Aufgaben

Welche Funktionen sind in Linearfaktordarstellung gegeben?

Klicke auf die Funktionen in Linearfaktordarstellung.

Leider nein. Kannst du vielleicht noch was ausklammern?

Leider nein. Denke an die 3.Binomische Formel.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe geht es darum Funktionen in Linearfaktordarstellung zu erkennen.

Funktionen, die als Linearfaktorzerlegung dargestellt sind:

  • %%h(z)=z \cdot (z-1) \cdot (z+5)%%
  • %%k(z)=z \cdot (z^2+4)%%

Anmerkung zu %%k(z)%%: Diese Funktion ist in Linearfaktordarstellung angegeben, da %%(z^2+4)%% keine Nullstellen hat, man es also nicht weiter zerlegen kann.

Funktionen, die nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt sind:

  • %%f(x)=x^3+2x^2%% ist nicht in Linearfaktordarstellung angegeben, denn man kann noch ein %%x^2%% ausklammern. Die Linearfaktordarstellung von %%f(x)%% ist also: $$f(x)=x^2 \cdot (x+2)$$
  • %%g(x)=x \cdot (x^2-4)%% ist auch nicht in Linearfaktorzerlegung angegeben. Hier kann man auf %%(x^2-4)%% noch die 3. Binomische Formel anwenden. Die Linearfaktordarstellung von %%g(x)%% ist also: $$g(x)=x \cdot(x-2)\cdot(x+2)$$

Klicke auf die Funktionen in Linearfaktordarstellung.

Denke an die 3. Binomische Formel.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe geht es darum Funktionen in Linearfaktordarstellung zu erkennen.

Funktionen, die als Linearfaktorzerlegung angegeben sind:

  • %%g(x)=2x^3\cdot(2-x)\cdot(x+1)%%
  • %%h(u)=(u-3)^2%%
  • %%k(x)=3 \cdot (x-3)^5%%

Funktion, die nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt ist:

%%f(z)=z^2-1%% ist nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt. Du kannst hier die 3.Binomische Formel anwenden. %%f(z)%% lautet in Linearfaktorzerlegung: $$f(z)=(z-1)\cdot(z+1)$$

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen und gib die Funktionen in ihrer Linearfaktordarstellung an.

%%g(u)=u^3-2u^2-u+2%%

Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion %%g%%, indem man die %%u%%-Werte findet, für die %%g(u)=0%% gilt.

%%g(u)=u^3-2u^2-u+2%%

Setze die Funktion gleich %%0%%.

%%0=u^3-2u^2-u+2%%

Finde die erste Nullstelle durch Probieren.

Hier: %%u_1=1%%, denn:

%%g(1)=1^3-2 \cdot 1^2-1+2= 1-2-1+2=0%%

Führe nun mit %%g(u)%% und dem Linearfaktor %%(u-1)%% eine Polynomdivision durch.

$$\begin{array}{l}\;\;(u^3-2u^2-u+2):(u-1)=u^2-u-2\\ \underline{-(u^3-u^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;-u^2-u\\ \;\;\;\;\;\underline{-(-u^2+u)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2u+2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2u+2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Berechne nun also die Nullstellen von %%u^2-u-2%%. Benutze dafür die Mitternachtsformel, da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt.

%%\displaystyle u_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}%%

Berechne die Wurzel.

%%\phantom{u_{2,3}}=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2}%%

%%u_2=\displaystyle \frac{1+3}2=2%%

1) Fall: %%+%%

%%u_3=\displaystyle\frac{1-3}2=-1%%

2) Fall: %%-%%

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion %%g%% in Linearfaktorendarstellung.

%%g(u)=(u-1)\cdot(u-2)\cdot(u+1)%%

%%l(z)=z^3+4z^2+4z%%

Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion %%l%%, indem man die %%z%%-Werte findet, für die %%l(z)=0%% gilt.

%%l(z)=z^3+4z^2+4z%%

Setze die Funktion %%l%% gleich %%0%%.

%%0=z^3+4z^2+4z%%

Klammere ein %%z%% aus.

