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Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung

1 Aufgabengruppe

Welche Funktionen sind in Linearfaktordarstellung gegeben?

Klicke auf die Funktionen in Linearfaktordarstellung.

Stimmt's?
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktordarstellung

Funktionen, die als Linearfaktorzerlegung dargestellt sind:

  • h(z)=z(z1)(z+5)h(z)=z \cdot (z-1) \cdot (z+5)

  • k(z)=z(z2+4)k(z)=z \cdot (z^2+4)

Anmerkung zu k(z)k(z): Diese Funktion ist in Linearfaktordarstellung angegeben, da (z2+4)(z^2+4) keine Nullstellen hat, man es also nicht weiter zerlegen kann.

Funktionen, die nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt sind:

  • f(x)=x3+2x2f(x)=x^3+2x^2 ist nicht in Linearfaktordarstellung angegeben, denn man kann noch ein x2x^2 ausklammern. Die Linearfaktordarstellung von f(x)f(x) ist also:

  • g(x)=x(x24)g(x)=x \cdot (x^2-4) ist auch nicht in Linearfaktorzerlegung angegeben. Hier kann man auf (x24)(x^2-4) noch die 3. Binomische Formel anwenden. Die Linearfaktordarstellung von g(x)g(x) ist also:

Klicke auf die Funktionen in Linearfaktordarstellung.

Stimmt's?
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktordarstellung

Funktionen, die als Linearfaktorzerlegung angegeben sind:

  • g(x)=2x3(2x)(x+1)g(x)=2x^3\cdot(2-x)\cdot(x+1)

  • h(u)=(u3)2h(u)=(u-3)^2

  • k(x)=3(x3)5k(x)=3 \cdot (x-3)^5

Funktion, die nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt ist:

f(z)=z21f(z)=z^2-1 ist nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt. Du kannst hier die 3.Binomische Formel anwenden. f(z)f(z) lautet in Linearfaktorzerlegung:

2 Aufgabengruppe

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen und gib die Funktionen in ihrer Linearfaktordarstellung an.

g(u)=u32u2u+2\displaystyle g(u)=u^3-2u^2-u+2
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Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion gg, indem man die uu-Werte findet, für die g(u)=0g(u)=0 gilt.

g(u)=u32u2u+2\displaystyle g(u)=u^3-2u^2-u+2

Setze die Funktion gleich 00.

0=u32u2u+2\displaystyle 0=u^3-2u^2-u+2

Finde die erste Nullstelle durch Probieren.

Hier: u1=1u_1=1, denn:

g(1)=132121+2=121+2=0\displaystyle g(1)=1^3-2 \cdot 1^2-1+2= 1-2-1+2=0

Führe nun mit g(u)g(u) und dem Linearfaktor (u1)(u-1) eine Polynomdivision durch.

    (u32u2u+2):(u1)=u2u2(u3u2)                  u2u          (u2+u)                              2u+2                      (2u+2)                                                  0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l}\;\;(u^3-2u^2-u+2):(u-1)=u^2-u-2\\ \underline{-(u^3-u^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;-u^2-u\\ \;\;\;\;\;\underline{-(-u^2+u)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2u+2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2u+2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}

Berechne nun also die Nullstellen von u2u2u^2-u-2. Benutze dafür die Mitternachtsformel, da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt.

u2,3=1±(1)241(2)21\displaystyle \displaystyle u_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}

Berechne die Wurzel.

u2,3=1±1+82=1±32\displaystyle \phantom{u_{2,3}}=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2}

u2=1+32=2\displaystyle u_2=\displaystyle \frac{1+3}2=2

1) Fall: ++

u3=132=1\displaystyle u_3=\displaystyle\frac{1-3}2=-1

2) Fall: -

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion gg in Linearfaktorendarstellung.

g(u)=(u1)(u2)(u+1)\displaystyle g(u)=(u-1)\cdot(u-2)\cdot(u+1)
l(z)=z3+4z2+4z\displaystyle l(z)=z^3+4z^2+4z
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Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion ll, indem man die zz-Werte findet, für die l(z)=0l(z)=0 gilt.

l(z)=z3+4z2+4z\displaystyle l(z)=z^3+4z^2+4z

Setze die Funktion ll gleich 00.

0=z3+4z2+4z\displaystyle 0=z^3+4z^2+4z

Klammere ein zz aus.

