Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion die sich als Bruch darstellen lässt. Sowohl im Zähler also auch im Nenner steht dabei ein Polynom. Gebrochenrationale Funktionen sind also von der Form $$f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$$, wobei sowohl %%g(x)%% als auch %%h(x)%% ein Polynom ist.

Echt gebrochenrationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms %%g(x)%% ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms %%h(x)%%.

Beispiel

%%\frac{4x^3+2x^2-x}{2x^5}\Rightarrow%% Grad von %%g\left(x\right)%% ist 3, Grad von %%h\left(x\right)%% ist 5

Unecht gebrochenrationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms %%g(x)%% ist größer als der Grad des Nennerpolynoms %%h(x)%%. Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganzrationalem und echt gebrochenrationalem Anteil zerlegen.

Beispiel

%%\frac{6x^4-x^2+2x}{5x^3}\Rightarrow%% Grad von %%g\left(x\right)%% ist 4, Grad von %%h\left(x\right)%% ist 3; zerlegte Funktion: %%\frac65x-\frac1{5x}+\frac2{5x^2}%%

Verschiedene gebrochenrationale Funktionen

Echt gebrochenrationale Funktionen

Hyperbel: %%f\left(x\right)=\frac1x%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1399.xml

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1401.xml

Unecht gebrochenrationale Funktionen

Jedes Polynom , wie

zum Beispiel: %%f\left(x\right)=x^2+x\;\left(=\frac{x^2+x}1\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1403.xml

%%f\left(x\right)=\frac{x^2}x%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1405.xml

Beachte:

%%\frac{x^2}x=f\left(x\right)\neq g\left(x\right)=x%% , denn f und g haben unterschiedliche Definitionsbereiche :

%%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%

%%D_g=ℝ%%

Eigenschaften an Beispielen

Bei gebrochenrationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten , an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.

Beispiel 1

$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)}$$

Beispiel 2

$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^2}$$

Beispiel 3

$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^3}$$

Beispiel 4

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}=1$$

Beispiel 5

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)^{2}}{\left(x-1\right)}=\left(x-1\right)$$

Beispiel 6

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac1{\left(x-1\right)}$$

  • Definitionslücke   %%x=1%%
  • Vielfachheit des Zählers < Vielfachheit des Nenners %%\Rightarrow%% gekürzt wie bei 1
  • Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Allgemeines Beispiel

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)^2\cdot\left(x-3\right)^3\cdot\left(x+2\right)\cdot x}{\left(x+1\right)^3\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}\\ \Rightarrow f\left(x\right)= \frac{\left(x-3\right)^{2}\cdot x}{\left(x+1\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}$$

  • Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei -5 (wegen geradem Exponenten 2)

  • Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -1 (wegen ungeradem Exponenten 1)

  • Asymptote Polstelle mit Voreichenwechsel bei 4 (wegen ungeradem Exponenten 1)

  • P: hebbare Definitionslücke bei x = -2

  • Q: hebbare Definitionslücke mit der x-Achse bei x = 3

  • N: Nullstelle bei x = 0

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1212.xml

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Zu article Gebrochenrationale Funktionen: Allgemeines Beispiel
SebSoGa 2016-07-20 13:48:39
Der letzte Unterabschnitt "Allgemeines Beispiel" könnte ausgearbeitet werden.

- Es ist nicht klar was dort beispielhaft erklärt wird.
- Man könnte (farblich) erklären was in den ersten zwei Zeilen passiert ist (kürzen des Bruches).
- Begriffe wie Polstelle, Vorzeichenwechsel und hebbare Definitionslücke sollten Verlinkungen werden.

Liebe Grüße
Sebastian
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