Das Extremum ist der Oberbegriff für ein lokales oder globales Minimum oder Maximum.
Ein lokales Minimum ist dabei ein Punkt des Graph der Funktion ff, in dessen Umgebung keine kleineren Funktionswerte auftreten. Entprechend treten in einer Umgebung eines lokalen Maximums keine größeren Funktionswerte auf.
Wenn diese Eigenschaft sogar auf dem gesamten Definitionsbereich erfüllt ist, d.h. wenn der Graph der Funktion ff nirgendwo kleinere bzw. größere Funktionswerte besitzt, so spricht man von einem globalen Minimum bzw. globalen Maximum.
Lokale Globales Maximum Minimum Graph

Arten von Extrema

Man unterscheidet
  • Minimum (Tiefpunkt) und
  • Maximum (Hochpunkt),
wobei diese nochmal in
  • global und
  • lokal
unterteilt werden.
Jedes globale Extremum ist auch lokal. Aber nicht jedes lokale Extremum ist auch global.

Extremstellen

Die Stellen, d. h. die xx-Werte, an denen ein Extremum vorliegt, nennt man Extremstellen.

Bestimmung der Extremstellen mithilfe der Ableitung

Eine lokale Extremstelle xEx_E einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung:f(xE)=0f'(x_E) = 0.
Ist die Ableitung wiederum differenzierbar, so kann man die Extremstelle weiter charakterisieren:
  • Gilt f(xE)>0f''(x_E) > 0, so liegt an xEx_E ein lokales Minimum vor.
  • Gilt f(xE)<0f''(x_E) < 0, so liegt an xEx_E ein lokales Maximum vor.
  • Gilt f(xE)=0f''(x_E) = 0, so ist keine weitere Aussage möglich. An xEx_E kann ein Minimum, ein Maximum, oder ein Terrassenpunkt vorliegen.
Mit diesen Bedingungen kann man die Extremstellen von differenzierbaren Funktionen berechnen:
  1. Mögliche Kandidaten finden mit der Bedingung  f(xE)=0f'\left(x_E\right)=0, d.h. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung.
  2. Überprüfen, ob es sich um ein Maximum, ein Minimum oder einen Terrassenpunkt handelt.
  3. Bestimmung des yy-Werts.
Für genauere Informationen siehe Extrema berechnen.

Vorzeichenwechselkriterium

Anstatt die zweite Ableitung zu berechnen, kann man auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle xEx_E bestimmen, dabei berechnet man das Monotonieverhalten der Funktion:
  • Ist die Steigung vor einer möglichen Extremstelle xEx_E negativ und danach positiv, so liegt an xEx_E ein lokales Minimum vor.
  • Ist die Steigung vor einer möglichen Extremstelle xEx_E positiv und danach negativ, so liegt an xEx_E ein lokales Maximum vor.
  • Ändert sich das Vorzeichen der Ableitung vor und hinter der Extremstelle nicht, so liegt ein Terrassenpunkt vor.
Am einfachsten ist dies in einer Tabelle darstellbar. Die Vorzeichen in der Tabelle geben jeweils das Vorzeichen der Ableitung in dem betreffenden Bereich (d. h. an einer Stelle xx mit x<xEx \lt x_E bzw. mit x>xEx \gt x_E) an.

%%x\lt x _E%%

%%x = x _E%%

%%x \gt x _E%%

%%x_E%% ist ein Hochpunkt

+

0

-

%%x_E%% ist ein Tiefpunkt

-

0

+

%%x_E%% ist ein Terrassenpunkt

+

0

+

oder

-

0

-

Anschauliche Erklärung der Tabelle
Die Ableitung links vom Extremum ist positiv.
Maximum
Die Ableitung rechts vom Extremum ist negativ.
positive Steigung Tangente Graph
Maximum keine Steigung Tangente
negative Steigung Tangente Graph
Die Ableitung links vom Extremum ist negativ.
Minimum
Die Ableitung rechts von Extremum ist positiv.
negative Steigung Tangente Graph
Minimum keine Steigung Tangente
positive Steigung Tangente Graph
Die Ableitung ändert das Vorzeichen nicht vor…
Terrassenpunkt
…und nach der Extremstelle.
**
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8613_tltcbwOS1P.xml
**
**
Maximum keine Steigung Tangente
**
**
negative Steigung Tangente Graph
**

Warum ist die erste Bedingung notwendig?
Das Vorzeichen der Ableitung beschreibt, ob die Funktion fällt oder steigt: ein positives Vorzeichen bedeutet, dass die Funktion steigt, ein negatives bedeutet, dass sie fällt. Da die Funktion an der Extremstelle weder fallen noch steigen darf, ist die Ableitung an der Stelle also null. Die folgende drei Bilder veranschaulichen diese Idee. Dabei wird die Steigung als die Steigung der Tangente dargestellt.
negative Steigung Tangente Graph
positive Steigung Tangente Graph
keine Steigung Tangente Graph
negative Steigung
positive Steigung
Extremum
Warum ist bei f(xE)=0f''(x_E)=0 keine Aussage möglich?
Bei den Funktionen f1(x)=x8f_1(x)=x^8, f2(x)=x8f_2(x)=−x^8,f3(x)=x7f_3(x)=x^7 sind die ersten sechs Ableitungen an der Stelle xE=0x_E=0 jeweils null, aber man erhält einmal einen Tiefpunkt, einen Hochpunkt und einen Terrassenpunkt.
Minimum zweite Abeitung null
maximum zweite Ableitung null
Terassenpunkt zweite Ableitung null
f1(x)=x8f_1\left(x\right)=x^8: Tiefpunkt
f2(x)=x8f_2\left(x\right)=-x^8: Hochpunkt
f3(x)=x7f_3\left(x\right)=x^7: Terrassenpunkt
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Zu article Extremum:
alropp 2016-10-30 22:38:37+0100
Über der Tabelle zum Vorzeichenwechselkriterium steht "Die Vorzeichen in der Tabelle geben jeweils das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle x_E an". Müsste es nicht eher "... an einer Stelle x in der Nähe von x_E an." oder ähnlich heißen?
Renate 2016-10-31 07:22:03+0100
Hallo alropp, vielen Dank für den Hinweis!
Ich habe den Text jetzt abgeändert - ist es so nun in Ordnung?

Gruß
Renate
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Zu article Extremum: Verwendung des Begriffs Extremum
Felix 2015-12-28 10:53:08+0100
Zu Beginn des Artikels heißt es: "Ein lokales Minimum ist dabei ein Punkt einer Funktion f...".
Eine Funktion kann ein Extremum aufweisen (in Form eines Extremwertes). Aber auch ein Funktionsgraph kann einen Hoch-/Tiefpunkt, also ein Extremum, haben.
Funktionen besitzen aber keine Punkte. Somit ist ein lokales Minimum auch kein Punkt einer Funktion f, sondern ein Punkt des Graphens G einer Funktion f.
Evtl. taucht dieser Fehler auch in anderen Artikeln auf.
Nessa 2016-01-02 09:45:22+0100
Hallo Felix,
danke für den Hinweis! Ich habe es hier geändert. Wir halten die Augen nach diesem Fehler auch bei anderen Artikeln offen.
LG,
Nessa
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