Das Extremum ist der Oberbegriff für ein lokales oder globales Minimum oder Maximum.

Ein lokales Minimum ist dabei ein Punkt des Graph der Funktion %%f%%, in dessen Umgebung keine kleineren Funktionswerte auftreten. Entprechend treten in einer Umgebung eines lokalen Maximums keine größeren Funktionswerte auf.

Wenn diese Eigenschaft sogar auf dem gesamten Definitionsbereich erfüllt ist, d.h. wenn der Graph der Funktion %%f%% nirgendwo kleinere bzw. größere Funktionswerte besitzt, so spricht man von einem globalen Minimum bzw. globalen Maximum.

Lokale Globales Maximum Minimum Graph

Arten von Extrema

Man unterscheidet

  • Minimum (Tiefpunkt) und
  • Maximum (Hochpunkt),

wobei diese nochmal in

  • global und
  • lokal

unterteilt werden.

Jedes globale Extremum ist auch lokal. Aber nicht jedes lokale Extremum ist auch global.

Extremstellen

Die Stellen, d. h. die %%x%%-Werte, an denen ein Extremum vorliegt, nennt man Extremstellen.

Bestimmung der Extremstellen mithilfe der Ableitung

Eine lokale Extremstelle %%x_E%% einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung: %%f'(x_E) = 0%%.

Ist die Ableitung wiederum differenzierbar, so kann man die Extremstelle weiter charakterisieren:

  • Gilt %%f''(x_E) > 0%%, so liegt an %%x_E%% ein lokales Minimum vor.
  • Gilt %%f''(x_E) < 0%%, so liegt an %%x_E%% ein lokales Maximum vor.
  • Gilt %%f''(x_E) = 0%%, so ist keine weitere Aussage möglich. An %%x_E%% kann ein Minimum, ein Maximum, oder ein Terrassenpunkt vorliegen.

Mit diesen Bedingungen kann man die Extremstellen von differenzierbaren Funktionen berechnen:

  1. Mögliche Kandidaten finden mit der Bedingung  %%f'\left(x_E\right)=0%%, d.h. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung.
  2. Überprüfen, ob es sich um ein Maximum, ein Minimum oder einen Terassenpunkt handelt.
  3. Bestimmung des %%y%%-Werts.

Für genauere Informationen siehe Extrema berechnen.

Vorzeichenwechselkriterium

Anstatt die zweite Ableitung zu berechnen, kann man auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle %%x_E%% bestimmen, dabei berechnet man das Monotonieverhalten der Funktion:

  • Ist die Steigung vor einer möglichen Extremstelle %%x_E%% negativ und danach positiv, so liegt an %%x_E%% ein lokales Minimum vor.
  • Ist die Steigung vor einer möglichen Extremstelle %%x_E%% positiv und danach negativ, so liegt an %%x_E%% ein lokales Maximum vor.
  • Ändert sich das Vorzeichen der Ableitung vor und hinter der Extremstelle nicht, so liegt ein Terrassenpunkt vor.

Am einfachsten ist dies in einer Tabelle darstellbar. Die Vorzeichen in der Tabelle geben jeweils das Vorzeichen der Ableitung in dem betreffenden Bereich (d. h. an einer Stelle %%x%% mit %%x \lt x_E%% bzw. mit %%x \gt x_E%%) an.

%%x\lt x _E%%

%%x = x _E%%

%%x \gt x _E%%

%%x_E%% ist ein Hochpunkt

+

0

-

%%x_E%% ist ein Tiefpunkt

-

0

+

%%x_E%% ist ein Terassenpunkt

+

0

+

oder

-

0

-

Anschauliche Erklärung der Tabelle

Die Ableitung links vom Extremum ist positiv. 

Maximum

Die Ableitung rechts vom Extremum ist negativ. 

positive Steigung Tangente Graph

Maximum keine Steigung Tangente

negative Steigung Tangente Graph

Die Ableitung links vom Extremum ist negativ.

Minimum

Die Ableitung rechts von Extremum ist positiv.

negative Steigung Tangente Graph

Minimum keine Steigung Tangente

positive Steigung Tangente Graph

Die Ableitung ändert das Vorzeichen nicht vor…

Terassenpunkt

…und nach der Extremstelle.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8613_tltcbwOS1P.xml

Maximum keine Steigung Tangente

negative Steigung Tangente Graph

Warum ist die erste Bedingung notwendig?

Das Vorzeichen der Ableitung beschreibt, ob die Funktion fällt oder steigt: ein positives Vorzeichen bedeutet, dass die Funktion steigt, ein negatives bedeutet, dass sie fällt. Da die Funktion an der Extremstelle weder fallen noch steigen darf, ist die Ableitung an der Stelle also null. Die folgende drei Bilder veranschaulichen diese Idee. Dabei wird die Steigung als die Steigung der Tangente dargestellt.

negative Steigung Tangente Graph

positive Steigung Tangente Graph

keine Steigung Tangente Graph

negative Steigung

positive Steigung

Extremum

Warum ist bei %%f''(x_E)=0%% keine Aussage möglich?

Bei den Funktionen %%f_1(x)=x^8%%, %%f_2(x)=−x^8%%,%%f_3(x)=x^7%% sind die ersten sechs Ableitungen an der Stelle %%x_E=0%% jeweils null, aber man erhält einmal einen Tiefpunkt, einen Hochpunkt und einen Terassenpunkt.

Minimum zweite Abeitung null

maximum zweite Ableitung null

Terassenpunkt zweite Ableitung null

%%f_1\left(x\right)=x^8%%: Tiefpunkt

%%f_2\left(x\right)=-x^8%%: Hochpunkt

%%f_3\left(x\right)=x^7%%: Terassenpunkt

Kommentieren Kommentare

Zu article Extremum:
alropp 2016-10-30 22:38:37
Über der Tabelle zum Vorzeichenwechselkriterium steht "Die Vorzeichen in der Tabelle geben jeweils das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle x_E an". Müsste es nicht eher "... an einer Stelle x in der Nähe von x_E an." oder ähnlich heißen?
Renate 2016-10-31 07:22:03
Hallo alropp, vielen Dank für den Hinweis!
Ich habe den Text jetzt abgeändert - ist es so nun in Ordnung?

Gruß
Renate
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Zu article Extremum: Verwendung des Begriffs Extremum
Felix 2015-12-28 10:53:08
Zu Beginn des Artikels heißt es: "Ein lokales Minimum ist dabei ein Punkt einer Funktion f...".
Eine Funktion kann ein Extremum aufweisen (in Form eines Extremwertes). Aber auch ein Funktionsgraph kann einen Hoch-/Tiefpunkt, also ein Extremum, haben.
Funktionen besitzen aber keine Punkte. Somit ist ein lokales Minimum auch kein Punkt einer Funktion f, sondern ein Punkt des Graphens G einer Funktion f.
Evtl. taucht dieser Fehler auch in anderen Artikeln auf.
Nessa 2016-01-02 09:45:22
Hallo Felix,
danke für den Hinweis! Ich habe es hier geändert. Wir halten die Augen nach diesem Fehler auch bei anderen Artikeln offen.
LG,
Nessa
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