0=z(z2+4z+4)\displaystyle 0=z \cdot (z^2+4z+4)

Die erste Nullstelle von l(z)l(z) ist also: z1=0.z_1=0.

Berechne nun noch die Nullstellen der quadratischen Funktion z2+4z+4z^2+4z+4. Nutze dafür die Mitternachtsformel.

z2,3=4±4241421\displaystyle z_{2,3}=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

Berechne die Wurzel.

z2,3=4±16162=4±02\displaystyle \phantom{z_{2,3}}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2}=\dfrac{-4\pm0}{2}

Die zweite Nullstelle z2,3=2z_{2,3}=-2 ist eine doppelte Nullstelle.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion ll in Linearfaktorendarstellung.

l(z)=z(z+2)2\displaystyle l(z)=z \cdot(z+2)^2
h(x)=x3x2+x1\displaystyle h(x)=x^3−x^2+x−1
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Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion hh, indem man die xx-Werte findet, für die h(x)=0h(x)=0 gilt.

h(x)=x3x2+x1\displaystyle h(x)=x^3-x^2+x-1

Setze die Funktion gleich 00.

0=x3x2+x1\displaystyle 0=x^3-x^2+x-1

Hier brauchst du die Polynomdivision um die Nullstellen zu berechnen.

Finde eine Nullstelle durch Probieren.

Hier x1=1x_1=1, denn:

h(1)=1312+11=11+11=0\displaystyle h(1)=1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0

Führe nun die Polynomdivision durch:

    (x3x2+x1):(x1)=x2+1(x3x2)                                      x1                              (x1)                                                  0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l}\;\;(x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x-1)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}

Da x2+1x^2+1 keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung angeben.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion hh in Linearfaktorendarstellung.

h(x)=(x1)(x2+1)\displaystyle h(x)=\left(x-1\right)\cdot\left(x^2+1\right)
f(x)=x3+3x24x\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-4x
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Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion ff, indem man die xx-Werte findet, für die f(x)=0f(x)=0 gilt.

f(x)=x3+3x24x\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-4x

Setze die Funktion gleich 00.

\displaystyle \begin{align}x^3+3x^2-4x=0\\x\cdot\left(x^2+3x-4\right)=0 \end{align}
x1=0\displaystyle x_1=0

Setze die Klammer gleich 00.

(x2+3x4)=0\displaystyle (x^2+3x-4)=0

Wende die Mitternachtsformel an.

x2,3=3±3241(4)21\displaystyle \displaystyle x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1}

Fasse unter der Wurzel zusammen.

x2,3=3±9+162=3±252\displaystyle \displaystyle x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}

Ziehe die Wurzel.

x2,3=3±52\displaystyle \displaystyle \phantom{x_{2,3}}=\frac{-3\pm5}{2}

x2=3+52=1\displaystyle \displaystyle x_2=\frac{-3+5}2=1

1) Fall: ++

x3=352=4\displaystyle \displaystyle x_3=\frac{-3-5}2=-4

2) Fall: -

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion ff in Linearfaktorendarstellung.

f(x)=x(x1)(x+4)\displaystyle f\left(x\right)=x\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+4\right)
3 Aufgabengruppe

Zerlege folgende Funktionen in Linearfaktoren.

f(x)=x2+2x3\displaystyle f(x)=x^2+2x-3
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Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=x2+2x3\displaystyle 0=x^2+2x-3

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, berechnet man diese mit der Mitternachtsformel.

x1,2=2±2241(3)21\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}

Vereinfache unter der Wurzel.

x1,2=2±162\displaystyle \phantom{x_1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}

Ziehe die Wurzel.

x1,2=2±42\displaystyle \phantom{x_1,2}=\dfrac{-2\pm4}{2}

x1=2+42=1\displaystyle \Rightarrow x_1=\dfrac{-2+4}2=1

1) Fall: ++

x2=242=3\displaystyle \Rightarrow x_2=\dfrac{-2-4}2=-3

2) Fall: -

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

f(x)=x2+2x3=(x1)(x+3)\displaystyle f(x)=x^2+2x-3=(x-1)\cdot(x+3)
g(z)=z3z2+4z4\displaystyle g(z)=z^3−z^2+4z−4
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Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=z3z2+4z4\displaystyle 0=z^3-z^2+4z-4

Hier brauchst du die Polynomdivision. Errate die erste Nullstelle.

g(1)=1312+414=0\displaystyle g(1)=1^3-1^2+4 \cdot 1-4=0

z1=1\Rightarrow z_1=1 ist eine Nullstelle von g(z)g(z)

Klammere die Nullstelle mithilfe der Polynomdivision aus.

