Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion die sich als Bruch darstellen lässt. Sowohl im Zähler also auch im Nenner steht dabei ein Polynom. Gebrochenrationale Funktionen sind also von der Form $$f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$$, wobei sowohl %%g(x)%% als auch %%h(x)%% ein Polynom ist.
Echt gebrochenrationale Funktion
Der Grad des Zählerpolynoms %%g(x)%% ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms %%h(x)%%.
Beispiel
%%\frac{4x^3+2x^2-x}{2x^5}\Rightarrow%% Grad von %%g\left(x\right)%% ist 3, Grad von %%h\left(x\right)%% ist 5
Unecht gebrochenrationale Funktion
Der Grad des Zählerpolynoms %%g(x)%% ist größer als der Grad des Nennerpolynoms %%h(x)%%. Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganzrationalem und echt gebrochenrationalem Anteil zerlegen.
Beispiel
%%\frac{6x^4-x^2+2x}{5x^3}\Rightarrow%% Grad von %%g\left(x\right)%% ist 4, Grad von %%h\left(x\right)%% ist 3; zerlegte Funktion: %%\frac65x-\frac1{5x}+\frac2{5x^2}%%
Verschiedene gebrochenrationale Funktionen
Echt gebrochenrationale Funktionen
Hyperbel: %%f\left(x\right)=\frac1x%%
%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}%%
Unecht gebrochenrationale Funktionen
%%f\left(x\right)=\frac{x^2}x%%
Beachte:
%%\frac{x^2}x=f\left(x\right)\neq g\left(x\right)=x%% , denn f und g haben unterschiedliche Definitionsbereiche :
%%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%
%%D_g=ℝ%%
Eigenschaften an Beispielen
Bei gebrochenrationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten , an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.
$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)}$$
- Definitionslücke : %%x=1%%
- Linearfaktor : einfach
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel (da der Exponent ungerade ist))
$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^2}$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Linearfaktor : doppelt
- Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (da der Exponent gerade ist)
$$f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)^3}$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Linearfaktor : dreifach
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel (da der Exponent ungerade ist)
$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}=1$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Vielfachheit des Zählers = Vielfachheit des Nenners
- hebbare Definitionslücke
$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)^{2}}{\left(x-1\right)}=\left(x-1\right)$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Vielfachheit des Zählers > Vielfachheit des Nenners
- hebbare Definitionslücke, da sie "weggekürzt" werden kann.
$$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac1{\left(x-1\right)}$$
- Definitionslücke %%x=1%%
- Vielfachheit des Zählers < Vielfachheit des Nenners %%\Rightarrow%% gekürzt wie bei 1
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel
Allgemeines Beispiel
$$f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)^2\cdot\left(x-3\right)^3\cdot\left(x+2\right)\cdot x}{\left(x+1\right)^3\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}\\ \Rightarrow f\left(x\right)= \frac{\left(x-3\right)^{2}\cdot x}{\left(x+1\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}$$
Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei -5 (wegen geradem Exponenten 2)
Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -1 (wegen ungeradem Exponenten 1)
Asymptote Polstelle mit Voreichenwechsel bei 4 (wegen ungeradem Exponenten 1)
P: hebbare Definitionslücke bei x = -2
Q: hebbare Definitionslücke mit der x-Achse bei x = 3
N: Nullstelle bei x = 0
- Es ist nicht klar was dort beispielhaft erklärt wird.
- Man könnte (farblich) erklären was in den ersten zwei Zeilen passiert ist (kürzen des Bruches).
- Begriffe wie Polstelle, Vorzeichenwechsel und hebbare Definitionslücke sollten Verlinkungen werden.
Liebe Grüße
Sebastian
