Aufgaben
Welche Funktionen sind in Linearfaktordarstellung gegeben?
Klicke auf die Funktionen in Linearfaktordarstellung.
h(z)=z(z1)(z+5)h(z)=z \cdot (z-1) \cdot (z+5)
k(z)=z(z2+4)k(z)=z\cdot(z^2+4)
f(x)=x3+2x2f(x)=x^3+2x^2
g(x)=x(x24)g(x)=x \cdot (x^2-4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktordarstellung

Funktionen, die als Linearfaktorzerlegung dargestellt sind:

  • h(z)=z(z1)(z+5)h(z)=z \cdot (z-1) \cdot (z+5)
  • k(z)=z(z2+4)k(z)=z \cdot (z^2+4)
Anmerkung zu k(z)k(z): Diese Funktion ist in Linearfaktordarstellung angegeben, da (z2+4)(z^2+4) keine Nullstellen hat, man es also nicht weiter zerlegen kann.

Funktionen, die nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt sind:

  • f(x)=x3+2x2f(x)=x^3+2x^2 ist nicht in Linearfaktordarstellung angegeben, denn man kann noch ein x2x^2 ausklammern. Die Linearfaktordarstellung von f(x)f(x) ist also:
  • g(x)=x(x24)g(x)=x \cdot (x^2-4) ist auch nicht in Linearfaktorzerlegung angegeben. Hier kann man auf (x24)(x^2-4) noch die 3. Binomische Formel anwenden. Die Linearfaktordarstellung von g(x)g(x) ist also:
Klicke auf die Funktionen in Linearfaktordarstellung.
g(x)=2x3(2x)(x+1)g(x)=2x^3 \cdot (2-x)\cdot(x+1)
h(u)=(u3)2h(u)=(u-3)^2
k(x)=3(x3)5k(x)=3 \cdot (x-3)^5
f(z)=z21f(z)=z^2-1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktordarstellung

Funktionen, die als Linearfaktorzerlegung angegeben sind:

  • g(x)=2x3(2x)(x+1)g(x)=2x^3\cdot(2-x)\cdot(x+1)
  • h(u)=(u3)2h(u)=(u-3)^2
  • k(x)=3(x3)5k(x)=3 \cdot (x-3)^5

Funktion, die nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt ist:

f(z)=z21f(z)=z^2-1 ist nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt. Du kannst hier die 3.Binomische Formel anwenden. f(z)f(z) lautet in Linearfaktorzerlegung:

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen und gib die Funktionen in ihrer Linearfaktordarstellung an.

%%g(u)=u^3-2u^2-u+2%%

Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion %%g%%, indem man die %%u%%-Werte findet, für die %%g(u)=0%% gilt.

%%g(u)=u^3-2u^2-u+2%%

Setze die Funktion gleich %%0%%.

%%0=u^3-2u^2-u+2%%

Finde die erste Nullstelle durch Probieren.

Hier: %%u_1=1%%, denn:

%%g(1)=1^3-2 \cdot 1^2-1+2= 1-2-1+2=0%%

Führe nun mit %%g(u)%% und dem Linearfaktor %%(u-1)%% eine Polynomdivision durch.

$$\begin{array}{l}\;\;(u^3-2u^2-u+2):(u-1)=u^2-u-2\\ \underline{-(u^3-u^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;-u^2-u\\ \;\;\;\;\;\underline{-(-u^2+u)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2u+2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2u+2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Berechne nun also die Nullstellen von %%u^2-u-2%%. Benutze dafür die Mitternachtsformel, da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt.

%%\displaystyle u_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}%%

Berechne die Wurzel.

%%\phantom{u_{2,3}}=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2}%%

%%u_2=\displaystyle \frac{1+3}2=2%%

1) Fall: %%+%%

%%u_3=\displaystyle\frac{1-3}2=-1%%

2) Fall: %%-%%

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion %%g%% in Linearfaktorendarstellung.

%%g(u)=(u-1)\cdot(u-2)\cdot(u+1)%%

%%l(z)=z^3+4z^2+4z%%

Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion %%l%%, indem man die %%z%%-Werte findet, für die %%l(z)=0%% gilt.

%%l(z)=z^3+4z^2+4z%%

Setze die Funktion %%l%% gleich %%0%%.

