Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch darstellen lässt. Sowohl im Zähler als auch im Nenner steht dabei ein Polynom. Gebrochenrationale Funktionen sind also von der Form %%f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}%%, wobei sowohl %%g(x)%% als auch %%h(x)%% ein Polynom ist.
Echt gebrochenrationale Funktion
Der Grad des Zählerpolynoms %%g(x)%% ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms %%h(x)%%.
Beispiel
%%\dfrac{4x^3+2x^2-x}{2x^5}\Rightarrow%% Grad von %%g\left(x\right)%% ist %%3%%, Grad von %%h\left(x\right)%% ist %%5%%.
Unecht gebrochenrationale Funktion
Der Grad des Zählerpolynoms %%g(x)%% ist größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms %%h(x)%%. Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganzrationalem und echt gebrochenrationalem Anteil zerlegen.
Beispiel
%%\dfrac{6x^4-x^2+2x}{5x^3}\Rightarrow%% Grad von %%g\left(x\right)%% ist %%4%%, Grad von %%h\left(x\right)%% ist %%3%%; zerlegte Funktion: %%\dfrac65x-\dfrac1{5x}+\dfrac2{5x^2}%%
Verschiedene Beispiele für gebrochenrationale Funktionen
Echt gebrochenrationale Funktionen
Hyperbel: %%f\left(x\right)=\dfrac1x%%
%%f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}%%
Unecht gebrochenrationale Funktionen
%%f\left(x\right)=\dfrac{x^2}x%%
Beachte:
%%\dfrac{x^2}x=f\left(x\right)\neq g\left(x\right)=x%% , denn %%f%% und %%g%% haben unterschiedliche Definitionsbereiche :
%%D_f=ℝ\setminus\left\{0\right\}%%
%%D_g=ℝ%%
Eigenschaften an Beispielen
Bei gebrochenrationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten , an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.
%%f\left(x\right)=\dfrac1{\left(x-1\right)}%%
- Definitionslücke : %%x=1%%
- Linearfaktor : einfach
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel (da der Exponent ungerade ist))
- waagerechte Asymptote bei %%0%% (da Nennergrad größer als Zählergrad)
%%f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^2}%%
- Definitionslücke %%x=1%%
- Linearfaktor : doppelt
- Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (da der Exponent gerade ist)
- waagerechte Asymptote bei %%0%% (da Nennergrad größer als Zählergrad)
$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^3}$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Linearfaktor : dreifach
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel (da der Exponent ungerade ist)
- waagerechte Asymptote bei %%0%% (da Nennergrad größer als Zählergrad)
$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}=1$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Vielfachheit des Zählers = Vielfachheit des Nenners
- hebbare Definitionslücke bei %%x=1%%
$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)^{2}}{\left(x-1\right)}=\left(x-1\right)$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Vielfachheit des Zählers > Vielfachheit des Nenners
- hebbare Definitionslücke, da sie "weggekürzt" werden kann.
$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac1{\left(x-1\right)}$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Vielfachheit des Zählers < Vielfachheit des Nenners %%\Rightarrow%% gekürzt wie bei 1
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel
- waagerechte Asymptote bei %%0%% (da Nennergrad größer als Zählergrad)
Allgemeines Beispiel
$$f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)^2\cdot\left(x-3\right)^3\cdot\left(x+2\right)\cdot x}{\left(x+1\right)^3\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}\\ \Rightarrow f\left(x\right)= \frac{\left(x-3\right)^{2}\cdot x}{\left(x+1\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}$$
Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei %%-5%% (wegen geradem Exponenten %%2%%)
Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%-1%% (wegen ungeradem Exponenten %%1%%)
Asymptote Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%4%% (wegen ungeradem Exponenten %%1%%)
P: hebbare Definitionslücke bei %%x = -2%%
Q: hebbare Definitionslücke mit der %%x%%-Achse bei %%x = 3%%
N: Nullstelle bei %%x = 0%%
Außerdem finde ich, dass die Beispiele in der Überschrift noch treffender benannt werden könnten, z. B. "Beispiel 4: hebbare Definitionslücke".
Was meint ihr?
- Es ist nicht klar was dort beispielhaft erklärt wird.
- Man könnte (farblich) erklären was in den ersten zwei Zeilen passiert ist (kürzen des Bruches).
- Begriffe wie Polstelle, Vorzeichenwechsel und hebbare Definitionslücke sollten Verlinkungen werden.
Liebe Grüße
Sebastian
