Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion.

Man bestimmt das Monotonieverhalten (bzw. die Monotonieintervalle) einer differenzierbaren Funktion %%f%% über ihre erste Ableitung:  

  • Wenn %%f^\prime(x)\geq 0%% für alle %%x%%-Werte, ist die Funktion monoton steigend
  • Wenn %%f^\prime(x)\leq 0%% für alle %%x%%-Werte, ist die Funktion monoton fallend.

Berechnung des Monotonieverhaltens

Um herauszufinden in welchen Bereichen der Graph monoton steigend oder monoton fallend ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

Mit einer Monotonietabelle

Hier betrachtet man das Vorzeichen der 1. Ableitung um die Extrempunkte herum und schließt so auf das Monotonieverhalten.

  • Vorteil: Man braucht nicht die 2. Ableitung.

  • Nachteil: Man muss die Polstellen berücksichtigen. (Eventuell braucht man die 1. Ableitung in einer faktorisierten Darstellung. Vergleiche dazu Linearfaktorzerlegung.)

Mit der 2. Ableitung

Hier findet man zunächst heraus, ob Hochpunkte oder Tiefpunkte vorliegen und schließt dann auf das Monotonieverhalten.

  • Vorteil: Man benötigt die 1. Ableitung nicht in einer faktorisierten Darstellung.

  • Nachteil: Man benötigt die 2. Ableitung. Diese kann mitunter sehr kompliziert werden. Bei manchen Funktionen benötigt man sogar die 3. Ableitung. Manchmal ermöglichen die Ableitungen auch gar keine Aussagen.

Beispiel

Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion

$$f\left(x\right)=\frac13x^3-\frac52x^2+6x+3$$

Graph

Mit einer Monotonietabelle

Allgemein

Gegeben ist eine Funktion %%f\left(x\right)%%

Beispiel

%%f\left(x\right)=\frac13x^3-\frac52x^2+6x+3%%

Bestimme die 1. Ableitung %%f^\prime\left(x\right)%%

%%f^\prime\left(x\right)=x^2-5x+6%%

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime\left(x\right)%% (also die Extrema von %%f\left(x\right)%%) %%x_1,\;x_2,\;x_3,\;usw.%% (Die Anzahl der Extrema hängt natürlich von der Funktion %%f\left(x\right)%% ab.)

%%f^\prime\left(x\right)=0\;\;\Leftrightarrow\;\;0=x^2-5x+6%%

Mit dem Satz von Vieta oder der Mitternachtsformel erhält man die Extrema bei %%x_1=2\;\;und\;\;x_2=3%%

Erstelle nun eine Vorzeichentabelle: Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6630_CW2qqGQOI3.xml

Erstelle nun eine Vorzeichentabelle:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6634_T166Ma2l34.xml

  • Die waagrechte Linie versteht man als Zahlenstrahl. Dort werden der Größe nach die Nullstellen der 1. Ableitung angetragen (und evtl. die Polstellen der Ausgangsfunktion f(x); siehe "Achtung" unten).

  • Nun betrachtet man die Intervalle zwischen den angetragenen Nullstellen.

  • Man setzt irgend einen Wert aus dem jeweiligen Intervall in die 1. Ableitung ein und notiert sich das Vorzeichen in die zweite Zeile.

  • Für das 1. Intervall %%\rbrack-\infty;2\lbrack%% wähle z.B. den Wert $$x=0\Rightarrow f^\prime\left(0\right)=6>0$$

  • Für das 2. Intervall %%\rbrack2;3\lbrack%% wähle z.B. den Wert $$x=2,5\Rightarrow$$ $$f^\prime\left(2,5\right)=6,25-12,5+6=-0,25$$

  • Für das 3. Intervall %%\rbrack3;\infty\lbrack%% wähle z.B. den Wert %%x=5\Rightarrow f^\prime\left(5\right)=25-25+6=6\gt0%%

Man kann die Vorzeichentabelle auch ausführlicher machen. Dazu benötigt man aber die 1. Ableitung in faktorisierter Darstellung:

Faktorisiere die 1. Ableitung: %%f^\prime\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\cdot(x-x_2)\cdot\left(x-x_3\right)\cdot\ldots%%

Man kann die Vorzeichentabelle auch ausführlicher machen. Dazu benötigt man aber die 1. Ableitung in faktorisierter Darstellung:

%%f^\prime\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot\left(x-3\right)%%

Erstelle eine Vorzeichentabelle:

Vorzeichentabelle

Erstelle eine Vorzeichentabelle:

Vorzeichentabelle

  • In der ersten Spalte stehen die einzelnen Faktoren

  • Die erste waagrechte Linie versteht man als Zahlenstrahl. Dort werden der Größe nach die Nullstellen der 1. Ableitung angetragen (und evtl. die Polstellen der Ausgangsfunktion f(x); siehe "Achtung" unten).