    (z3z2+4z4):(z1)=z2+4(z3z2)                          0+4z4                                (4z4)                                                        0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l}\;\;(z^3-z^2+4z-4):(z-1)=z^2+4\\-\underline{(z^3-z^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0+4z-4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4z-4)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}

Versuche nun noch die Nullstellen von z2+4z^2+4 zu bestimmen.

z2+4=0\displaystyle z^2+4=0
4\displaystyle |-4
z2=4\displaystyle z^2=-4

z2+4\Rightarrow z^2+4 hat also keine Nullstellen

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

g(z)=z3z2+4z4=(z1)(z2+4)g(z)=z^3-z^2+4z-4=(z-1)\cdot(z^2+4).

h(u)=u23u+2\displaystyle h(u)=u^2-3u+2
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Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=u23u+2\displaystyle 0=u^2-3u+2

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, wird hier die Mitternachtsformel verwendet.

u1,2=3±(3)241221\displaystyle u_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot 1}

Vereinfache unter der Wurzel.

u1,2=3±12\displaystyle \phantom{u_1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{1}}{2}

Ziehe die Wurzel.

u1,2=3±12\displaystyle \phantom{u_1,2}=\dfrac{3\pm1}2

u1=3+12=2\displaystyle \Rightarrow u_1=\dfrac{3+1}2=2

1) Fall: ++

u2=312=1\displaystyle \Rightarrow u_2=\dfrac{3-1}2=1

2) Fall: -

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

h(u)=u23u+2=(u2)(u1)\displaystyle h(u)=u^2-3u+2=(u-2)\cdot(u-1)
i(x)=5x425x2+20\displaystyle i(x)=5x^4-25x^2+20
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Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=5x425x2+20\displaystyle 0=5x^4−25x^2+20

Klammere 55 aus.

0=5(x45x2+4)\displaystyle 0=5 \cdot (x^4−5x^2+4)

Teile durch 55, damit die Rechung später einfacher wird.

0=x45x2+4\displaystyle 0= x^4−5x^2+4

Nutze das Verfahren der Substitution, da es sich um eine Funktion der Form a(x2)2+bx2+ca(x^2)^2+bx^2+c handelt.

Substitution: u=x2u=x^2

0=u25u+4\displaystyle 0=u^2-5u+4

Wende die Mitternachtsformel an.

u1,2=5±(5)241421\displaystyle u_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2 \cdot 1}

Vereinfache unter der Wurzel.

u1,2=5±251621\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{2\cdot 1}

Vereinfache weiter.

u1,2=5±92\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{2}

u1,2=5±32\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm3}{2}

u1=5+32=4\displaystyle u_1=\dfrac{5+ 3}{2} =4

1) Fall: ++

u2=532=1\displaystyle u_2=\dfrac{5-3}{2}=1

2) Fall: -

Rücksubstitution: x=±ux=\pm \sqrt{u}

u1=4x1=+4=2x2=4=2\displaystyle u_1=4\\ \Rightarrow x_1=+\sqrt{4}=2\\ \Rightarrow x_2=-\sqrt{4}=-2

u2=1x3=+1=1x4=1=1\displaystyle u_2=1\\ \Rightarrow x_3=+\sqrt{1}=1\\ \Rightarrow x_4=-\sqrt{1}=-1

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

i(x)=5x425x2+20=5(x2)(x+2)(x1)(x+1)\displaystyle i(x)=5x^4−25x^2+20=5\cdot (x-2)\cdot(x+2)\cdot(x-1) \cdot(x+1)
k(x)=12x4+x332x24x2\displaystyle k(x)=\frac12x^4+x^3-\frac32x^2-4x-2
 Lösung anzeigen

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=12x4+x332x24x2\displaystyle 0=\frac12x^4+x^3−\frac32x^2−4x−2

Klammere 12\frac12 aus.

