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Linearfaktordarstellung einer Polynomfunktion beliebigen Grades

Viele Polynome kannst du als Produkt der Form f(x)=a⋅(x−N1)⋯(x−Nn) darstellen. Hierbei sind N1 bis Nn die Nullstellen der Funktion f und a∈ℝ.

Diese Darstellung heißt Linearfaktordarstellung.

(x−N1), (x−N2),..., (x−Nn) heißen Linearfaktoren.

Bringt man ein Polynom in seine Linearfaktordarstellung, so nennt man diesen Vorgang Linearfaktorzerlegung.

Beispiel:

f(x)=2x2−4x−6 kann umgeformt werden zu

f(x)=2x2−4x−6=2⏟a⋅(x−(−1))⏟Linearfaktor⋅(x−3)⏟Linearfaktor

Die Funktion hat die Nullstellen N1=−1 und N2=3.

FĂŒr Polynome, bei denen eine solche Darstellung nicht möglich ist, gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung Ă€hnlich ist:

f(x)=a⋅(x−N1)⋯(x−Nk)⋅(Restglied),

Das Restglied ist wieder ein Polynom, welches keine reellen Nullstellen hat und daher nicht weiter zerlegt werden kann.

Beispiel:

f(x)=x3−2x2+3x−6 kannst du zerlegen in

f(x)=x3−2x2+3x−6=1⏟a⋅(x−2)⏟Linearfaktor⋅(x2+3)⏟Restglied

(x2+3) hat in den reellen Zahlen keine Nullstellen, da

x2+3=0⇒x2=−3

nicht weiter lösbar ist.

Bestimmung der Linearfaktordarstellung

Geschicktes Umformen

Versuche als erstes, ob du durch geschicktes Ausklammern und/oder Einsatz der binomischen Formeln dein gegebenes Polynom in eine Linearfaktordarstellung bringen kannst.

Beispiel: f(x)=3x3−3x

Durch Umformen erhÀltst du:

f(x)=3x3−3x
↓

Klammere 3x aus.

=3x⋅(x2−1)
↓

x2−1 ist eine binomische Formel. Schreibe diese um.

=3x⋅(x−1)⋅(x+1)

Die Linearfaktordarstellung ist also f(x)=3⋅(x−0)⋅(x−1)⋅(x+1)

Nullstellenbestimmung

Wenn du mit geschicktem Umformen nicht weiterkommst, bestimme alle Nullstellen.

Bilde ein Produkt aus den Linearfaktoren der Nullstellen und ĂŒberprĂŒfe, ob dieses Produkt deiner Funktion f entspricht. Passe, wenn nötig, die Linearfaktordarstellung ein wenig an.

  • Gegebenenfalls kommen manchen Linearfaktoren mehrfach vor, je nach Vielfachheit der Nullstelle.

  • FĂŒge, wenn nötig, einen geeigneten Faktor a hinzu.

Beispiel: f(x)=2x2−12x−14

Berechne mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel alle Nullstellen der Funktion. Mit der Mitternachtsformel ergeben sich folgende Nullstellen x1 und x2:

x1,2=−(−12)±(−12)2−4⋅2⋅(−14)2⋅2
=12±144+1124
=12±2564
=12±164

⇒x1=12−164=−44=−1 und x2=12+164=284=7

f enthĂ€lt in der Linearfaktorzerlegung also die Linearfaktoren (x−(−1)) und (x−7). Teste, ob (x−(−1))⋅(x−7)=f(x) ist:

Probe:

(x−(−1))⋅(x−7)=(x+1)⋅(x−7)
=x2+x−7x−7
=x2−6x−7≠f(x)

(x+1)(x−7) unterscheidet sich nur um den Faktor 2 von f(x). Multipliziere mit 2, um die Linearfaktordarstellung von f zu erhalten:

2⋅(x+1)(x−7)=2⋅(x2−6x−7)=2x2−12x−14 =f(x)

f hat also die Linearfaktordarstellung f(x)=2⋅(x+1)(x−7).

Linearfaktordarstellung in AbhÀngigkeit der Nullstellen

Im Allgemeinen hat ein Polynom n-ten Grades die Form

an⋅xn+an−1⋅xn−1+an−2⋅xn−2+⋯+a1⋅x+a0

und besitzt maximal n Nullstellen. 

Es lassen sich nun 2 FĂ€lle unterscheiden:

  1. Entweder das Polynom hat n Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen dabei auch mehrfach zĂ€hlt, (es mĂŒssen also nicht n verschiedene Nullstellen sein)

  2. oder das Polynom hat trotz ZĂ€hlung aller Nullstellen mit ihren Vielfachheiten immer noch weniger als n Nullstellen.