%%0=z \cdot (z^2+4z+4)%%

Die erste Nullstelle von %%l(z)%% ist also: %%z_1=0.%%

Berechne nun noch die Nullstellen der quadratischen Funktion %%z^2+4z+4%%. Nutze dafür die Mitternachtsformel.

%%z_{2,3}=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}%%

Berechne die Wurzel.

%%\phantom{z_{2,3}}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2}=\dfrac{-4\pm0}{2}%%

Die zweite Nullstelle %%z_{2,3}=-2%% ist eine doppelte Nullstelle.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion %%l%% in Linearfaktorendarstellung.

%%l(z)=z \cdot(z+2)^2%%

%%h(x)=x^3−x^2+x−1%%

Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion %%h%%, indem man die %%x%%-Werte findet, für die %%h(x)=0%% gilt.

%%h(x)=x^3-x^2+x-1%%

Setze die Funktion gleich %%0%%.

%%0=x^3-x^2+x-1%%

Hier brauchst du die Polynomdivision um die Nullstellen zu berechnen.

Finde eine Nullstelle durch Probieren.

Hier %%x_1=1%%, denn:

%%h(1)=1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0%%

Führe nun die Polynomdivision durch:

$$\begin{array}{l}\;\;(x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x-1)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Da %%x^2+1%% keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung angeben.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion %%h%% in Linearfaktorendarstellung.

%%h(x)=\left(x-1\right)\cdot\left(x^2+1\right)%%

%%f(x)=x^3+3x^2-4x%%

Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion %%f%%, indem man die %%x%%-Werte findet, für die %%f(x)=0%% gilt.

%%f(x)=x^3+3x^2-4x%%

Setze die Funktion gleich %%0%%.

%%\begin{align}x^3+3x^2-4x=0\\x\cdot\left(x^2+3x-4\right)=0 \end{align}%%

%%x%% ausklammern .

%%x_1=0%%

Setze die Klammer gleich %%0%%.

%%(x^2+3x-4)=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1}%%

Fasse unter der Wurzel zusammen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}%%

Ziehe die Wurzel.

%%\displaystyle \phantom{x_{2,3}}=\frac{-3\pm5}{2}%%

%%\displaystyle x_2=\frac{-3+5}2=1%%

1) Fall: %%+%%

%%\displaystyle x_3=\frac{-3-5}2=-4%%

2) Fall: %%-%%

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion %%f%% in Linearfaktorendarstellung.

%%f\left(x\right)=x\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+4\right)%%

Zerlege folgende Funktionen in Linearfaktoren.

%%f(x)=x^2+2x-3%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=x^2+2x-3%%

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, berechnet man diese mit der Mitternachtsformel.

%%x_{1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}%%

Vereinfache unter der Wurzel.

%%\phantom{x_1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}%%

Ziehe die Wurzel.

%%\phantom{x_1,2}=\dfrac{-2\pm4}{2}%%

%%\Rightarrow x_1=\dfrac{-2+4}2=1%%

1) Fall: %%+%%

%%\Rightarrow x_2=\dfrac{-2-4}2=-3%%

2) Fall: %%-%%

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%f(x)=x^2+2x-3=(x-1)\cdot(x+3)%%

%%g(z)=z^3−z^2+4z−4%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=z^3-z^2+4z-4%%

Hier brauchst du die Polynomdivision. Errate die erste Nullstelle.

%%g(1)=1^3-1^2+4 \cdot 1-4=0%%

%%\Rightarrow z_1=1%% ist eine Nullstelle von %%g(z)%%

Klammere die Nullstelle mithilfe der Polynomdivision aus.

%%\begin{array}{l}\;\;(z^3-z^2+4z-4):(z-1)=z^2+4\\-\underline{(z^3-z^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0+4z-4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4z-4)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Versuche nun noch die Nullstellen von %%z^2+4%% zu bestimmen.

%%z^2+4=0%%

%%|-4%%

%%z^2=-4%%

%%\Rightarrow z^2+4%% hat also keine Nullstellen

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%g(z)=z^3-z^2+4z-4=(z-1)\cdot(z^2+4)%%.