0=12(x4+2x33x28x4)\displaystyle 0=\frac12 (x^4+2x^3-3x^2-8x-4)
2\displaystyle \mid\cdot 2
0=x4+2x33x28x4\displaystyle 0=x^4+2x^3-3x^2-8x-4

Wende die Polynomdivision an:

Errate die erste Nullstelle. Hier: x1=1x_1=-1, denn:

k(1)=(1)4+2(1)33(1)28(1)4k(1)=123+84=0\displaystyle k(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)^3-3\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)-4\\\phantom{k(-1)}=1-2-3+8-4=0

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere k(x)k(x) durch (x+1)(x+1):

    (x4+2x33x28x4):(x+1)=x3+x24x4(x4+x3)                        x33x2                  (x3+x2)                                  4x28x                            (4x24x)                                                        4x4                                                (4x4)                                                                              0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l} \;\;(x^4+2x^3-3x^2-8x-4):(x+1)=x^3+x^2-4x-4\\ \underline{-(x^4+x^3)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^3-3x^2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^3+x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4x^2-8x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x^2-4x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4x-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}

\Rightarrow Wir erhalten eine neue Funktion k~(x)=x3+x24x4\tilde k(x)=x^3+x^2-4x-4

Um die Nullstellen von k~(x)\tilde k(x) zu berechnen, musst du erneut die Polynomdivision anwenden:

Errate wieder eine Nullstelle. Hier: x2=2x_2=2, denn:

k~(2)=23+22424k(x)=8+484k(x)=0\displaystyle \tilde k(2)=2^3+2^2-4 \cdot 2-4\\\phantom{k(x)}=8+4-8-4\\\phantom{k(x)}=0

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere k~(x)\tilde k(x) durch (x2)(x-2):

    (x3+x24x4):(x2)=x2+3x+2(x32x2)                        3x24x                  (3x26x)                                            2x4                                      (2x4)                                                              0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l} \;\;(x^3+x^2-4x-4):(x-2)=x^2+3x+2\\ \underline{-(x^3-2x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-4x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-6x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\\ \end{array}

Nun musst du noch die Nullstellen von x2+3x+2x^2+3x+2 berechnen. Verwende dafür die Mitternachtsformel.

x3,4=3±3241221\displaystyle x_{3,4}=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}

Vereinfache.

=3±982=3±12\displaystyle =\dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{-3\pm1}{2}

x3=3+12=1\displaystyle x_3=\dfrac{-3+1}2=-1

1) Fall: ++

x4=312=2\displaystyle x_4=\dfrac{-3-1}2=-2

2) Fall: -

Du hast also folgende Nullstellen berechnet:

x1,3=1x2=2x4=2\displaystyle \Rightarrow x_{1,3}=-1\\ \Rightarrow x_2= 2\\ \Rightarrow x_4=-2

1-1 ist eine doppelte Nullstelle und 22 und 2-2 sind einfache Nullstellen.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

k(x)=12x4+x332x24x2=12(x+1)2(x2)(x+2)\displaystyle k(x)=\frac12x^4+x^3−\frac32x^2−4x−2=\frac12(x+1)^2\cdot(x-2)\cdot(x+2)
l(z)=4z3+4z24z4\displaystyle l(z)=4z^3+4z^2−4z−4
 Lösung anzeigen

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=4z4+4z34z24z\displaystyle 0=4z^4+4z^3−4z^2−4z

Klammere 4z4z aus.

0=4z(z3+z2z1)\displaystyle 0=4z\cdot(z^3+z^2-z-1)
:4\displaystyle \mid:4

z1=0\Rightarrow z_1=0 ist erste Nullstelle

Berechne nun noch die Nullstellen von z3+z2z1z^3+z^2-z-1.

0=z3+z2z1\displaystyle 0=z^3+z^2-z-1

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Errate eine Nullstelle. Hier: z2=1z_2=1, denn es gilt:

13+1211=0\displaystyle 1^3+1^2-1-1=0

Führe die Polynomdivision durch:

    (z3+z2z1):(z1)=z2+2z+1(z3z2)                    2z2z            (2z22z)                                        z1                                  (z1)                                                      0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l}\;\;(z^3+z^2-z-1):(z-1)=z^2+2z+1\\ \underline{-(z^3-z^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2z^2-z\\ \;\;\;\;\;\;\underline{-(2z^2-2z)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(z-1)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}

Forme nun z2+2z+1z^2+2z+1 durch anwenden der 1.Binomischen Formel um:

z2+2z+1=(z+1)2\displaystyle z^2+2z+1=(z+1)^2

(Alternativ könnte man die Nullstellen auch mit der Mitternachtsformel berechnen.)