Beispiele

Polynom n-ten Grades hat n Nullstellen:

  • Das Polynom 2x2−4x−6 von oben hat den Grad 2 und zwei Nullstellen, und zwar −1 und 3.

  • Das Polynom x2−2x+1 hat den Grad 2 und eine doppelte Nullstelle, und zwar die Zahl 1.

Polynom n-ten Grades hat weniger als n Nullstellen:

  • Das Polynom x3−2x2+3x−6 von oben hat den Grad 3 und nur eine Nullstelle, und zwar die Zahl 2.

n Nullstellen

Wenn f ein Polynom n-ten Grades mit n Nullstellen ist und mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezÀhlt werden, dann gibt es eine Linearfaktorzerlegung von f. f lÀsst sich also umformen zu

f(x)=a⋅(x−N1)⋯(x−Nn)

mit N1,
,Nn als Nullstellen des Polynoms (wobei auch mehrere Nullstellen gleich sein können). 

Beispiele

1. f(x)=3x3−3x

Linearfaktordarstellung:

f(x)=3⋅(x+1)⋅(x+0)⋅(x−1)

Bild

2. f(x)=x3−2x2

Linearfaktordarstellung:

f(x)=1⋅(x−0)⋅(x−0)⋅(x−2)

Bild

3. f(x)=2x3

Linearfaktordarstellung:

f(x)=2⋅(x−0)⋅(x−0)⋅(x−0)

Bild

Weniger als n Nullstellen

Im Allgemeinen kann man ĂŒber den reellen Zahlen aber nicht davon ausgehen, dass ein Polynom seinem Grad entsprechend viele Nullstellen besitzt (z. B. besitzt x2+1 Â ĂŒberhaupt keine Nullstellen, hat aber Grad 2).

FĂŒr solche Polynome gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung Ă€hnlich ist:

f(x)=a⋅(x−N1)⋯(x−Nk)⋅(Restglied),

wobei das Restglied wieder ein Polynom ist, welches allerdings keine reellen Nullstellen besitzt.

Das Restglied lÀsst sich zum Beispiel mithilfe der Polynomdivision berechnen, indem man das Ausgangspolynom durch die zu seinen Nullstellen gehörenden Linearfaktoren teilt.

Beispiel

f(x)=x4−1=1⋅(x−1)⋅(x+1)⋅(x2+1)
7951_VdPd6JCBnX.xml

Außerdem lĂ€sst sich das Restglied selbst als Produkt von Polynomen vom Grad 2 schreiben.

Vorteile der Linearfaktordarstellung

Ablesen der Nullstellen des Polynoms

Liegt ein Polynom in Linearfaktordarstellung vor, so kann man an ihm ohne weitere Rechnung die Nullstellen und ihre Vielfachheiten ablesen, da in jedem Linearfaktor eine Nullstelle steht.

Beispiel

f(x)=x3−x2−2x=(x−(−1))⋅(x−0)⋅(x−2)
8169_v3ksUcOriu.xml

Vereinfachen von Bruchtermen   

Die Linearfaktorzerlegung ist eine wichtige Technik im Umgang mit Bruchtermen.

1) Die Linearfaktorzerlegung verwandelt eine Summe oder Differenz in ein Produkt. Nur aus Produkten heraus kann man kĂŒrzen, nicht aus Differenzen oder Summen. Das KĂŒrzen vereinfacht den Term oft erheblich.

Beispiel

x3−x2−2xx2−x−2=(x+1)⋅x⋅(x−2)(x+1)⋅(x−2)=x

2) Will man den Hauptnenner zweier oder mehrerer Bruchterme bestimmen, muss man zunĂ€chst die Nenner der BrĂŒche faktorisieren. Dazu benötigt man ihre Linearfaktordarstellung.

Beispiel

x2+10x2−x−2+x−7x2+x

soll zusammengefasst werden. Mithilfe der Linearfaktordarstellung erkennt man den Hauptnenner und kann die Terme gleichnamig machen:

x2+10x2−x−2+x−7x2+x=x2+10(x+1)⋅(x−2)+x−7x⋅(x+1)
=(x2+10)⋅x+(x−7)⋅(x−2)x⋅(x+1)⋅(x−2)

3) Durch KĂŒrzen des Funktionsterms kann man bei gebrochenrationalen Funktionen gegebenenfalls die stetige Fortsetzung ermitteln.

Beispiel

f(x)=x3−x2−2xx2−x−2=(x+1)⋅x⋅(x−2)(x+1)⋅(x−2)=x

ergibt, dass

f~(x)=x

die stetige Fortsetzung von f ist.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung


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