%%0=z^3+4z^2+4z%%

Klammere ein %%z%% aus.

%%0=z \cdot (z^2+4z+4)%%

Die erste Nullstelle von %%l(z)%% ist also: %%z_1=0.%%

Berechne nun noch die Nullstellen der quadratischen Funktion %%z^2+4z+4%%. Nutze dafür die Mitternachtsformel.

%%z_{2,3}=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}%%

Berechne die Wurzel.

%%\phantom{z_{2,3}}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2}=\dfrac{-4\pm0}{2}%%

Die zweite Nullstelle %%z_{2,3}=-2%% ist eine doppelte Nullstelle.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion %%l%% in Linearfaktorendarstellung.

%%l(z)=z \cdot(z+2)^2%%

%%h(x)=x^3−x^2+x−1%%

Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion %%h%%, indem man die %%x%%-Werte findet, für die %%h(x)=0%% gilt.

%%h(x)=x^3-x^2+x-1%%

Setze die Funktion gleich %%0%%.

%%0=x^3-x^2+x-1%%

Hier brauchst du die Polynomdivision um die Nullstellen zu berechnen.

Finde eine Nullstelle durch Probieren.

Hier %%x_1=1%%, denn:

%%h(1)=1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0%%

Führe nun die Polynomdivision durch:

$$\begin{array}{l}\;\;(x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x-1)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Da %%x^2+1%% keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung angeben.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion %%h%% in Linearfaktorendarstellung.

%%h(x)=\left(x-1\right)\cdot\left(x^2+1\right)%%

%%f(x)=x^3+3x^2-4x%%

Nullstellenbestimmung und Linearfaktordarstellung

Nullstellenbestimmung

Man berechnet Nullstellen der Funktion %%f%%, indem man die %%x%%-Werte findet, für die %%f(x)=0%% gilt.

%%f(x)=x^3+3x^2-4x%%

Setze die Funktion gleich %%0%%.

%%\begin{align}x^3+3x^2-4x=0\\x\cdot\left(x^2+3x-4\right)=0 \end{align}%%

%%x%% ausklammern .

%%x_1=0%%

Setze die Klammer gleich %%0%%.

%%(x^2+3x-4)=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1}%%

Fasse unter der Wurzel zusammen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}%%

Ziehe die Wurzel.

%%\displaystyle \phantom{x_{2,3}}=\frac{-3\pm5}{2}%%

%%\displaystyle x_2=\frac{-3+5}2=1%%

1) Fall: %%+%%

%%\displaystyle x_3=\frac{-3-5}2=-4%%

2) Fall: %%-%%

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion %%f%% in Linearfaktorendarstellung.

%%f\left(x\right)=x\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+4\right)%%

Zerlege folgende Funktionen in Linearfaktoren.

%%f(x)=x^2+2x-3%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=x^2+2x-3%%

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, berechnet man diese mit der Mitternachtsformel.

%%x_{1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}%%

Vereinfache unter der Wurzel.

%%\phantom{x_1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}%%

Ziehe die Wurzel.

%%\phantom{x_1,2}=\dfrac{-2\pm4}{2}%%

%%\Rightarrow x_1=\dfrac{-2+4}2=1%%

1) Fall: %%+%%

%%\Rightarrow x_2=\dfrac{-2-4}2=-3%%

2) Fall: %%-%%

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%f(x)=x^2+2x-3=(x-1)\cdot(x+3)%%

%%g(z)=z^3−z^2+4z−4%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=z^3-z^2+4z-4%%

Hier brauchst du die Polynomdivision. Errate die erste Nullstelle.

%%g(1)=1^3-1^2+4 \cdot 1-4=0%%

%%\Rightarrow z_1=1%% ist eine Nullstelle von %%g(z)%%

Klammere die Nullstelle mithilfe der Polynomdivision aus.

%%\begin{array}{l}\;\;(z^3-z^2+4z-4):(z-1)=z^2+4\\-\underline{(z^3-z^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0+4z-4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4z-4)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Versuche nun noch die Nullstellen von %%z^2+4%% zu bestimmen.

