Dieser Artikel beschäftigt sich mit Geraden als Graphen linearer Funktionen, also Funktionen der Form %%f(x)=m \cdot x+t%%.

Das %%m%% in der obigen Gleichung wird Steigung der Geraden genannt.

Die Steigung einer Geraden gibt an, um wie viele Einheiten sich die y-Koordinate eines Punktes verändert, wenn sich seine x-Koordinate um eine Einheit verändert. Anders gesagt: Die Steigung einer Geraden misst, wie steil sie ansteigt.

GeoGebra

Geradensteigung berechnen

Die Steigung einer Geraden lässt sich mithilfe des Differenzenquotienten aus zwei verschiedenen Punkten %%P(x_1,y_1)%% und %%Q(x_2,y_2)%% , die auf der Geraden liegen, bestimmen:

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.$$

Dabei ist es egal, welche Punkte man wählt, der Quotient hat immer den selben Wert.

Beispiel

Man bestimme die Steigung der rechts gegebenen Gerade. Hierzu sucht man sich zwei Punkte aus, beispielweise wie in der Skizze %%P(2 \mid 3)%% und %%Q(5 \mid 6)%%. Dabei nennt man das türkise Dreieck Steigungsdreieck.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1284.xml

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Man bestimmt %%Δy%% und %%Δx%%

$$\Delta y=y_B-y_A=6-3=3$$ $$\Delta x=x_B-x_A=5-2=3$$

… und setzt die Längenwerte für %%\Delta y%% und %%\Delta x%% in die Formel ein.

$$m=\frac33=1$$

Die Gerade hat also die Steigung %%m=1%%.

Weitere Beispielaufgabe

Von der Steigung zum Steigungsdreieck

Man nimmt zwei beliebige Punkte der Geraden im Koordinatensystem und zeichnet zwischen ihnen zu den Koordinatenachsen parallele Verbindungslinien, die dann ein rechtwinkliges Dreieck ergeben.

Beispiel mit Applet

Gegeben ist die Gerade %%\mathrm y=\frac34\mathrm x-1%% . Zeichne die Gerade mit Stigungsdreieck in ein Koordinatensystem ein.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7213_RXs4UHGwp5.xml

Steigung 2 bedeutet:

"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach oben"

Steigung -1 bedeutet:

"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheiten nach nach unten"

Steigung %%\frac{2}{3}%% bedeutet:

"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach nach oben"

Steigung %%-\frac{2}{3}%% bedeutet:

"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach nach unten"

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1296.xml

Vom Steigungsdreieck zur Steigung

Sind zwei Punkte der Geraden gegeben, lässt sich zwischen ihnen ein Steigungsdreieck einzeichnen.

Die Steigung der Geraden ist dann die Länge der senkrechten Kathete (Gegenkathete) geteilt durch die Länge der waagrechten Kathete (Ankathete). Die Steigung ist positiv, falls die Gerade steigt und negativ, falls die Gerade fällt.

Daraus ergibt sich auch wieder die gleiche Gleichung wie oben:

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.$$

Beispiel mit Applet

Lies die Steigung folgender Gerade ab:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7215_wdR9ScSeZr.xml

Senkrechte und parallele Geraden

Gegeben sind zwei Geraden mit ihren beiden Geradengleichungen $$g_1:y=m_1\cdot x+ t_1$$ $$g_2:y=m_2\cdot x+ t_2$$

Parallele Geraden

Falls

$$m_1=m_2$$

gilt, so sind die Geraden parallel.

Senkrechte Geraden

Falls

$$m_1\cdot m_2=-1$$

gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander.

Beispiel:

$$\begin{array}{l}g_1\left(x\right)=0,5x-1\\g_2\left(x\right)=0,5x+1\end{array}$$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6881_VNdHuQVt2T.xml

$$\begin{array}{l}m_1=0,5;m_2=0,5\\\Rightarrow m_1=m_2\end{array}$$

Beispiel:

$$\begin{array}{l}g_1\left(x\right)=1,5x-1\\g_2\left(x\right)=-\frac23x+1\end{array}$$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6879_8hYC9Of8cY.xml

$$\begin{array}{l}m_1=1,5; m_2=-\frac{2}{3}\\\Rightarrow m_1\cdot m_2=1,5\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1\end{array}$$

Beispielaufgabe

Steigungswinkel

Der Steigungswinkel gibt an, in welchem Winkel eine Gerade zur %%x%%-Achse steht. Der Steigungswinkel %%\alpha%% einer Geraden %%y = m \cdot x + t%% erfüllt

$$m = \tan(\alpha).$$

Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6286_0KQ5yYyz3U.xml

Steigung von speziellen Geraden

Die Steigung einer Geraden, die parallel zur x-Achse verläuft, ist 0.

In diesem Fall ist die zugehörige Funktion konstant.

Eine Gleichung für so eine Funktion wäre %%y=n%%.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7089_RnqLXYWI6Y.xml

Die Steigung einer Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, wäre "unendlich". Es kann allerdings keine Funktion in Abhängigkeit von %%x%% mit einer solchen Gerade als Graphen geben, da dem gleichen x-Wert verschiedene y-Werte zugeordnet werden müssten.

Trotzdem lässt sich eine solche Gerade durch eine Gleichung von der Form %%x=r%% beschreiben.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7091_GkEjQ87H4V.xml

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Zu article Geradensteigung:
Kowalsky 2017-04-01 14:36:57
Vom Steigungsdreieck zur Steigung: Die Steigung der Geraden ist dann die Länge der senkrechten Kathete (Gegenkathete) geteilt durch die Länge der waagrechten Kathete (Ankathete) und nicht andersherum!
Nish 2017-04-01 15:54:39
Vielen Dank für den Hinweis! Ich hab's eben ausgebessert.
LG,
Nish
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Zu article Geradensteigung:
Schneetze 2016-12-22 12:03:35
Hallo,
was wäre wenn ich verschiedene Skalierungen der x und y Achse habe? ZB. in einer wissenschaftl. Arbeit bei Regressionsgeraden. ZB. x in 10er Schritten und y in 2000er Schritten pro Kästchen...
bleibt das dann bei X=10=1 und Y=2000=1, sprich dann eine Steigung in dem Fall von 1?
Vielen Dank und Liebe Grüsse!
Schneetze 2016-12-22 12:10:22
oder wäre meine Steigung dann 5x10^-3?
Nish 2016-12-22 22:20:35
Hallo Schneetze,
die Steigung in deinem Beispiel wäre %%\frac{10}{2000}=\frac{1}{200}=5\cdot10^{-3}%%, wenn deine Gerade in diesem Koordinatensystem ein Steigungsdreieck mit einem Kästchen nach rechts und einem Kästchen nach oben besitzt.
LG,
Nish
Nish 2016-12-22 22:33:07
Oh sry., uns ist ein Fehler passiert. Steigung ist ja immer %%\frac{\Delta y}{\Delta x}%%. Also wäre die Steigung hier gleich %%\frac{2000}{10}=200%%... Ich hoffe, dass hilft dir weiter. Ansonsten kannst du gerne nochmal nachfragen.
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Zu article Geradensteigung: Applet ist ein Bild statt Applet
Knorrke 2015-10-22 17:08:19
Von dem Applet im Spoiler bei der Überschrift "Vom Steigungsdreieck zur Steigung" ist nur ein Bild zu sehen. Wäre gut wenn das jemand ersetzt!
Gruß,
Benni
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