Aufgaben
Ist die Funktion f(x)=(x+3)(x5)f(x)=(x+3)\cdot(x-5) hier in Normalform, Scheitelpunktsform oder in Nullstellenform angegeben?
Nullstellenform
Normalform
Scheitelpunktsform
Für diese Aufgabe brauchst du Wissen über die Nullstellenform, Scheitelpunktsform und Normalform.

Ein gutes Vorgehen ist, dir alle Formen untereinander aufzuschreiben und die Funktion f(x)f(x) direkt mit den Formen zu vergleichen.

Formen

Die Funktion

f(x)=(x+3)(x5)f(x)=(x+3)\cdot(x^{ }-5)


Die Normalform

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c


Die Scheitelpunktsform

f(x)=a(xd)2+ef(x)=a\cdot(x-d)^2+e


Die Nullstellenform

f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)
Du erkennst vielleicht, dass die Funktion ein Produkt ist. Die Normalform und die Scheitelpunktsform sind aber meistens Summen. Die Nullstellenform dagegen ist immer ein Produkt.

Hier erkennst du dann auch, dass die Funktion f(x)f(x) in Nullstellenform ist, mit a=1a=1, x1=3x_1=-3 und x2=5x_2=5.
Finde die Nullstellenform einer quadratischen Funktion mit Öffnungsfaktor a = 3 und Nullstellen bei 7 und -2.

Nullstellenform bestimmen

Die Nullstellenform lässt sich leicht aufstellen, wenn man die Nullstellen kennt.

Die Form einer quadratischen Funktion %%f%% in Nullstellenform ist:

%%f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)%%.

Hier sind %%x_1%% und %%x_2%% die Nullstellen der Funktion.

In diesem Beispiel ist also %%x_1=-2%% und %%x_2=7%%. Mit %%a=3%% ist unsere Funktion in Nullstellenform:

%%f(x)=3\cdot(x-(-2))\cdot(x-7)=3\cdot(x+2)\cdot(x-7)%%.

Finde die Nullstellenform einer quadratischen Funktion mit Öffnungsfaktor a = 7 und Nullstellen bei 23 und 1.

Nullstellenform bestimmen

Die Nullstellenform lässt sich leicht aufstellen, wenn man die Nullstellen kennt.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion %%f%% in Nullstellenform ist:

%%f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)%%.

Hier sind %%x_1%% und %%x_2%% die Nullstellen der Funktion.

In diesem Beispiel ist also %%x_1=23%% und %%x_2=1%%. Mit %%a=7%% ist unsere Funktion in Nullstellenform:

%%f(x)=7\cdot(x-23)\cdot(x-1)%%.

Gesucht ist eine quadratische Funktion ff. Die Funktion soll eine Nullstelle bei 55 haben, deren Vielfachheit aber unbekannt ist. Welche der folgenden Funktionen kommt in Frage?
f(x)=3(x3)(x5)f(x)=3\cdot(x-3)\cdot(x-5)
f(x)=42(x5)2f(x)=42\cdot(x-5)^2
f(x)=7(x5)(x8)(x8)f(x)=7\cdot(x-5)\cdot(x-8)\cdot(x-8)
f(x)=27(x+18)(x9)f(x)=27\cdot(x+18)\cdot(x-9)
f(x)=34(x+5)(x+66)f(x)=34\cdot(x+5)\cdot(x+66)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform

Die wichtigen Informationen aus der Angabe sind:
  • ff ist eine quadratische Funktion, hat also Grad 22
  • ff hat mindestens eine Nullstelle
  • 55 ist eine Nullstelle, also f(5)=0f(5)=0
Jetzt kann systematisch vorgegangen werden:



Überprüfung der Grade

Die Funktion f1(x)=7(x5)(x8)(x8)f_1(x)=7\cdot(x-5)\cdot(x-8)\cdot(x-8) hat Grad 33, kommt also nicht in Frage.Die restlichen Funktionen haben Grad 22, weil beim Ausmultiplizieren die höchste vorkommende Potenz 22 ist.



Überprüfung der Nullstelle

Wie du erkennen kannst, sind alle Antwortmöglichkeiten in der Nullstellenform. Also kannst du die Nullstellen der Funktionen aus ihren Termen ablesen.

Funktion: f2(x)=27(x+18)(x9)f_2(x)=27\cdot(x+18)\cdot(x-9)
Die Nullstellen dieser Funktion sind 18-18 und 99. Da 55 keine Nullstelle ist, erfüllt f1f_1 die Voraussetzungen nicht.

