Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch darstellen lässt. Sowohl im Zähler als auch im Nenner steht dabei ein Polynom. Gebrochenrationale Funktionen sind also von der Form %%f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}%%, wobei sowohl %%g(x)%% als auch %%h(x)%% ein Polynom ist.

Echt gebrochenrationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms %%g(x)%% ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms %%h(x)%%.

Beispiel

%%\dfrac{4x^3+2x^2-x}{2x^5}\Rightarrow%% Grad von %%g\left(x\right)%% ist %%3%%, Grad von %%h\left(x\right)%% ist %%5%%.

Unecht gebrochenrationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms %%g(x)%% ist größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms %%h(x)%%. Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganzrationalem und echt gebrochenrationalem Anteil zerlegen.

Beispiel

%%\dfrac{6x^4-x^2+2x}{5x^3}\Rightarrow%% Grad von %%g\left(x\right)%% ist %%4%%, Grad von %%h\left(x\right)%% ist %%3%%; zerlegte Funktion: %%\dfrac65x-\dfrac1{5x}+\dfrac2{5x^2}%%

Verschiedene Beispiele für gebrochenrationale Funktionen

Echt gebrochenrationale Funktionen

Hyperbel: %%f\left(x\right)=\dfrac1x%%

Hyperbel Graph Definitionslücke

%%f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}%%

Gebrochenrationale Funktion ohne Polstellen

Unecht gebrochenrationale Funktionen

Jedes Polynom , wie

zum Beispiel: %%f\left(x\right)=x^2+x\;\left(=\dfrac{x^2+x}1\right)%%

Quadratische Funktion Parabel nach oben geöffnet

%%f\left(x\right)=\dfrac{x^2}x%%

lineare Funktion ohne Null Defintionslücke

Beachte:

%%\dfrac{x^2}x=f\left(x\right)\neq g\left(x\right)=x%% , denn %%f%% und %%g%% haben unterschiedliche Definitionsbereiche :

  • %%D_f=ℝ\setminus\left\{0\right\}%%

  • %%D_g=ℝ%%

Eigenschaften an Beispielen

Bei gebrochenrationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten , an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.

Beispiel 1

%%f\left(x\right)=\dfrac1{\left(x-1\right)}%%

Hyperbel waagerechte senkrechte Asymptote

Beispiel 2

%%f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^2}%%

Gebrochenrationaler Funktionsgraph ohne Polstellenwechsel

Beispiel 3

$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^3}$$

Hyperbel funktionsgraph Polstellenwechsel

Beispiel 4

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}=1$$

Konstante Funktion mit Definitionslücke

Beispiel 5

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)^{2}}{\left(x-1\right)}=\left(x-1\right)$$

Lineare Funktion ohne Null

Beispiel 6

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac1{\left(x-1\right)}$$

Allgemeines Beispiel

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)^2\cdot\left(x-3\right)^3\cdot\left(x+2\right)\cdot x}{\left(x+1\right)^3\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}\\ \Rightarrow f\left(x\right)= \frac{\left(x-3\right)^{2}\cdot x}{\left(x+1\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}$$

  • Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei %%-5%% (wegen geradem Exponenten %%2%%)

  • Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%-1%% (wegen ungeradem Exponenten %%1%%)

  • Asymptote Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%4%% (wegen ungeradem Exponenten %%1%%)

  • P: hebbare Definitionslücke bei %%x = -2%%

  • Q: hebbare Definitionslücke mit der %%x%%-Achse bei %%x = 3%%

  • N: Nullstelle bei %%x = 0%%

gebrochenrationaler Funktionsgraph Definitionslücke Asymptote Polstelle

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Rebi 2018-01-03 18:47:46
Man sollte einen einheitlichen Begriff wählen - die Themenübersicht heißt "gebrochen-rationale Funktion", während dieser Artikel "gebrochenrationale Funktion" heißt.
Außerdem finde ich, dass die Beispiele in der Überschrift noch treffender benannt werden könnten, z. B. "Beispiel 4: hebbare Definitionslücke".
Was meint ihr?
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Zu article Gebrochenrationale Funktionen: Allgemeines Beispiel
SebSoGa 2016-07-20 13:48:39
Der letzte Unterabschnitt "Allgemeines Beispiel" könnte ausgearbeitet werden.

- Es ist nicht klar was dort beispielhaft erklärt wird.
- Man könnte (farblich) erklären was in den ersten zwei Zeilen passiert ist (kürzen des Bruches).
- Begriffe wie Polstelle, Vorzeichenwechsel und hebbare Definitionslücke sollten Verlinkungen werden.

Liebe Grüße
Sebastian
Rebi 2018-01-03 18:43:50
So, zumindest die Verlinkungen sind jetzt vorhanden.
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