  • Nun schaut man Zeile für Zeile welches Vorzeichen die einzelnen Faktoren vor bzw. nach den angetragenen Nullstellen (und evtl. auch Polstellen) haben. Dort wo ein Faktor 0 wird trägt man die Null auf den senkrechten Strich ein.

  • In der letzten Zeile betrachtet man das Vorzeichen des Gesamtterms. Das Vorzeichen ergibt sich einfach aus den in der selben Spalte darüber liegenden Vorzeichen. Es gelten die bekannten Regeln: %%"+\cdot+=+"%%; %%"+\cdot-=-"%%; %%"-\cdot-=+"%%

  • 1) Zeile: Betrachte Werte für x die kleiner als 2 sind. Dann ist das Vorzeichen des Faktors (x-2) ein Minus. Betrachtet man Werte zwischen 2 und 3 wird der Faktor (x-2) größer 0. Genauso für x-Werte die größer als 3 sind.

  • 2) Zeile: Gleiches Spiel in dieser Zeile nur das man den Faktor (x-3) betrachtet. Für Werte kleiner als 2 wird dieser Faktor natürlich negativ, genauso für Werte zwischen zwei und 3. Alle x-Werte die größer als 3 sind lassen den Faktor positiv werden.

  • Die Vorzeichen in der letzten Zeile ergeben sich aus der Multiplikation der Vorzeichen die in einer Spalte darüber liegen.

Egal welche Variante der Vorzeichentabelle man verwendet, kann man nun die Monotonie des Graphen ablesen: Ist das Vorzeichen in der letzten Zeile ein %%+%% so ist der Graph in diesem Bereich (inklusive die Ränder, außer die Ränder sind nicht im Definitionsbereich enthalten! Vergleiche hierzu: Monotonie) streng monoton steigend. Ist das Vorzeichen ein %%-%% so ist der Graph in diesem Bereich streng monoton fallend:

%%f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow%% streng monoton steigend

%%f^\prime(x)\lt0\;\rightarrow%% streng monoton fallend

Achtung: Wenn die Funktion eine oder mehrere Polstellen hat, müssen diese in der Vorzeichentabelle mit berücksichtigt werden. Man zeichnet dann einfach eine zusätzliche senkrechte Linie ein, die dann die Polstelle repräsentiert. Die Intervalle die man dann betrachtet werden somit von den Polstellen "zerstückelt".

%%]-\infty;2[:f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow G_f%% ist streng monoton steigend im Intervall %%]-\infty;2]%%

%%]2;3[:f^\prime(x)\lt0\;\rightarrow G_f%% ist streng monoton fallend im Intervall %%[2;3]%%

%%]3;\infty[:f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow G_f%% ist streng monoton steigend im Intervall %%[3;\infty[%%

Achtung: Um die maximalen Intervalle anzugeben, in denen der Graph der Funktion streng monoton fällt bzw. streng monoton steigt, müssen die Ränder (also 2 und 3) mit eingeschlossen werden!

Auch wenn die Funktion an diesen Stellen die Steigung 0 hat.

Mit der 2. Ableitung   

Allgemein

Beispiel

Gegeben ist eine Funktion %%f\left(x\right)%%

%%f\left(x\right)=\frac13x^3-\frac52x^2+6x+3%%

Bestimme die 1. Ableitung %%f^\prime\left(x\right)%%

%%f^\prime\left(x\right)=x^2-5x+6%%

Bestimme die Nullstellen von %%f^\prime\left(x\right)%% (also die Extrema) %%x_1,\;x_2,\;x_3,\;\text{usw.}%% (Die Anzahl der Nullstellen hängt natürlich von der Funktion %%f\left(x\right)%% ab.)

%%f^\prime\left(x\right)=0\Leftrightarrow%%

%%0=x^2-5x+6%%

Mit dem Satz von Vieta oder der Mitternachtsformel erhält man die Extrema bei %%x_1=2\;\;und\;\;x_2=3%%.

Bestimme die 2. Ableitung %%f^{\prime\prime}\left(x\right)%%

Setze die Nullstellen der 1. Ableitung in die zweite Ableitung ein.

Ist:

%%f^{\prime\prime}\left(x_i\right)\gt 0\;\rightarrow%% Tiefpunkt

%%f^{\prime\prime}\left(x_i\right)\lt 0\;\rightarrow%% Hochpunkt

%%f^{\prime\prime}\left(x_i\right)=0\;\rightarrow%%

Bestimme die 3. Ableitung %%f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)%%

Setze die Nullstelle auch hier ein:

%%f^{\prime\prime\prime}(x_i)=0\;\;\rightarrow\;\;%% Keine Aussage möglich.