Funktion: f3(x)=34(x+5)(x+66)f_3(x)=34\cdot(x+5)\cdot(x+66)
Die Nullstellen dieser Funktion sind 5-5 und 66-66. Hier ist es wichtig auf die Vorzeichen in Klammern zu achten.
Diese Funktion erfüllt also die Voraussetzungen auch nicht.

Funktion: f4(x)=42(x5)2f_4(x)=42\cdot(x-5)^2
Hier gibt es die doppelte Nullstelle bei 55, also ist f4f_4 eine Lösung.

Funktion: f5(x)=3(x3)(x5)f_5(x)=3\cdot(x-3)\cdot(x-5)
Diese Funktion hat ihre Nullstellen bei 33 und 55 und daher ist auch f5f_5 eine Lösung.



Zusammenfassung

Die beiden richtigen Antworten sind f4(x)=42(x5)2f_4(x)=42\cdot(x-5)^2 und f5(x)=3(x3)(x5)f_5(x)=3\cdot(x-3)\cdot(x-5).
Die Funktion ff ist eine quadratische Funktion mit dem Öffnungsfaktor a=3a=3. Außerdem hat ff bei 5-5 und 33 Nullstellen. Wie lautet die Nullstellenform der Funktion?
f(x)=3(x+5)(x3)f(x)=3\cdot(x+5)\cdot(x-3)
f(x)=3(x+5)(x+3)f(x)=3\cdot(x+5)\cdot(x+3)
f(x)=3(x5)(x+3)f(x)=3\cdot(x-5)\cdot(x+3)
f(x)=3(x5)(x3)f(x)=3\cdot(x-5)\cdot(x-3)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform

Tipp: Achte vorallem auf die Vorzeichen in den Klammern. Der Artikel zur Nullstellenform kann dir weiterhelfen.

Variante 1

Die gesuchte Gleichung hat folgende Form:
f(x)=a(xx1)(xx2)\displaystyle f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)
Hierbei sind x1x_1 und x2x_2 die Nullstellen von ff und aa ist der Öffnungsfaktor.
Du kannst also die Werte einsetzen und erhältst:

f(x)=3(x(5))(x3)=3(x+5)(x3)\displaystyle f(x)=3\cdot(x-(-5))\cdot(x-3)=3\cdot(x+5)\cdot(x-3)
Beachte vor allem die Vorzeichen in den Klammern. Bei einer negativen Nullstelle ändert sich das Minus in der Klammer zu einem Plus.
Deswegen ist
f(x)=3(x+5)(x3)\displaystyle f(x)=3\cdot(x+5)\cdot(x-3)
die gesuchte Funktion.



Variante 2

Du kannst alternativ auch die Werte der verschiedenen Funktionen bei 5-5 und 33 ausrechnen.
Nur bei der Funktion
f(x)=3(x+5)(x3)\displaystyle f(x)=3\cdot(x+5)\cdot(x-3)
gilt:
  • f(5)=3(5+5)(53)=30(8)=0f(-5)=3\cdot(-5+5)\cdot(-5-3)=3\cdot0\cdot(-8)=0
  • f(3)=3(3+5)(33)=380=0f(3)=3\cdot(3+5)\cdot(3-3)=3\cdot8\cdot0=0
Also ist die richtige Lösung
f(x)=3(x+5)(x3)\displaystyle f(x)=3\cdot(x+5)\cdot(x-3)
.
Graph einer Parabel mit zwei einfachen Nullstellen
Gegeben ist der nebenstehende Graph der Funktion ff. Bestimme die Funktionsgleichung in Nullstellenform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform

Erinnere dich an das im Artikel Nullstellenform beschriebene Schema zur Bestimmung der Nullstellenform.

Bestimmung der Nullstellenform

Verwende das Vorgehen aus dem Artikel Nullstellenform zur Bestimmung der Nullstellenform:
Zuerst musst du die Nullstellen des Graphen bestimmen.
Du siehst vielleicht, dass eine Nullstelle bei x1=1x_1=-1 existiert und eine weitere bei x=3x=-3. Die Vielfachheit ist jeweils 11. Falls du hier Probleme hast, schau nochmal in den Artikel zu Nullstellen.
Die Funktion hat also zwei unterschiedliche Nullstellen der Vielfachheit 11. Dies entspricht dem 1. Fall des Vorgehens aus dem Artikel über die Nullstellenform.
Die Funktionsgleichung ist also von der Form:

f(x)=a(x(1))(x(3))=a(x+1)(x+3)\displaystyle f(x)=a\cdot (x-(-1))\cdot (x-(-3))=a\cdot(x+1)\cdot (x+3)
mit dem Öffnungsfaktor aa.
Als Nächstes ist aa zu bestimmen. Dafür gibt es zwei verschiedene Varianten:

1. Variante

Der Öffnungsfaktor kann ausgehend vom Scheitelpunkt S(21)S(-2|-1) und dem Punkt P(10)P(-1|0) abgelesen werden.
Du erhältst a=1a=1.
Die Nullstellenform der Funktion ff lautet also:
f(x)=1(x+1)(x+3)f(x)=1\cdot(x+1)\cdot (x+3).
Bestimmung des Öffnungsfaktors am Graphen von f

2. Variante

Die Nullstellenform ist, abgesehen von aa, bereits gefunden. Sie lautet:
f(x)=a(x+1)(x+3)\displaystyle f(x)=a\cdot(x+1)\cdot (x+3)
Setzt du jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist, so kannst du die Gleichung nach aa auflösen.
Du kannst am Graphen sehen, dass der Punkt P(03)P(0|3) auf diesem liegt und keine Nullstelle ist. Setze also P(03)P(0|3) in die Funktionsgleichung ein und löse nach aa auf.

3=a(0+1)(0+3)=a13=a3\displaystyle 3=a\cdot(0+1)\cdot(0+3)=a\cdot1\cdot3=a\cdot3
Teilst du beide Seiten der Gleichung durch 33, erhältst du a=1a=1.
Damit ist die Nullstellenform gegeben durch:
f(x)=1(x+1)(x+3)\displaystyle f(x)=1\cdot(x+1)\cdot (x+3)
.
Du hast die Funktion f(x)=5x210x40f(x)=5\cdot x^2 - 10\cdot x-40 in der Normalform. Wie sieht die Nullstellenform dieser Funktion aus?
f(x)=5(x4)(x+2)f(x)=5\cdot(x-4)\cdot(x+2)
f(x)=5(x1)245f(x)=5\cdot(x-1)^2-45
f(x)=5(x+4)(x2)f(x)=5\cdot(x+4)\cdot(x-2)
f(x)=8(x4)(x+2)f(x)=8\cdot(x-4)\cdot(x+2)
f(x)=5(x10)(x40)f(x)=5\cdot(x-10)\cdot(x-40)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform

Die Nullstellenform gibt die Nullstellen einer Parabel an und hat die Form:
f(x)=a(xx1)(xx2)\displaystyle f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)
mit x1x_1, x2x_2 Nullstellen und aa der Öffnungsfaktor.
Da ff in der Normalform ist, können wir den Öffnungsfaktor direkt ablesen mit a=5a=5.
Also ist der nächste Schritt, die Nullstellen von ff zu bestimmen. Die Nullstellen bekommt man durch das Gleichsetzen von ff und 00. %%\begin{align}f(x)=0\\5\cdot x^2 - 10\cdot x-40=0\\\end{align}%%
f(x)=05x210x40=0\displaystyle \begin{array}{clc} f(x)&=&0\\5\cdot x^2 - 10\cdot x-40&=&0\\\end{array}
Jetzt wendest du die Mitternachtsformel an, um die Nullstellen zu bestimmen. Damit erhältst du:

x1/2=10±(10)245(40)25=10±100+80010=10±90010=10±3010=1±3\displaystyle \displaystyle{x_{1/2}=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot5\cdot(-40)}}{2\cdot5}=\frac{10\pm\sqrt{100+800}}{10}=\frac{10\pm\sqrt{900}}{10}}=\frac{10\pm30}{10}=1\pm3
Die Funktion ff hat also Nullstellen bei x1=4x_1=4 und x2=2x_2=-2.
Jetzt kannst du die Nullstellenform aufstellen und du bekommst:
f(x)=5(x4)(x+2)\displaystyle f(x)=5\cdot(x-4)\cdot(x+2)
.

Es ist die quadratische Funktion

%%f(x)=(x-1)^2-4%%

in der Scheitelpunktsform gegeben. Verwende das Schema zur Bestimmung der Nullstellenform.

Bestimmen der Nullstellenform

Zuerst bestimmst du die Nullstellen: Setze die Funktion gleich %%0%% und bestimme die Lösungen der Gleichung.

%%\begin{align} f(x)&=0\\\\ (x-1)^2 -4 &=0\\\\ (x-1)^2&=4\\\\ (x-1)&=\pm \sqrt{4}\\\\ x&=\pm 2 +1 \end{align}%%

%%\begin{align} \phantom{x}\\\\ &|+4\\\\ &|\sqrt{\phantom{x}}\\\\ &|+1\\ \end{align} %%

Die Nullstellen sind also gegeben durch %%x_1=2+1=3%% und %%x_2=-2+1=-1%%.

Jetzt bestimmst du den Öffnungsfaktor %%a%%. Die Funktion ist in Scheitelpunktsform gegeben. Daher lässt sich der Öffnungsfaktor %%\color{#009900}a%% direkt ablesen, denn:

%%f(x)=\color{#009900}1 \cdot (x-1)^2-4%%

Also ist %%\color{#009900}{a=1}%%.

