Die Exponentialfunktion  mit der Basis %%e%%, der Eulerschen Zahl, wird natürliche Exponentialfunktion oder auch %%e%%-Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, x\mapsto e^x$$

Besonderheit

  • Die Exponentialfunktion erfüllt in allen Punkten die Eigenschaft %%f(a+ b)= f(a)\cdot f(b)%% (dies wird auch als definierene Eigenschaft der e-Funktion bezeichnet)
Wieso ist das so?

Auch für die Exponenten der Exponentialfunktion gelten ganz normal die Potenzgesetze:

%%f(a+b)=e^{a+b}=e^a\cdot e^b= f(a)\cdot f(b)%%

  • Als einzige Funktion erfüllt sie außerdem die Eigenschaft: $$f'(x)=f(x)$$
Wieso gilt diese Gleichung für %%e%%?

Es ist bekannt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion %%f(x)=a^x%% gegeben ist durch %%f'(x)=\ln(a)\cdot a^x%%. Für die natürliche Exponentialfunktion mit Basis %%e%% gilt also: $$f'(x)=\left(e^x\right)'=\ln(e)\cdot e^x=e^x=f(x)$$

Dabei wurde verwendet, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist und deswegen %%\ln(e)=\ln(e^1)=1%% gilt.

Eigenschaften

Die %%e%%-Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Exponentialfunktionen zu beliebigen positiven Basen. Weil %%e\approx 2,718>1%%, ist sie streng monoton steigend.

Graph der %%e%%-Funktion:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1686.xml

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der %%e%%-Funktion ist der natürliche Logarithmus. Für %%f(x)=e^x%% gilt also:

%%f^{-1}(x)=\ln(x)\qquad\Rightarrow e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x)%%

Ableitung und Stammfunktion

Wie bereits erwähnt gilt:

%%f'(x)=f(x)=e^x%%

Folglich ist die Stammfunktion %%F(x)=e^x%%, denn %%F'(x)=e^x=f(x)%%.

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Zu article e-Funktion: Beweis mit dem, was zu beweisen ist?
Renate 2015-11-28 21:05:38
Im Spoiler "Wieso gilt diese Gleichung für e?" wird zum "Beweis" der Gleichung (e^x)'=e^x die Beziehung (a^x)' = ln(a) *a^x verwendet.
Diese Beziehung leitet man aber doch meines Wissens selbst über (e^x)'=e^x her - vgl. hierzu auch die Herleitung im Serlo-Artikel "Exponentialfunktion" (Abschnitt "Erste Ableitung").
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