%%z^2+4=0%%

%%|-4%%

%%z^2=-4%%

%%\Rightarrow z^2+4%% hat also keine Nullstellen

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%g(z)=z^3-z^2+4z-4=(z-1)\cdot(z^2+4)%%.

%%h(u)=u^2-3u+2%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=u^2-3u+2%%

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, wird hier die Mitternachtsformel verwendet.

%%u_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot 1}%%

Vereinfache unter der Wurzel.

%%\phantom{u_1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{1}}{2}%%

Ziehe die Wurzel.

%%\phantom{u_1,2}=\dfrac{3\pm1}2%%

%%\Rightarrow u_1=\dfrac{3+1}2=2%%

1) Fall: %%+%%

%%\Rightarrow u_2=\dfrac{3-1}2=1%%

2) Fall: %%-%%

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%h(u)=u^2-3u+2=(u-2)\cdot(u-1)%%

%%i(x)=5x^4-25x^2+20%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=5x^4−25x^2+20%%

Klammere %%5%% aus.

%%0=5 \cdot (x^4−5x^2+4)%%

Teile durch %%5%%, damit die Rechung später einfacher wird.

%%0= x^4−5x^2+4%%

Nutze das Verfahren der Substitution, da es sich um eine Funktion der Form %%a(x^2)^2+bx^2+c%% handelt.

Substitution: %%u=x^2%%

%%0=u^2-5u+4%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%u_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2 \cdot 1}%%

Vereinfache unter der Wurzel.

%%\phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{2\cdot 1}%%

Vereinfache weiter.

%%\phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{2}%%

%%\phantom{u_{1,2}}=\dfrac{5\pm3}{2}%%

%%u_1=\dfrac{5+ 3}{2} =4%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\dfrac{5-3}{2}=1%%

2) Fall: %%-%%

Rücksubstitution: %%x=\pm \sqrt{u}%%

%%u_1=4\\ \Rightarrow x_1=+\sqrt{4}=2\\ \Rightarrow x_2=-\sqrt{4}=-2%%

%%u_2=1\\ \Rightarrow x_3=+\sqrt{1}=1\\ \Rightarrow x_4=-\sqrt{1}=-1%%

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%i(x)=5x^4−25x^2+20=5\cdot (x-2)\cdot(x+2)\cdot(x-1) \cdot(x+1)%%

%%k(x)=\frac12x^4+x^3-\frac32x^2-4x-2%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=\frac12x^4+x^3−\frac32x^2−4x−2%%

Klammere %%\frac12%% aus.

%%0=\frac12 (x^4+2x^3-3x^2-8x-4)%%

%%\mid\cdot 2%%

%%0=x^4+2x^3-3x^2-8x-4%%

Wende die Polynomdivision an:

Errate die erste Nullstelle. Hier: %%x_1=-1%%, denn:

%%k(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)^3-3\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)-4\\\phantom{k(-1)}=1-2-3+8-4=0%%

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere %%k(x)%% durch %%(x+1)%%:

%%\begin{array}{l} \;\;(x^4+2x^3-3x^2-8x-4):(x+1)=x^3+x^2-4x-4\\ \underline{-(x^4+x^3)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^3-3x^2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^3+x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4x^2-8x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x^2-4x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4x-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}%%

%%\Rightarrow%% Wir erhalten eine neue Funktion %%\tilde k(x)=x^3+x^2-4x-4%%

Um die Nullstellen von %%\tilde k(x)%% zu berechnen, musst du erneut die Polynomdivision anwenden:

Errate wieder eine Nullstelle. Hier: %%x_2=2%%, denn:

%%\tilde k(2)=2^3+2^2-4 \cdot 2-4\\\phantom{k(x)}=8+4-8-4\\\phantom{k(x)}=0%%

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere %%\tilde k(x)%% durch %%(x-2)%%:

%%\begin{array}{l} \;\;(x^3+x^2-4x-4):(x-2)=x^2+3x+2\\ \underline{-(x^3-2x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-4x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-6x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\\ \end{array}%%

Nun musst du noch die Nullstellen von %%x^2+3x+2%% berechnen. Verwende dafür die Mitternachtsformel.

%%x_{3,4}=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

Vereinfache.