%%f^{\prime\prime\prime}(x_i)\neq 0\;\;\rightarrow%%

Terassenpunkt %%\rightarrow%% kein Monotoniewechsel

%%f^{\prime\prime}\left(x\right)=2x-5%%

%%f^{\prime\prime}\left(2\right)=2\cdot2-5=-1\lt 0 \;\rightarrow%% Hochpunkt

%%f^{\prime\prime}\left(3\right)=2\cdot3-5=1\gt 0\;\rightarrow%% Tiefpunkt

Wenn man weiß, ob ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt vorliegt, kennt man auch die Monotonie des Graphen vor bzw. nach diesen Stellen:

Tiefpunkt: links davon fallend, rechts davon steigend

Hochpunkt: links davon steigend, rechts davon fallend

Terrassenpunkt: links und rechts davon gleiche Monotonie

Hochpunkt bei %%x=2%% und Tiefpunkt bei %%x=3%%

%%]-\infty;2]%% streng monoton steigend

%%[2;3]%% streng monoton fallend

%%[3;\infty[%% streng monoton steigend

Übungsaufgaben

Bestimme das Monotonieverhalten der folgenden Funktionen

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Jakob1200 2017-12-20 10:54:28
Laut Monotoniekriterium müsste zum Beispiel hier ]−∞;2[: streng monoton steigend die rechtsseitige Grenze für das Monotonieverhalten mit eingeschlossen werden. Man läuft doch einen Berg auch ganz nach oben und genauso läuft man ihn von oben ab nach unten...
Renate 2017-12-22 22:13:14
Ich bin da deiner Meinung, @Jakob1200.

An den Randstellen gilt zwar nicht mehr %%f'(x)>0%% oder %%f'(x)<0%%, sondern %%f'(x)=0%%,
aber dennoch ist meiner Meinung die obige Beispielfunktion
streng monoton steigend in %%]-\infty; 2]%% und
streng monoton fallend in %%[2;3]%% und
streng monoton steigend in %%[3; \infty[%%.

Eine EINZELNE Stelle mit %%f'(x)=0%% macht nämlich, meine ich, die strenge Monotonie einer Funktion noch nicht zunichte.
So würde ich zum Beispiel auch die Funktion %%f: x\mapsto x^3%% ganz klar als streng monoton steigend in ganz %%\mathbb {R}%% ansehen, obwohl ihre Ableitung an der Stelle %%0%% den Wert %%0%% annimmt.

Wenn kein Widerspruch kommt, denke ich, wir sollten das hier in dem Artikel unbedingt ausbessern.

Hättest du, @Jakob1200, vielleicht Lust, dich an einer Bearbeitung zu versuchen?

Gruß
Renate
Jakob1200 2017-12-23 08:51:26
Ich könnte es gern mal versuchen. Wie funktioniert das?
Renate 2017-12-28 16:53:07
Hallo Jakob1200,
zunächst mal entschuldige bitte, dass deine Frage über die Weihnachtsfeiertage etwas liegen geblieben ist!

Zum Bearbeiten des Artikels klickst du oben auf das grüne Symbol mit dem Stift. Dann öffnet sich der Editor in Form eines zweigeteilten Fensters:
Links kannst du deine Bearbeitungen machen, rechts siehst du eine Vorschau, wie das, was du schreibst, dann später ungefähr aussieht.

Im Einzelnen kannst du dir die verschiedenen Funktionalitäten des Editors mit dem Video, das gleich zu Beginn nach dem Öffnen des Editors eingeblendet wird, erklären lassen.

Eine allgemeine Einführung in das Bearbeiten von Inhalten auf Serlo gibt dir unser "Einstiegskurs" (schaue dazu auf https://de.serlo.org/90374/ueberblick).

Für dich wird im Zusammenhang hier wohl insbesondere die Seite
"Vorhandene Lerninhalte bearbeiten"
(https://de.serlo.org/90383/vorhandene-lerninhalte-bearbeiten) von Interesse sein.

Wenn du irgendwelche technischen Fragen oder Probleme dabei hast, schreibe gerne bitte nochmal - das ist überhaupt kein Problem!
Mich würde es freuen, wenn wir bei Serlo bald eine Bearbeitung von dir zur Überprüfung hereinbekommen. :)

Viele Grüße
Renate
Jakob1200 2018-01-06 18:02:22
Hallo Renate,
danke für die Antwort. Hat nichts gemacht, weil ich selbst eine Weihnachtspause eingelegt habe. Ich habe es mal abgeändert, dabei ist mir noch eine Kleinigkeit aufgefallen. Die Vorzeichentabelle bei der Linearfaktorzerlegung müsste eigentlich noch den Formfaktor a_n enthalten. Ist dieser negativ, dann dreht sich ja jedes Vorzeichen um. Allerdings kann ich die Vorzeichentabelle nicht einfach so verändern...
Viele Grüße
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