Bestimme jeweils eine Funktion, die folgende Eigenschaften besitzt.

Die Funktion ist vom Grad 2, besitzt zwei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=2%% und geht durch den Punkt %%P(3|-2)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 2. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^2+bx+c%% bzw. die Nullstellenform %%f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)%%.

Die Funktion besitzt zwei Nullstellen bei %%x_1=1%% und %%x_2=2%%. Somit kann man die Nullstellenform aufstellen:

%%f(x)=a\cdot(x-1)(x-2)%%

Außerdem liegt der Punkt %%P(3|-2)%% auf der Funktion. Setze %%P%% in die Gleichung ein und löse nach %%a%% auf.

%%-2=a\cdot(3-1)(3-2)=a\cdot2\cdot1%%

%%-2=2a%%

%%|:2%%

%%-1=a%%

Stelle nun den Funktionsterm auf.

%%f(x)=-1\cdot(x-1)(x-2)%%

Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.

%%\phantom{f(x)}=-1\cdot(x^2-3x+2)%%

%%\phantom{f(x)}=-x^2+3x-2%%

Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-2%%, eine einfache Nullstelle bei %%x_3=0%% und verläuft durch den Punkt %%P(-1|-2)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%% bzw. die Nullstellenform %%f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)%%.

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-2%% und eine einfache Nullstelle bei %%x_3=0%%. Somit kann man die Nullstellenform aufstellen:

%%f(x)=a\cdot(x+2)(x+2)(x-0)%%

Außerdem liegt der Punkt %%P(-1|-2)%% auf der Funktion. Setze %%P%% in die Gleichung ein und löse nach %%a%% auf.

%%-2=a\cdot(-1+2)(-1+2)(-1-0)%%

%%\phantom{-2}=a\cdot1\cdot1\cdot(-1)=-a%%

%%|:-1%%

%%2=a%%

Stelle nun den Funktionsterm auf.

%%f(x)=2\cdot(x+2)(x+2)(x-0)%%

Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.

%%\phantom{f(x)}=2x(x^2+4x+4)%%

%%\phantom{f(x)}=2x^3+8x^2+8x%%

Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine einfache Nullstelle bei %%x=-1%% und verläuft durch die Punkte %%P(0|-4)%% und %%Q(2|24)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 4. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e%%. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit ungeraden Exponenten und es ergibt sich %%f(x)=ax^4+cx^2+e%%.

Aus den gegebenen Punkten und der der Nullstelle, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt %%\mathrm{P}%% einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze den Punkt %%\mathrm{P}(0|-4)%% in die Gleichung ein.

%%-4=a\cdot0^4+c\cdot0^2+e=e%%

%%\mathrm{I}\quad -4 = e%%

Punkt %%\mathrm{Q}%% einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze den Punkt %%\mathrm{Q}(2|24)%% in die Gleichung ein.

%%24=a\cdot2^4+c\cdot2^2+e=16a+4c+e%%

%%\mathrm{II}\quad 24 = 16a+4c+e%%

Nullstelle einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze die Nullstelle %%x=-1%% in die Gleichung ein.

%%0=a\cdot1^4+c\cdot1^2+e=a+c+e%%

%%\mathrm{III}\quad 0= a+c+e%%

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Das Gleichungssystem lautet also:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-4& = &&&&&e&\\ \mathrm{II} &24& = &16a& + &4c& + &e\\ \mathrm{III} &0& = &a& + &c& + &e& \end{array}%%

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%e=-4%%

Setze %%e=-4%% in die anderen beiden Gleichungen ein:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &24& = &16a& + &4c& - &4&|:4\\ &6& = &4a& + &c& - &1&\\ \mathrm{III'} &0& = &a& + &c& - &4&\\ \end{array}%%

Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach %%c%% in der Gleichung %%\mathrm{III'}%% auflöst.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &0&&& = &a& + &c& - &4&|+4\\ &4& &&= &a& + &c& &&|-a\\ &4& - &a& = && &c& &&|-a\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=4-a%% in der Gleichung %%\mathrm{II'}%% ersetzen und dann vereinfachen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II''} &6& = &4a& + &4-a& - &1&\\ &6& = &3a& + &3& &&|-3\\ &3& = &3a& && &&|:3\\ &1& = &a& \\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{III'}%% weißt du, dass %%c=4-a%%. Setze %%a=1%% in diese Gleichung ein.

%%c=4-1=3%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=1%%, %%c=3%% und %%e=-4%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=x^4+3x^2-4%%

Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte %%P\left(1|-1,5\right)%% und %%Q\left(3|7,5\right)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%. Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit geraden Exponenten und es ergibt sich %%f(x)=ax^3+cx%%.

Aus den gegebenen Punkten kannst du zwei Gleichungen aufstellen, die beide erfüllt sein müssen.

Punkt %%\mathrm{P}%% einsetzen

%%f(x)=ax^3+cx%%

Setze den Punkt %%\mathrm{P}(1|-1,5)%% in die Gleichung ein.

%%-1,5=a\cdot1^3+c\cdot1=a+c%%

%%\mathrm{I}\quad -1,5 = a+c%%

Punkt %%\mathrm{Q}%% einsetzen

%%f(x)=ax^3+cx%%

Setze den Punkt %%\mathrm{Q}(3|7,5)%% in die Gleichung ein.

%%7,5=a\cdot3^3+c\cdot3=27a+3c%%

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II}&7,5& = &27a& + &3c&|:3\\ &2,5& = &9a& + &c&\\ \end{array}%%

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Das Gleichungssystem lautet also:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-1,5& = &a& + &c&\\ \mathrm{II} &2,5& = &9a& + &c&\\ \end{array}%%

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach %%c%% in der Gleichung %%\mathrm{I}%% auflöst.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-1,5&&& = &a& + &c&|-a\\ &-1,5& - &a& = && &c&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=-1,5-a%% in der Gleichung %%\mathrm{II}%% ersetzen und dann vereinfachen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &2,5& = &9a& - &1,5-a&\\ &2,5& = &8a& - &1,5&|+1,5\\ &4& = &8a& &&|:8\\ &\frac12& = &a& &&|:8\\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{I}%% weißt du, dass %%c=-1,5-a%%. Setze %%a=\frac12%% in diese Gleichung ein.

%%c=-1,5-\frac12=-2%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=\frac12%% und %%c=-2%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=\frac12x^3-2x%%

Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=1%% und geht durch den Punkt %%P(0|3)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e%% bzw. die Nullstellenform %%f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)%%.

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=1%%. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, hat sie ebenfalls eine doppelte Nullstelle bei %%x_{3,4}=-1%%. Somit kann man die Nullstllenform aufstellen:

%%f(x)=a\cdot(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)%%

Außerdem liegt der Punkt %%P(0|3)%% auf der Funktion. Setze %%P%% in die Gleichung ein und löse nach %%a%% auf.

%%3=a\cdot(0-1)(0-1)(0+1)(0+1)%%

%%\phantom{3}=a\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot 1\cdot 1=a%%

Stelle nun den Funktionsterm auf.

%%f(x)=3\cdot(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)%%

Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x-1)(x+1)\cdot(x-1)(x+1)%%

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x^2-1)\cdot(x^2-1)%%

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x^4-2x^2+1)%%

%%\phantom{f(x)}=3x^4-6x^2+3%%