarrow \infty%%.

%%f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}%%

Verhalten der Funktion für %%x\rightarrow -\infty%% bzw. %%x\rightarrow +\infty%%

Zur Fragestellung von dieser Aufgabe

"Bestimme das Verhalten der Funktion %%f%% für %%x\rightarrow -\infty%%" heißt:

Gesucht ist

  • der Grenzwert, an den sich die Funktionswerte von %%f%% annähern,
  • wenn der %%x%%-Wert gegen %%-\infty%% geht.

also der %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)%%.

Entsprechend gilt:
"Bestimme das Verhalten der Funktion %%f%% für %%x\rightarrow +\infty%%" heißt:

Gesucht ist der %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim f(x)%%.

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

%%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=\ ?%%

Setze %%f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}%% ein.

%%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?%%

Entsprechend natürlich auch:

%%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim f(x)=\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?%%

Zählergrad und Nennergrad betrachten (hier nicht unbedingt erforderlich, nur zum Überblick)

Betrachte %%f%%:

%%\Rightarrow%% Zählergrad = 2, Nennergrad = 1

und damit ist der Zählergrad ("ZG") größer als der Nennergrad ("NG").

%%f(x)%% kann daher im Unendlichen nur gegen %%+\infty%% oder %%-\infty%% gehen, nicht aber gegen irgendeine reelle Zahl.

ZG > NG %%\ \Rightarrow%% %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=\infty%% oder %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=- \infty%%

Genauso gilt:
ZG > NG %%\ \Rightarrow%% %%\underset{x\rightarrow +\infty}\lim f(x)=\infty%% oder %%\underset{x\rightarrow +\infty}\lim f(x)=- \infty%%

ABER:

Ob %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=\infty%% oder %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=- \infty%% ist, kann man auf diesem Weg nicht herausfinden.
(Entsprechendes gilt natürlich auch für %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim f(x)%%. )

Bei dieser Aufgabe ist es somit nicht möglich, mit der Argumentation über Zählergrad und Nennergrad bereits die beiden Grenzwerte zu ermitteln.

Anmerkung:
Allerdings kann man so erkennen, dass %%f%% keine waagrechte Asymptote hat.
Denn wenn %%f%% eine waagrechte Asymptote hätte,

  • müsste diese Asymptote eine Gleichung der Form %%y=a%% für eine reelle Zahl %%a%% haben,
  • und es müsste %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim f(x)=a%% oder %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim f(x)=a%% sein.

%%f%% hat aber eine schräge Asymptote, denn es gilt: ZG = NG+1.

Berechnung von %%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}%% und %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}%%

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

  • Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten %%x%%-Potenz des Nenners
  • Methode 2: Polynomdivision
  • Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital
Lösung durch Ausklammern und Kürzen der höchsten %%x%%-Potenz des Nenners

%%\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}=%%

Die höchste %%x%%-Potenz des Nenners ist %%x%%.

Klammere daher %%x%% im Zähler und im Nenner aus, und verwende dazu, wo es erforderlich ist, Brüche.

%%=\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x\cdot x}{x\cdot (1+\frac{1}{x})}=%%

Kürze %%x%% weg.

%%=\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x}{1+\frac{1}{x}}\ =%%

Da sich %%\frac{1}{x}%% für %%x\rightarrow -\infty%% an %%0%% annähert,

ist %%\dfrac{x}{1+\frac{1}{x}}\approx \dfrac{x}{1}%% für %%x\rightarrow -\infty%%.

Daher brauchst du das %%\frac{1}{x}%% bei der Grenzwertbildung nicht mehr zu berücksichtigen.