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

l(z)=4z4+4z34z24z=4z(z1)(z+1)2\displaystyle l(z)=4z^4+4z^3−4z^2−4z=4z\cdot(z-1)\cdot(z+1)^2
m(z)=z52z4+2z4\displaystyle m(z)=z^5−2z^4+2z−4
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Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=z52z4+2z4\displaystyle 0=z^5-2z^4+2z-4

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Errate die erste Nullstelle. Hier: z1=2z_1=2, denn:

m(2)=25224+224m(2)=3232+44=0\displaystyle m(2)=2^5-2 \cdot2^4+2 \cdot 2-4\\ \phantom{m(2)}=32-32+4-4=0

Führe die Polynomdivision durch:

    (z52z4+2z4):(z2)=z4+2(z52z4)                                          2z4                                    (2z4)                                                            0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l}\;\;(z^5-2z^4+2z-4):(z-2)=z^4+2\\ \underline{-(z^5-2z^4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2z-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2z-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}

Dir bleibt also noch der Teil z4+2z^4+2 übrig, welcher keine Nullstellen besitzt.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

m(z)=z52z4+2z4=(x2)(x4+2)\displaystyle m(z)=z^5-2z^4+2z-4=(x-2)\cdot(x^4+2)
n(u)=u3u\displaystyle n(u)=u^3-u
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Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Hier kann man die Linearfaktorzerlegung bestimmen ohne vorher explizit die Nullstellen zu berechnen.

n(u)=u3u\displaystyle n(u)=u^3-u

Klammere uu aus.

n(u)=u(u21)\displaystyle \phantom{n(u)}=u \cdot (u^2-1)

Wende die 3.binomische Formel an.

n(u)=u(u+1)(u1)\displaystyle \phantom{n(u)}=u \cdot (u+1) \cdot (u-1)

Die Linearfaktorzerlegung von n(u)n(u) ist also:

n(u)=u(u+1)(u1)\displaystyle n(u)=u \cdot (u+1) \cdot (u-1)
p(x)=x45x3+5x2+5x6\displaystyle p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6
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Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=x45x3+5x2+5x6\displaystyle 0=x^4-5x^3+5x^2+5x-6

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Finde die erste Nullstelle durch probieren heraus.

Hier x1=1x_1=1, denn:

p(1)=14513+512+516=15+5+56=0\displaystyle p(1)=1^4-5\cdot1^3+5 \cdot 1^2+5 \cdot 1-6=1-5+5+5-6=0

Führe nun die Polynomdivision durch:

    (x45x3+5x2+5x6):(x1)=x34x2+x+6(x4x3)              4x3+5x2        (4x3+4x2)                                        x2+5x                                  (x2x)                                                      6x6                                                (6x6)                                                                        0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l} \;\;(x^4-5x^3+5x^2+5x-6):(x-1)=x^3-4x^2+x+6\\ \underline{-(x^4-x^3)}\\ \;\;\;\;\;\;\;-4x^3+5x^2\\ \;\;\;\;\underline{-(-4x^3+4x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2+5x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x-6\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(6x-6)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}

Nun musst du noch die Nullstellen von x34x2+x+6x^3-4x^2+x+6 berechnen.

0=x34x2+x+6\displaystyle 0=x^3-4x^2+x+6

Hierfür brauchst du nocheinmal die Polynomdivision.

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier x2=1x_2=-1, denn:

(1)34(1)2+(1)+6=141+6=0\displaystyle (-1)^3-4 \cdot (-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0

Führe nun die Polynomdivision durch:

    (x34x2+x+6):(x+1)=x25x+6(x3+x2)              5x2+x      (5x25x)                                      6x+6                              (6x+6)                                                      0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l} \;\;(x^3-4x^2+x+6):(x+1)=x^2-5x+6\\ \underline{-(x^3+x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;-5x^2+x\\ \;\;\;\underline{-(-5x^2-5x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x+6\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(6x+6)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}

Nun musst du noch die Nullstellen von x25x+6x^2-5x+6 berechnen.

0=x25x+6\displaystyle 0=x^2-5x+6

Benutze hierfür die Mitternachtsformel, da es sich um eine quadratische Funktion handelt.

x3,4=5±(5)241621\displaystyle x_{3,4}=\dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}

Berechne die Wurzel.