%%h(u)=u^2-3u+2%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=u^2-3u+2%%

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, wird hier die Mitternachtsformel verwendet.

%%u_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot 1}%%

Vereinfache unter der Wurzel.

%%\phantom{u_1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{1}}{2}%%

Ziehe die Wurzel.

%%\phantom{u_1,2}=\dfrac{3\pm1}2%%

%%\Rightarrow u_1=\dfrac{3+1}2=2%%

1) Fall: %%+%%

%%\Rightarrow u_2=\dfrac{3-1}2=1%%

2) Fall: %%-%%

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%h(u)=u^2-3u+2=(u-2)\cdot(u-1)%%

%%i(x)=5x^4-25x^2+20%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=5x^4−25x^2+20%%

Klammere %%5%% aus.

%%0=5 \cdot (x^4−5x^2+4)%%

Teile durch %%5%%, damit die Rechung später einfacher wird.

%%0= x^4−5x^2+4%%

Nutze das Verfahren der Substitution, da es sich um eine Funktion der Form %%a(x^2)^2+bx^2+c%% handelt.

Substitution: %%u=x^2%%

%%0=u^2-5u+4%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%u_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2 \cdot 1}%%

Vereinfache unter der Wurzel.

%%\phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{2\cdot 1}%%

Vereinfache weiter.

%%\phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{2}%%

%%\phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm3}{2}%%

%%u_1=\dfrac{5+ 3}{2} =4%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\dfrac{5-3}{2}=1%%

2) Fall: %%-%%

Rücksubstitution: %%x=\pm \sqrt{u}%%

%%u_1=4\\ \Rightarrow x_1=+\sqrt{4}=2\\ \Rightarrow x_2=-\sqrt{4}=-2%%

%%u_2=1\\ \Rightarrow x_3=+\sqrt{1}=1\\ \Rightarrow x_4=-\sqrt{1}=-1%%

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%i(x)=5x^4−25x^2+20=5\cdot (x-2)\cdot(x+2)\cdot(x-1) \cdot(x+1)%%

%%k(x)=\frac12x^4+x^3-\frac32x^2-4x-2%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=\frac12x^4+x^3−\frac32x^2−4x−2%%

Klammere %%\frac12%% aus.

%%0=\frac12 (x^4+2x^3-3x^2-8x-4)%%

%%\mid\cdot 2%%

%%0=x^4+2x^3-3x^2-8x-4%%

Wende die Polynomdivision an:

Errate die erste Nullstelle. Hier: %%x_1=-1%%, denn:

%%k(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)^3-3\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)-4\\\phantom{k(-1)}=1-2-3+8-4=0%%

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere %%k(x)%% durch %%(x+1)%%:

%%\begin{array}{l} \;\;(x^4+2x^3-3x^2-8x-4):(x+1)=x^3+x^2-4x-4\\ \underline{-(x^4+x^3)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^3-3x^2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^3+x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4x^2-8x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x^2-4x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4x-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}%%

%%\Rightarrow%% Wir erhalten eine neue Funktion %%\tilde k(x)=x^3+x^2-4x-4%%

Um die Nullstellen von %%\tilde k(x)%% zu berechnen, musst du erneut die Polynomdivision anwenden:

Errate wieder eine Nullstelle. Hier: %%x_2=2%%, denn:

%%\tilde k(2)=2^3+2^2-4 \cdot 2-4\\\phantom{k(x)}=8+4-8-4\\\phantom{k(x)}=0%%

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere %%\tilde k(x)%% durch %%(x-2)%%:

%%\begin{array}{l} \;\;(x^3+x^2-4x-4):(x-2)=x^2+3x+2\\ \underline{-(x^3-2x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-4x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-6x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\\ \end{array}%%

Nun musst du noch die Nullstellen von %%x^2+3x+2%% berechnen. Verwende dafür die Mitternachtsformel.

%%x_{3,4}=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

Vereinfache.