%%=\underset{x\rightarrow-\infty}\lim \dfrac{x}{1}\ =%%

Bilde nun den Grenzwert gegen %%-\infty%%.

$$=-\infty$$

Ebenso führt man die Rechnung für %%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}%% durch:

%%\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x^2}{x+1}=\ ….\ =\underset{x\rightarrow+\infty}\lim \dfrac{x}{1}%%

$$\Rightarrow\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x+1}=+\infty$$

Ergebnisse:

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x+1}=-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x+1}=+\infty%%

Lösung mit Polynomdivision

hier noch nicht ausgeführt; in Arbeit bzw. mit der Bitte an die Community, diese Variante hier noch zu ergänzen

Lösung mit Regel von L'Hospital

hier noch nicht ausgeführt; in Arbeit bzw. mit der Bitte an die Community, diese Variante hier noch zu ergänzen

%%f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{3x^2+4}%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x^2+4}%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$$

Zählergrad < Nennergrad

$$\Rightarrow\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x+1}{3x^2+4}=0^+$$

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x^2+4}%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$$

Zählergrad < Nennergrad

$$\Rightarrow\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x+1}{3x^2+4}=0^-$$

%%f\left(x\right)=\dfrac{-3x+2}{4x-5}%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\frac{-3x+2}{4x-5}%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{\overbrace{-3x}^{\rightarrow-\infty}+2}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{\underbrace{4x}_{\rightarrow+\infty}-5}_{\rightarrow+\infty}}=$$

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-3}{4}=-0,75$$

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\frac{-3x+2}{4x-5}%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{\overbrace{-3x}^{\rightarrow+\infty}+2}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{\underbrace{4x}_{\rightarrow-\infty}-5}_{\rightarrow-\infty}}=$$

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-3}{4}=-0,75$$

%%f\left(x\right)=2+\dfrac5x%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=2+\frac5x%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}2+\underbrace{\frac{5}{\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty}}}_{\rightarrow0}=2$$

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=2+\frac5x%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}2+\underbrace{\frac{5}{\underbrace{x}_{\rightarrow-\infty}}}_{\rightarrow0}=2$$

Wie verhält sich die folgende Funktion für %%x\rightarrow -\infty%%, und wie für %%x\rightarrow \infty%%?

%%f\left(x\right)=2^{-x}\sin\;x%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=2^{-x}\sin x%%

Potenzgesetze anwenden.

$$=\frac1{2^x}\cdot\sin x$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac1{2^x}\cdot\sin x=$$

$$=\lim_{x\rightarrow +\infty}\underbrace{\frac1{\underbrace{2^x}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin\;x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$$

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

$$f\left(x\right)=\frac1{2^x}\cdot\sin x$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{2^x}\cdot\sin x=$$

$$=\lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\frac1{\underbrace{2^x}_{\rightarrow0}}}_{\rightarrow\infty}\cdot\underbrace{\sin\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$$

%%\Rightarrow%% Kein Grenzwert da %%\sin x%% keinen Grenzwert hat.

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}\sin\;x%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

$$f\left(x\right)=\frac1{x^2}\cdot\sin x$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{x^2}\cdot\sin x=$$

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\underbrace{\frac1{\underbrace{x^2}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$$

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

$$f\left(x\right)=\frac1{x^2}\cdot\sin x$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{x^2}\cdot\sin x=$$

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\frac1{\underbrace{x^2}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$$

%%f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos\;x%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos x%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(2x+3\right)\cos x=$$

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(2x+3\right)}_{\rightarrow+\infty}\underbrace{\cos\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$$

%%\Rightarrow%% Kein Grenzwert da %%\cos x%% keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos x%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(2x+3\right)\cos x=$$

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(2x+3\right)}_{\rightarrow-\infty}\underbrace{\cos\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$$

%%\Rightarrow%% Kein Grenzwert da %%\cos x%% keinen Grenzwert hat.

%%f\left(x\right)=5\cdot2^x%%

Verhalten gegen %%+\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=5\cdot2^x%%

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}5\cdot\underbrace{2^x}_{\rightarrow +\infty}=+\infty$$

Verhalten gegen %%-\infty%%

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=5\cdot2^x%%

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}5\cdot\underbrace{2^x}_{\rightarrow 0}=0$$

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