%%=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{-3\pm1}{2}%%

%%x_3=\dfrac{-3+1}2=-1%%

1) Fall: %%+%%

%%x_4=\dfrac{-3-1}2=-2%%

2) Fall: %%-%%

Du hast also folgende Nullstellen berechnet:

%%\Rightarrow x_{1,3}=-1\\ \Rightarrow x_2= 2\\ \Rightarrow x_4=-2%%

%%-1%% ist eine doppelte Nullstelle und %%2%% und %%-2%% sind einfache Nullstellen.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%k(x)=\frac12x^4+x^3−\frac32x^2−4x−2=\frac12(x+1)^2\cdot(x-2)\cdot(x+2)%%

%%l(z)=4z^3+4z^2−4z−4%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=4z^4+4z^3−4z^2−4z%%

Klammere %%4z%% aus.

%%0=4z\cdot(z^3+z^2-z-1)%%

%%\mid:4%%

%%\Rightarrow z_1=0%% ist erste Nullstelle

Berechne nun noch die Nullstellen von %%z^3+z^2-z-1%%.

%%0=z^3+z^2-z-1%%

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Errate eine Nullstelle. Hier: %%z_2=1%%, denn es gilt:

%%1^3+1^2-1-1=0%%

Führe die Polynomdivision durch:

$$\begin{array}{l}\;\;(z^3+z^2-z-1):(z-1)=z^2+2z+1\\ \underline{-(z^3-z^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2z^2-z\\ \;\;\;\;\;\;\underline{-(2z^2-2z)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(z-1)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Forme nun %%z^2+2z+1%% durch anwenden der 1.Binomischen Formel um:

%%z^2+2z+1=(z+1)^2%%

(Alternativ könnte man die Nullstellen auch mit der Mitternachtsformel berechnen.)

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%l(z)=4z^4+4z^3−4z^2−4z=4z\cdot(z-1)\cdot(z+1)^2%%

%%m(z)=z^5−2z^4+2z−4%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=z^5-2z^4+2z-4%%

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Errate die erste Nullstelle. Hier: %%z_1=2%%, denn:

%%m(2)=2^5-2 \cdot2^4+2 \cdot 2-4\\ \phantom{m(2)}=32-32+4-4=0%%

Führe die Polynomdivision durch:

$$\begin{array}{l}\;\;(z^5-2z^4+2z-4):(z-2)=z^4+2\\ \underline{-(z^5-2z^4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2z-4\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2z-4)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Dir bleibt also noch der Teil %%z^4+2%% übrig, welcher keine Nullstellen besitzt.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%m(z)=z^5-2z^4+2z-4=(x-2)\cdot(x^4+2)%%

%%n(u)=u^3-u%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Hier kann man die Linearfaktorzerlegung bestimmen ohne vorher explizit die Nullstellen zu berechnen.

%%n(u)=u^3-u%%

Klammere %%u%% aus.

%%\phantom{n(u)}=u \cdot (u^2-1)%%

Wende die 3.binomische Formel an.

%%\phantom{n(u)}=u \cdot (u+1) \cdot (u-1)%%

Die Linearfaktorzerlegung von %%n(u)%% ist also:

%%n(u)=u \cdot (u+1) \cdot (u-1)%%

%%p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=x^4-5x^3+5x^2+5x-6%%

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Finde die erste Nullstelle durch probieren heraus.

Hier %%x_1=1%%, denn:

%%p(1)=1^4-5\cdot1^3+5 \cdot 1^2+5 \cdot 1-6=1-5+5+5-6=0%%

Führe nun die Polynomdivision durch:

%%\begin{array}{l} \;\;(x^4-5x^3+5x^2+5x-6):(x-1)=x^3-4x^2+x+6\\ \underline{-(x^4-x^3)}\\ \;\;\;\;\;\;\;-4x^3+5x^2\\ \;\;\;\;\underline{-(-4x^3+4x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2+5x\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x-6\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(6x-6)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}%%

Nun musst du noch die Nullstellen von %%x^3-4x^2+x+6%% berechnen.

%%0=x^3-4x^2+x+6%%

Hierfür brauchst du nocheinmal die Polynomdivision.