%%=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{-3\pm1}{2}%%

%%x_3=\dfrac{-3+1}2=-1%%

1) Fall: %%+%%

%%x_4=\dfrac{-3-1}2=-2%%

2) Fall: %%-%%

Du hast also folgende Nullstellen berechnet:

%%\Rightarrow x_{1,3}=-1\\ \Rightarrow x_2= 2\\ \Rightarrow x_4=-2%%

%%-1%% ist eine doppelte Nullstelle und %%2%% und %%-2%% sind einfache Nullstellen.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%k(x)=\frac12x^4+x^3−\frac32x^2−4x−2=\frac12(x+1)^2\cdot(x-2)\cdot(x+2)%%

%%l(z)=4z^3+4z^2−4z−4%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=4z^4+4z^3−4z^2−4z%%

Klammere %%4z%% aus.

%%0=4z\cdot(z^3+z^2-z-1)%%

%%\mid:4%%

%%\Rightarrow z_1=0%% ist erste Nullstelle

Berechne nun noch die Nullstellen von %%z^3+z^2-z-1%%.

%%0=z^3+z^2-z-1%%

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Errate eine Nullstelle. Hier: %%z_2=1%%, denn es gilt:

%%1^3+1^2-1-1=0%%

Führe die Polynomdivision durch:

$$\begin{array}{l}\;\;(z^3+z^2-z-1):(z-1)=z^2+2z+1\\ \underline{-(z^3-z^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2z^2-z\\ \;\;\;\;\;\;\underline{-(2z^2-2z)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(z-1)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Forme nun %%z^2+2z+1%% durch anwenden der 1.Binomischen Formel um:

%%z^2+2z+1=(z+1)^2%%

(Alternativ könnte man die Nullstellen auch mit der Mitternachtsformel berechnen.)

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%l(z)=4z^4+4z^3−4z^2−4z=4z\cdot(z-1)\cdot(z+1)^2%%

%%m(z)=z^5−2z^4+2z−4%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=z^5-2z^4+2z-4%%

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Errate die erste Nullstelle. Hier: %%z_1=2%%, denn:

%%m(2)=2^5-2 \cdot2^4+2 \cdot 2-4\\ \phantom{m(2)}=32-32+4-4=0%%

Führe die Polynomdivision durch:

$$\begin{array}{l}\;\;(z^5-2z^4+2z-4):(z-2)=z^4+2\\ \underline{-(z^5-2z^4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2z-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2z-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Dir bleibt also noch der Teil %%z^4+2%% übrig, welcher keine Nullstellen besitzt.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%m(z)=z^5-2z^4+2z-4=(x-2)\cdot(x^4+2)%%

%%n(u)=u^3-u%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Hier kann man die Linearfaktorzerlegung bestimmen ohne vorher explizit die Nullstellen zu berechnen.

%%n(u)=u^3-u%%

Klammere %%u%% aus.

%%\phantom{n(u)}=u \cdot (u^2-1)%%

Wende die 3.binomische Formel an.

%%\phantom{n(u)}=u \cdot (u+1) \cdot (u-1)%%

Die Linearfaktorzerlegung von %%n(u)%% ist also:

%%n(u)=u \cdot (u+1) \cdot (u-1)%%

%%p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=x^4-5x^3+5x^2+5x-6%%

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Finde die erste Nullstelle durch probieren heraus.

Hier %%x_1=1%%, denn:

%%p(1)=1^4-5\cdot1^3+5 \cdot 1^2+5 \cdot 1-6=1-5+5+5-6=0%%

Führe nun die Polynomdivision durch:

%%\begin{array}{l} \;\;(x^4-5x^3+5x^2+5x-6):(x-1)=x^3-4x^2+x+6\\ \underline{-(x^4-x^3)}\\ \;\;\;\;\;\;\;-4x^3+5x^2\\ \;\;\;\;\underline{-(-4x^3+4x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2+5x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x-6\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(6x-6)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}%%

Nun musst du noch die Nullstellen von %%x^3-4x^2+x+6%% berechnen.

%%0=x^3-4x^2+x+6%%

Hierfür brauchst du nocheinmal die Polynomdivision.

