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Extremum

Das Extremum ist der Oberbegriff für ein lokales oder globales Minimum oder Maximum.

Ein lokales Minimum ist dabei ein Punkt des Graph der Funktion f\sf f, in dessen Umgebung keine kleineren Funktionswerte auftreten. Entprechend treten in einer Umgebung eines lokalen Maximums keine größeren Funktionswerte auf.

Wenn diese Eigenschaft sogar auf dem gesamten Definitionsbereich erfüllt ist, d.h. wenn der Graph der Funktion f\sf f nirgendwo kleinere bzw. größere Funktionswerte besitzt, so spricht man von einem globalen Minimum bzw. globalen Maximum.

Arten von Extrema

Man unterscheidet

  • Minimum (Tiefpunkt) und

  • Maximum (Hochpunkt),

wobei diese nochmal in

  • global und

  • lokal

unterteilt werden.

Jedes globale Extremum ist auch lokal. Aber nicht jedes lokale Extremum ist auch global.

Extremstellen

Die Stellen, d. h. die x\sf x-Werte, an denen ein Extremum vorliegt, nennt man Extremstellen.

Bestimmung der Extremstellen mithilfe der Ableitung

Eine lokale Extremstelle xE\sf x_E einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung:f(xE)=0\sf f'(x_E) = 0.

Ist die Ableitung wiederum differenzierbar, so kann man die Extremstelle weiter charakterisieren:

  • Gilt f(xE)>0\sf f''(x_E) > 0, so liegt an xE\sf x_E ein lokales Minimum vor.

  • Gilt f(xE)<0\sf f''(x_E) < 0, so liegt an xE\sf x_E ein lokales Maximum vor.

  • Gilt f(xE)=0\sf f''(x_E) = 0, so ist keine weitere Aussage möglich. An xE\sf x_E kann ein Minimum, ein Maximum, oder ein Terrassenpunkt vorliegen.

Mit diesen Bedingungen kann man die Extremstellen von differenzierbaren Funktionen berechnen:

  1. Mögliche Kandidaten finden mit der Bedingung  f(xE)=0\sf f'\left(x_E\right)=0, d.h. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung.

  2. Überprüfen, ob es sich um ein Maximum, ein Minimum oder einen Terrassenpunkt handelt.

  3. Bestimmung des y\sf y-Werts.

Für genauere Informationen siehe Extrema berechnen.

Vorzeichenwechselkriterium

Anstatt die zweite Ableitung zu berechnen, kann man auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle xE\sf x_E bestimmen, dabei berechnet man das Monotonieverhalten der Funktion:

  • Ist die Steigung vor einer möglichen Extremstelle xE\sf x_E negativ und danach positiv, so liegt an xE\sf x_E ein lokales Minimum vor.

  • Ist die Steigung vor einer möglichen Extremstelle xE\sf x_E positiv und danach negativ, so liegt an xE\sf x_E ein lokales Maximum vor.

  • Ändert sich das Vorzeichen der Ableitung vor und hinter der Extremstelle nicht, so liegt ein Terrassenpunkt vor.

Am einfachsten ist dies in einer Tabelle darstellbar. Die Vorzeichen in der Tabelle geben jeweils das Vorzeichen der Ableitung in dem betreffenden Bereich (d. h. an einer Stelle x\sf x mit x<xE\sf x \lt x_E bzw. mit x>xE\sf x \gt x_E) an.

xE\sf x_E ist ein Hochpunkt

+

0

-

xE\sf x_E ist ein Tiefpunkt

-

0

+

xE\sf x_E ist ein Terrassenpunkt

+

0

+

oder

-

0

-

Anschauliche Erklärung der Tabelle

Die Ableitung links vom Extremum ist positiv.

Maximum

Die Ableitung rechts vom Extremum ist negativ.

Die Ableitung links vom Extremum ist negativ.

Minimum

Die Ableitung rechts von Extremum ist positiv.

Die Ableitung ändert das Vorzeichen nicht vor…

Terrassenpunkt

…und nach der Extremstelle.

**

**

**

**

**

**

Warum ist die erste Bedingung notwendig?

Das Vorzeichen der Ableitung beschreibt, ob die Funktion fällt oder steigt: ein positives Vorzeichen bedeutet, dass die Funktion steigt, ein negatives bedeutet, dass sie fällt. Da die Funktion an der Extremstelle weder fallen noch steigen darf, ist die Ableitung an der Stelle also null. Die folgende drei Bilder veranschaulichen diese Idee. Dabei wird die Steigung als die Steigung der Tangente dargestellt.

negative Steigung

positive Steigung

Extremum

Warum ist bei f(xE)=0\sf f''(x_E)=0 keine Aussage möglich?

Bei den Funktionen f1(x)=x8\sf f_1(x)=x^8, f2(x)=x8\sf f_2(x)=−x^8,f3(x)=x7\sf f_3(x)=x^7 sind die ersten sechs Ableitungen an der Stelle xE=0\sf x_E=0 jeweils null, aber man erhält einmal einen Tiefpunkt, einen Hochpunkt und einen Terrassenpunkt.

f1(x)=x8\sf f_1\left(x\right)=x^8: Tiefpunkt

f2(x)=x8\sf f_2\left(x\right)=-x^8: Hochpunkt

f3(x)=x7\sf f_3\left(x\right)=x^7: Terrassenpunkt


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