=5±25242=5±12\displaystyle =\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\dfrac{5\pm1}{2}

x3=5+12=3\displaystyle x_3=\dfrac{5+1}2=3

1) Fall: ++

x4=512=2\displaystyle x_4=\dfrac{5-1}2=2

2) Fall: -

Die Funktion hat also die Nullstellen: x1=1x_1=1, x2=1x_2=-1, x3=3x_3=3 und x4=2x_4=2.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

p(x)=x45x3+5x2+5x6=(x1)(x+1)(x3)(x2)\displaystyle p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6=(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-3)\cdot(x-2)
q(x)=x33x2+4x12\displaystyle q(x)=x^3-3x^2+4x-12
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Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

0=x33x2+4x12\displaystyle 0=x^3-3x^2+4x-12

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier x1=3x_1=3, denn:

q(3)=33332+4312=2727+1212=0\displaystyle q(3)=3^3-3\cdot 3^2+4 \cdot 3-12=27-27+12-12=0

Führe nun die Polynomdivision durch:

    (x33x2+4x12):(x3)=x2+4(x33x2)                                        4x12                                  (4x12)                                                            0\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{l}\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\ \underline{-(x^3-3x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x-12\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}

Da x2+4x^2+4 keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung der Funktion qq angeben.

Linearfaktordarstellung

Schreibe nun die Funktion qq in Linearfaktorendarstellung.

q(x)=(x3)(x2+4)\displaystyle q(x)=(x-3)\cdot(x^2+4)
4 Aufgabengruppe

Überführe folgende Funktionen von der Linearfaktorzerlegung in ihre Normalform.

f(x)=x(x3)(x+1)\displaystyle f(x)=x \cdot(x-3) \cdot(x+1)
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Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

\displaystyle \begin{align} f(x) &= x \cdot (x-3)\cdot(x+1)\\&=x \cdot(x^2+x-3x-3)\\&=x \cdot(x^2-2x-3)\\&=x^3-2x^2-3x\end{align}

ff hat also folgende Normalform: f(x)=x32x23xf(x)=x^3-2x^2-3x.

g(z)=z(z2)2\displaystyle g(z)=z \cdot (z-2)^2
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Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

g(z)=z(z2)2\displaystyle g(z)=z \cdot (z-2)^2

Wende die 2.Binomische Formel an.

g(z)=z(z24z+4)\displaystyle \phantom{g(z)}=z \cdot (z^2-4z+4)

Multipliziere das zz in die Klammer.

g(x)=z34z2+4z\displaystyle \phantom{g(x)}=z^3-4z^2+4z

gg hat also folgende Normalform: g(z)=z34z2+4zg(z)=z^3-4z^2+4z.

h(u)=(u1)(u+3)(u1)(u3)\displaystyle h(u)=(u-1)\cdot(u+3)\cdot(u-1)\cdot(u-3)
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Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

h(u)=(u1)(u+3)(u1)(u3)\displaystyle h(u)=(u-1) \cdot (u+3) \cdot (u-1) \cdot (u-3)

Sortiere um.

h(u)=(u1)2(u+3)(u3)\displaystyle \phantom{h(u)}=(u-1)^2 \cdot(u+3) \cdot(u-3)

Löse (u1)2(u-1)^2 mit der 2. Binomischen Formel und (u+3)(u3)(u+3) \cdot (u-3) mit der 3. Binomischen Formel.

h(u)=(u22u+1)(u29)\displaystyle \phantom{h(u)}=(u^2-2u+1) \cdot (u^2-9)

Multipliziere aus.

h(u)=u42u3+u29u2+18u9\displaystyle \phantom{h(u)}=u^4-2u^3+u^2-9u^2+18u-9

Fasse zusammen.

h(u)=u42u38u2+18u9\displaystyle \phantom{h(u)}=u^4-2u^3-8u^2+18u-9

hh hat also folgende Normalform: h(u)=u42u38u2+18u9h(u)=u^4-2u^3-8u^2+18u-9.

k(x)=(x+2)(x1)(x2)\displaystyle k(x)=(x+2)\cdot (x-1)\cdot (x-2)
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Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

k(x)=(x+2)(x1)(x2)\displaystyle k(x)=(x+2) \cdot (x-1) \cdot (x-2)

Sortiere um.

k(x)=(x+2)(x2)(x1)\displaystyle \phantom{k(x)}=(x+2) \cdot(x-2) \cdot (x-1)

Wende die 3. Binomische Formel an.

k(x)=(x24)(x1)\displaystyle \phantom{k(x)}=(x^2-4) \cdot (x-1)

Multipliziere aus.

k(x)=x3x24x+4\displaystyle \phantom{k(x)}=x^3-x^2-4x+4

kk hat also folgende Normalform: k(x)=x3x24x+4k(x)=x^3-x^2-4x+4.