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier %%x_2=-1%%, denn:

%%(-1)^3-4 \cdot (-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0%%

Führe nun die Polynomdivision durch:

%%\begin{array}{l} \;\;(x^3-4x^2+x+6):(x+1)=x^2-5x+6\\ \underline{-(x^3+x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;-5x^2+x\\ \;\;\;\underline{-(-5x^2-5x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x+6\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(6x+6)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}%%

Nun musst du noch die Nullstellen von %%x^2-5x+6%% berechnen.

%%0=x^2-5x+6%%

Benutze hierfür die Mitternachtsformel, da es sich um eine quadratische Funktion handelt.

%%x_{3,4}=\dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}%%

Berechne die Wurzel.

%%=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\dfrac{5\pm1}{2}%%

%%x_3=\dfrac{5+1}2=3%%

1) Fall: %%+%%

%%x_4=\dfrac{5-1}2=2%%

2) Fall: %%-%%

Die Funktion hat also die Nullstellen: %%x_1=1%%, %%x_2=-1%%, %%x_3=3%% und %%x_4=2%%.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6=(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-3)\cdot(x-2)%%

%%q(x)=x^3-3x^2+4x-12%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=x^3-3x^2+4x-12%%

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier %%x_1=3%%, denn:

%%q(3)=3^3-3\cdot 3^2+4 \cdot 3-12=27-27+12-12=0%%

Führe nun die Polynomdivision durch:

$$\begin{array}{l}\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\ \underline{-(x^3-3x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x-12\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Da %%x^2+4%% keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung der Funktion %%q%% angeben.

Linearfaktordarstellung

Schreibe nun die Funktion %%q%% in Linearfaktorendarstellung.

%%q(x)=(x-3)\cdot(x^2+4)%%

Überführe folgende Funktionen von der Linearfaktorzerlegung in ihre Normalform.

%%f(x)=x \cdot(x-3) \cdot(x+1)%%

Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

%%\begin{align} f(x) &= x \cdot (x-3)\cdot(x+1)\\&=x \cdot(x^2+x-3x-3)\\&=x \cdot(x^2-2x-3)\\&=x^3-2x^2-3x\end{align}%%

%%f%% hat also folgende Normalform: %%f(x)=x^3-2x^2-3x%%.

%%g(z)=z \cdot (z-2)^2%%

Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

%%g(z)=z \cdot (z-2)^2%%

Wende die 2.Binomische Formel an.

%%\phantom{g(z)}=z \cdot (z^2-4z+4)%%

Multipliziere das %%z%% in die Klammer.

%%\phantom{g(x)}=z^3-4z^2+4z%%

%%g%% hat also folgende Normalform: %%g(z)=z^3-4z^2+4z%%.

%%h(u)=(u-1)\cdot(u+3)\cdot(u-1)\cdot(u-3)%%

Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

%%h(u)=(u-1) \cdot (u+3) \cdot (u-1) \cdot (u-3)%%

Sortiere um.

%%\phantom{h(u)}=(u-1)^2 \cdot(u+3) \cdot(u-3)%%

Löse %%(u-1)^2%% mit der 2. Binomischen Formel und %%(u+3) \cdot (u-3)%% mit der 3. Binomischen Formel.

%%\phantom{h(u)}=(u^2-2u+1) \cdot (u^2-9)%%

Multipliziere aus.

%%\phantom{h(u)}=u^4-2u^3+u^2-9u^2+18u-9%%

Fasse zusammen.

%%\phantom{h(u)}=u^4-2u^3-8u^2+18u-9%%

%%h%% hat also folgende Normalform: %%h(u)=u^4-2u^3-8u^2+18u-9%%.

%%k(x)=(x+2)\cdot (x-1)\cdot (x-2)%%

Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

%%k(x)=(x+2) \cdot (x-1) \cdot (x-2)%%

Sortiere um.

%%\phantom{k(x)}=(x+2) \cdot(x-2) \cdot (x-1)%%

Wende die 3. Binomische Formel an.

%%\phantom{k(x)}=(x^2-4) \cdot (x-1)%%

Multipliziere aus.

%%\phantom{k(x)}=x^3-x^2-4x+4%%

%%k%% hat also folgende Normalform: %%k(x)=x^3-x^2-4x+4%%.

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