Der Differenzenquotient zwischen zwei Stellen %%x_1%% und %%x_2%% beschreibt die Steigung der Sekanten zwischen den Punkten %%P\left(x_1 \mid f(x_1)\right)%% und %%Q\left(x_2 \mid f(x_2)\right)%%:

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}.$$

Der Differenzenquotient berechnet die mittlere Änderungsrate.

Durch Grenzwertbildung erhält man den Differentialquotienten, mit dessen Hilfe man die Ableitung (= lokale Änderungsrate) berechnen kann.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2733_aKZ05x7t30.xml

Beispiel

Bestimme den Differenzenquotient der Funktion %%f(x)=x^2%% vom Intervall  %%\left[1;3\right]%% %%\Rightarrow x_1=1\;x_2=3%%

$$m=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{3^2-1^2}2=\frac{9-1}2=\frac82=4$$

Applet

Im folgendem Applet kannst du dir für eine beliebige Funktion %%f%% den Differenzenquotienten anschauen und berechnen lassen. Außerdem sind die Punkte %%P%% und %%Q%% frei wählbar und du kannst dir auch noch die Tangente an %%G_f%% durch den Punkt %%P%% anzeigen lassen.

Kommentieren Kommentare

Zu article Differenzenquotient:
LeaFa 2019-10-03 07:59:55
Beim Applet stimmt die Berechnung der Steigung nicht. Dort wird immer die Formel x^2 für die Funktion f(x) angezeigt, aber man kann die Funktion ja beliebig verändern. Der Zwischenschritt sollte rausgenommen werden, oder ersetzt werden. (Das Ergebnis stimmt dann wieder)
Antwort abschicken
Zu article Differenzenquotient:
Simon 2017-11-10 15:18:57
Hi Leute, wir vom Orga-Team wollten gerade den Artikel verlinken wegen dem Applet. Dazu hätte ich noch ein paar Verbesserungsvorschläge:
- Skalen größer machen, sodass sie gelesen werden können
- Zusatzinformationen und Einstellungs- bzw. Eingabemöglichkeiten linksbündig an einer vertikalen Linie ausrichten
Liebe Grüße
Simon
Nish 2017-11-11 16:45:35
Hi Simon,
ich habe eben versucht, deine Änderungsvorschläge umzusetzen ;)
Wie findest du (ihr) es jetzt?
LG,
Nish
Nish 2017-11-11 17:16:27
@Simon:
Ich habe eben noch eine Überschrift "Applet" hinzugefügt (um es vom vorherigen Beispiel abzugrenzen). Findest du die Überschrift Applet schon gut oder hast du einen besseren Vorschlag? Mir fallen noch Interaktive Applet und Spielerische graphische Veranschaulichung ein.
Außerdem hat mir noch ein Text zum Applet gefehlt. Diesen würde ich mir auch immer wünschen (wird bisher kaum bis gar nicht gemacht). Hoffe du bist gleicher Meinung.
Ich habe einen Text geschrieben und diesen vor das Applet gepackt.
Lieber danach?

Wir sollten noch die Richtlinie zu den Artikeln (wsl. auch zu unseren anderen Inhalten) bzgl. dem Thema Applets erweitern und auch in der Richtlinie Grafiken und Applets unsere bisherigen Vorstellungen (Richtlinien) niederschreiben.


Simon 2017-11-14 18:05:43
Hi Nish, das finde ich viel besser so. Nur die Beschriftung der Achsen ist immmer noch bisschen klein und die Beschriftung der Tangente P könnte noch etwas weiter nach untenrechts. Deine anderen Überschriftenvorschläge machen mehr Sinn als einfach "Applet", was ja auch ein recht unbekannter Begriff ist. Text finde ich auch gut und macht drüber mehr Sinn als drunter, wie du sagst. Lass und doch auf der nächsten gemeinsamen Redaktionssitzung eine entsprechenden Absatz in die Qualitätsrichtlinien einfügen. Machst du dir einen Task dazu? Liebe Grüße aus Berlin!
Nish 2017-11-15 14:48:46
Task ist schon gemacht ;) Ich schaue, ob ich am Applet noch was machen kann.
Antwort abschicken
Zu article Differenzenquotient:
Rebi 2017-06-02 19:29:54
Vielleicht sollte man noch darauf hinweisen, dass man mit dem Differenzenquotient die "mittlere Änderungsrate" (das wird relativ oft in Abituraufgaben gefragt) berechnen kann.
Nish 2017-06-02 20:31:05
Vielen Dank für deine Anmerkung! Ich stimme dir voll zu.
Hättest du Lust das gleich selber hinzuzufügen?
Ansonsten kümmere ich mich darum selber bzw. suche jdn., der Zeit und Lust hat, die Änderung durchzuführen.

LG,
Nish
Rebi 2017-06-03 08:16:18
Ich kümmer mich Montag darum.
LG, Rebi
Nish 2017-06-04 09:26:02
Super, vielen Dank.
LG,
Nish
Antwort abschicken
Zu article Differenzenquotient: Applet Fehler
Tinsaye 2015-06-21 20:48:25
Da ist ein Problem mit dem Schieberegler.
Nish 2015-06-23 09:16:06
Hallo Tinsaye,

danke für den Hinweis. Ich schaue mal, was ich machen kann.

LG, Nish
Hannes 2015-07-06 09:15:04
habs neu gemacht.