Untersuche jetzt, welcher der oben genannten Fälle vorliegt. Wegen %%x_1= 3%% und %%x_2=-1%% hat %%f%% zwei verschiedene Nullstellen und es handelt sich um den 1. Fall. Einsetzen in die vorgegebene Form liefert die Nullstellenform:

%%f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2) = 1\cdot (x- 3)\cdot (x-(-1))= (x-3)\cdot (x+1)%%.

Gegeben ist der nebenstehende Graph der Funktion %%f%%. Bestimme die Funktionsgleichung in Nullstellenform.

Funktionsgraph einer Parabel mit doppelter Nullstelle

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform

Bestimmung der Nullstellenform am Graphen

(Verwende wieder das oben beschriebene Schema:)
Zuerst sind die Nullstellen des Graphen zu bestimmen. Du siehst, dass genau eine Nullstelle x1=3x_1=-3 existiert, deren Vielfachheit 22 ist. Es liegt also der 2. Fall vor und die Funktionsgleichung ist von der Form
f(x)=a(x(3))2=a(x+3)2f(x)=a\cdot (x-(-3))^2=a\cdot(x+3)^2
mit dem Öffnungsfaktor aa.
Als nächstes ist der Öffnungsfaktor aa zu bestimmen. Dafür kannst du zwischen zwei unterschiedlichen Vorgehensweisen wählen:

1. Variante

messung des Öffnungsfaktors an einer Parabel
Der Öffnungsfaktor kann ausgehend vom Scheitelpunkt S(30)S(-3|0) und dem Punkt P(21)P(-2|1) abgelesen werden.
Du erhältst a=1\color{#009900}{a=1}.
Die Nullstellenform der Funktion ff lautet also:
f(x)=1(x+3)2=(x+3)2f(x)=\color{#009900}1\cdot (x+3)^2=(x+3)^2

2. Variante

Abgesehen von aa kannst du die Nullstellenform bereits abgeben. Sie lautet:
f(x)=a(x+3)2f(x)=a\cdot (x+3)^2
Setze jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist. Dann kannst die Gleichung nach aa aufgelösen und erhältst so den gesuchten Öffnungsfaktor.
Wähle zum Beispiel den Punkt P(21)P(-2|1): Dieser liegt auf dem Graphen und ist keine Nullstelle, weil die zweite Koordinate ungleich Null ist. Setze also P(21)P(-2|1) in die Funktionsgleichung ein und löse nach aa auf:
1=f(2)=a(2+3)2=a12=a1=f(-2)=a\cdot (-2+3)^2= a\cdot 1^2=a.
Die Nullstellenform der Funktion ff lautet also:
f(x)=1(x+3)2=(x+3)2f(x)=1\cdot (x+3)^2=(x+3)^2.
Betrachte die quadratische Funktion:
f(x)=(x1)(x+3)f(x)=(x-1)\cdot(x+3)
Bestimme die Nullstellen und den Öffnungsfaktor von der Funktion ff.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Informationen gewinnen

Die Funktion ist in Nullstellenform gegeben. Hier sind also die Nullstellen x1=1x_1=1 und x2=3x_2=-3. Der Öffnungsfaktor ist a=1a=1.

Überprüfung

Du kannst das überprüfen, indem du die Probe machst. Dazu setzt du x1x_1 und x2x_2 in die Funktion ein:
f(x1)=f(1)=(11)(1+3)=04=0\begin{array}{rl}f(x_1)&=f(1)\\& = (1-1)\cdot(1+3)\\ &=0\cdot4\\&=0\end{array}
und
f(x2)=f(3)=(31)(3+3)=(4)0=0\begin{array}{rl}f(x_2)&=f(-3)\\& =(-3-1)\cdot(-3+3)\\&= (-4)\cdot0\\&=0\end{array}
Du siehst also, dass x1x_1 und x2x_2 Nullstellen sind.
Den Öffnungfaktor kannst du ablesen, indem du die Funktion in Normalform bringst. Dafür multiplizierst du aus:
f(x)=(x1)(x+3)=x(x+3)1(x+3)=x2+3xx3=x2+2x1.\begin{array}{rl}f(x) &=(x-1)\cdot(x+3)\\&=x\cdot(x+3)-1\cdot(x+3)\\&=x^2+3\cdot x-x-3\\&=x^2+2\cdot x-1\end{array}.
Jetzt ist ff in der bekannten Normalform und du siehst, dass der Öffnungsfaktor der quadratischen Funktion a=1a=1 ist.
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