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier %%x_2=-1%%, denn:

%%(-1)^3-4 \cdot (-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0%%

Führe nun die Polynomdivision durch:

%%\begin{array}{l} \;\;(x^3-4x^2+x+6):(x+1)=x^2-5x+6\\ \underline{-(x^3+x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;-5x^2+x\\ \;\;\;\underline{-(-5x^2-5x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x+6\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(6x+6)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}%%

Nun musst du noch die Nullstellen von %%x^2-5x+6%% berechnen.

%%0=x^2-5x+6%%

Benutze hierfür die Mitternachtsformel, da es sich um eine quadratische Funktion handelt.

%%x_{3,4}=\dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}%%

Berechne die Wurzel.

%%=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\dfrac{5\pm1}{2}%%

%%x_3=\dfrac{5+1}2=3%%

1) Fall: %%+%%

%%x_4=\dfrac{5-1}2=2%%

2) Fall: %%-%%

Die Funktion hat also die Nullstellen: %%x_1=1%%, %%x_2=-1%%, %%x_3=3%% und %%x_4=2%%.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

%%p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6=(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-3)\cdot(x-2)%%

%%q(x)=x^3-3x^2+4x-12%%

Linearfaktorzerlegung

In dieser Aufgabe sollst du das Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

%%0=x^3-3x^2+4x-12%%

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier %%x_1=3%%, denn:

%%q(3)=3^3-3\cdot 3^2+4 \cdot 3-12=27-27+12-12=0%%

Führe nun die Polynomdivision durch:

$$\begin{array}{l}\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\ \underline{-(x^3-3x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x-12\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array}$$

Da %%x^2+4%% keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung der Funktion %%q%% angeben.

Linearfaktordarstellung

Schreibe nun die Funktion %%q%% in Linearfaktorendarstellung.

%%q(x)=(x-3)\cdot(x^2+4)%%

Überführe folgende Funktionen von der Linearfaktorzerlegung in ihre Normalform.

%%f(x)=x \cdot(x-3) \cdot(x+1)%%

Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

%%\begin{align} f(x) &= x \cdot (x-3)\cdot(x+1)\\&=x \cdot(x^2+x-3x-3)\\&=x \cdot(x^2-2x-3)\\&=x^3-2x^2-3x\end{align}%%

%%f%% hat also folgende Normalform: %%f(x)=x^3-2x^2-3x%%.

%%g(z)=z \cdot (z-2)^2%%

Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

%%g(z)=z \cdot (z-2)^2%%

Wende die 2.Binomische Formel an.

%%\phantom{g(z)}=z \cdot (z^2-4z+4)%%

Multipliziere das %%z%% in die Klammer.

%%\phantom{g(x)}=z^3-4z^2+4z%%

%%g%% hat also folgende Normalform: %%g(z)=z^3-4z^2+4z%%.

%%h(u)=(u-1)\cdot(u+3)\cdot(u-1)\cdot(u-3)%%

Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

%%h(u)=(u-1) \cdot (u+3) \cdot (u-1) \cdot (u-3)%%

Sortiere um.

%%\phantom{h(u)}=(u-1)^2 \cdot(u+3) \cdot(u-3)%%

Löse %%(u-1)^2%% mit der 2. Binomischen Formel und %%(u+3) \cdot (u-3)%% mit der 3. Binomischen Formel.

%%\phantom{h(u)}=(u^2-2u+1) \cdot (u^2-9)%%

Multipliziere aus.

%%\phantom{h(u)}=u^4-2u^3+u^2-9u^2+18u-9%%

Fasse zusammen.

%%\phantom{h(u)}=u^4-2u^3-8u^2+18u-9%%

%%h%% hat also folgende Normalform: %%h(u)=u^4-2u^3-8u^2+18u-9%%.

%%k(x)=(x+2)\cdot (x-1)\cdot (x-2)%%

Von der Linearfaktordarstellung zur Normalform

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

%%k(x)=(x+2) \cdot (x-1) \cdot (x-2)%%

Sortiere um.

%%\phantom{k(x)}=(x+2) \cdot(x-2) \cdot (x-1)%%

Wende die 3. Binomische Formel an.

%%\phantom{k(x)}=(x^2-4) \cdot (x-1)%%

Multipliziere aus.

%%\phantom{k(x)}=x^3-x^2-4x+4%%

%%k%% hat also folgende Normalform: %%k(x)=x^3-x^2-4x+4%%.

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