Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt.
Gebrochenrationale Funktionen sind also von der Form %%f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}%%, wobei sowohl %%p(x)%% als auch %%q(x)%% Polynome sind.

Echt gebrochenrationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms %%p(x)%% ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms %%q(x)%%.

Beispiel

%%\dfrac{4x^3+2x^2-x}{2x^5}\Rightarrow%% Grad von %%p\left(x\right)%% ist %%3%%, Grad von %%q\left(x\right)%% ist %%5%%.

Unecht gebrochenrationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms %%p(x)%% ist größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms %%q(x)%%. Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganzrationalem und echt gebrochenrationalem Anteil zerlegen.

Beispiel

%%\dfrac{6x^4-x^2+2x}{5x^3}\Rightarrow%% Grad von %%p\left(x\right)%% ist %%4%%, Grad von %%q\left(x\right)%% ist %%3%%; zerlegte Funktion: %%\dfrac65x-\dfrac1{5x}+\dfrac2{5x^2}%%

Verschiedene Beispiele für gebrochenrationale Funktionen

Echt gebrochenrationale Funktionen

Hyperbel: %%f\left(x\right)=\dfrac1x%%

Hyperbel Graph Definitionslücke

%%f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}%%

Gebrochenrationale Funktion ohne Polstellen

Unecht gebrochenrationale Funktionen

Jedes Polynom , wie

zum Beispiel: %%f\left(x\right)=x^2+x\;\left(=\dfrac{x^2+x}1\right)%%

Quadratische Funktion Parabel nach oben geöffnet

%%f\left(x\right)=\dfrac{x^2}x%%

lineare Funktion ohne Null Defintionslücke

Beachte:

%%\dfrac{x^2}x=f\left(x\right)\neq g\left(x\right)=x%% , denn %%f%% und %%g%% haben unterschiedliche Definitionsbereiche :

%%D_f=ℝ\setminus\left\{0\right\}%%
%%D_g=ℝ%%

Eigenschaften an Beispielen

Bei gebrochenrationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten , an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.

Beispiel 1

%%f\left(x\right)=\dfrac1{\left(x-1\right)}%%

Definitionslücke : %%x=1%%
Linearfaktor : einfach
Polstelle mit Vorzeichenwechsel (da der Exponent ungerade ist))
waagerechte Asymptote bei %%0%% (da Nennergrad größer als Zählergrad)

Hyperbel waagerechte senkrechte Asymptote

Beispiel 2

%%f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^2}%%

Definitionslücke %%x=1%%
Linearfaktor : doppelt
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (da der Exponent gerade ist)
waagerechte Asymptote bei %%0%% (da Nennergrad größer als Zählergrad)

Gebrochenrationaler Funktionsgraph ohne Polstellenwechsel

Beispiel 3

$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^3}$$

Definitionslücke %%x=1%%
Linearfaktor : dreifach
Polstelle mit Vorzeichenwechsel (da der Exponent ungerade ist)
waagerechte Asymptote bei %%0%% (da Nennergrad größer als Zählergrad)

Hyperbel funktionsgraph Polstellenwechsel

Beispiel 4

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}=1$$

Definitionslücke %%x=1%%
Vielfachheit des Zählers = Vielfachheit des Nenners
hebbare Definitionslücke bei %%x=1%%

Konstante Funktion mit Definitionslücke

Beispiel 5

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)^{2}}{\left(x-1\right)}=\left(x-1\right)$$

Definitionslücke %%x=1%%
Vielfachheit des Zählers > Vielfachheit des Nenners
hebbare Definitionslücke, da sie "weggekürzt" werden kann.

Lineare Funktion ohne Null

Beispiel 6

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac1{\left(x-1\right)}$$

Definitionslücke %%x=1%%
Vielfachheit des Zählers < Vielfachheit des Nenners %%\Rightarrow%% gekürzt wie bei 1
Polstelle mit Vorzeichenwechsel
waagerechte Asymptote bei %%0%% (da Nennergrad größer als Zählergrad)

Allgemeines Beispiel

$$f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)^2\cdot\left(x-3\right)^3\cdot\left(x+2\right)\cdot x}{\left(x+1\right)^3\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}\\ \Rightarrow f\left(x\right)= \frac{\left(x-3\right)^{2}\cdot x}{\left(x+1\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}$$

Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei %%-5%% (wegen geradem Exponenten %%2%%)
Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%-1%% (wegen ungeradem Exponenten %%1%%)
Asymptote Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%4%% (wegen ungeradem Exponenten %%1%%)
P: hebbare Definitionslücke bei %%x = -2%%
Q: hebbare Definitionslücke mit der %%x%%-Achse bei %%x = 3%%
N: Nullstelle bei %%x = 0%%

gebrochenrationaler Funktionsgraph Definitionslücke Asymptote Polstelle

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 _Information